Два гладких жёлоба лежат в одной вертикальной плоскости и составляют углы
\(\alpha\) с горизонтом (см. рисунок). В некоторый момент два маленьких шарика
отпускают из точек \(A\) и \(B\), и они начинают скользить вниз. Первому шарику,
стартовавшему из точки \(A\), потребовалось время \(t_1\), чтобы достичь земли; для
второго время спуска составило \(t_2\). В какой момент расстояние между шариками
было наименьшим?
▶РешениеСкрыть
\
В системе отсчёта шарика \(A\) шарик \(B\) ускоряется влево с \[a_B = 2g\sin\alpha\cos\alpha.\] Мы можем найти, что начальная длина \(|AB|\) равна \(\dfrac{g\bigl(t_1^2-t_2^2\bigr)\sin\alpha}2\). Следовательно, \[x = \frac{g\bigl(t_1^2-t_2^2\bigr)\sin\alpha\cos\alpha}2.\] Поскольку относительного ускорения в направлении \(y\) нет, нам нужно \[\frac{a_Bt^2}2 = x,\qquad gt^2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{g\bigl(t_1^2-t_2^2\bigr)\sin\alpha\cos\alpha}2,\] \[\boxed{t = \sqrt{\frac{t_1^2-t_2^2}2}}.\]
Решение 2. Каждый шарик будет ускоряться с одинаковым ускорением вдоль своего жёлоба, а значит, они пройдут одинаковое расстояние за одинаковое время.
Пусть \(x\) — расстояние, пройденное каждым шариком, а \(k\) — расстояние между двумя шариками. Пусть высота шарика в точке \(A\) равна \(h_1\), а высота шарика в точке \(B\) равна \(h_2\).
Если нарисовать чертёж, вы обнаружите треугольник, образованный положениями двух шариков и точкой пересечения жёлобов. Длины сторон треугольника: \(x\), \(\frac{h_1-h_2}{\sin\alpha}-x\), \(k\).
По теореме косинусов имеем \[k^2 = x^2+\Bigl(\frac{h_1-h_2}{\sin\alpha}-x\Bigr)^2 -2x\Bigl(\frac{h_1-h_2}{\sin\alpha}-x\Bigr)\cos(2\alpha).\] Для краткости обозначим \(\beta = \frac{h_1-h_2}{\sin\alpha}\). Упрощая выражение, получаем \[k(x) = \sqrt{2x^2(1+\cos2\alpha)-2x\beta(1+\cos2\alpha)+\beta^2}.\] Взяв производную квадратного трёхчлена и приравняв её к нулю, получаем \(x_m = -\frac B{2A} = \frac\beta2\).
Пользуясь ускорением вдоль наклонной плоскости, можно также найти, что \[\frac{h_1}{\sin\alpha} = \frac{gt_1^2\sin\alpha}2,\qquad \frac{h_2}{\sin\alpha} = \frac{gt_2^2\sin\alpha}2,\] \[x_m = \frac{gt_m^2\sin\alpha}2 = \frac{h_1-h_2}{2\sin\alpha}.\] Подставляя всё, находим \[t_m = \sqrt{\frac{h_1-h_2}{g\sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{\frac{gt_1^2\sin^2\alpha}2-\frac{gt_2^2\sin^2\alpha}2} {g\sin^2\alpha}} = \boxed{\sqrt{\frac{t_1^2-t_2^2}2}}.\]