Упругий мяч отпускают над наклонной плоскостью (угол наклона \(\alpha\)) на расстоянии \(d\) от плоскости. Каково расстояние между первой и второй точками отскока? Соударения происходят без трения.
▶РешениеСкрыть
\
Пусть \(t\) — время, за которое мяч долетает до наклонной плоскости. Тогда находим, что \[d = \tfrac12at^2\ \Longrightarrow\ d = \tfrac12g\cos\alpha\,t^2 \ \Longrightarrow\ t = \sqrt{\frac{2d}{g\cos\alpha}}.\] Теперь заметим, что полное время \(T = 3t\), потому что мяч пролетает расстояние \(d\) до удара о плоскость, отскакивает вверх на расстояние \(d\) до вершины своей параболической траектории, а затем падает обратно на то же расстояние \(d\).
Значит, расстояние между двумя точками отскока \(s\) находится как \[s = \tfrac12g\sin\alpha\,(T^2-t^2),\qquad s = \tfrac12g\sin\alpha\,(8t^2) = 4g\sin\alpha\Bigl(\frac{2d}{g\cos\alpha}\Bigr),\] \[\boxed{s = 8d\tg\alpha}.\]
Решение 2. Рассмотрим следующий чертёж.
Повернём плоскость на \(\alpha\) против часовой стрелки, так что теперь тяжесть даёт ускорение \(g\cos\alpha\) по направлению \(y\) и \(g\sin\alpha\) по направлению \(x\).
Когда мяч ударяется о плоскость, он ударяется со скоростью \(v_0 = \sqrt{\frac{2gd}{\sin(90^\circ-\alpha)}}\) под углом \(90^\circ-\alpha\) к наклонной плоскости. Затем, пользуясь видоизменённым баллистическим движением, получаем \[t = \frac{2v_0\sin(90^\circ-\alpha)}{g\cos\alpha} = \frac{2v_0}g.\] Кроме того, \[\begin{align*} L &= v_0\cos(90^\circ-\alpha)\,t+\tfrac12g\sin\alpha\,t^2\\ &= \frac{2v_0^2\cos(90^\circ-\alpha)}g+\frac{4v_0^2g\sin\alpha}{2g^2} = \frac{2v_0^2\sin\alpha}g+\frac{2v_0^2\sin\alpha}g = \boxed{8d\tg\alpha}. \end{align*}\]