Шары-зонды с постоянной скоростью подъёма можно использовать для
исследования скорости ветра на разных высотах. Приведённый график зависимости
угла возвышения от времени получен при наблюдении такого шара. Шар был выпущен на
расстоянии \(L = 1\) км от точки наблюдения, и казалось, что он поднимается строго
вверх. Зная, что скорость ветра у земли была нулевой, найдите высоту шара в момент
\(t = 7\) мин после старта и скорость ветра на этой высоте.
▶РешениеСкрыть
Мы замечаем, что график квадратичен, так что его можно подогнать под уравнение \[\alpha = \frac\pi{180}\Bigl(\frac{-60}{49}(t-7)^2+60\Bigr) = -\frac\pi{147}(t-7)^2+\pi/3,\] где \(\alpha\) в радианах, а \(t\) в минутах. Поскольку мы знаем, что скорость подъёма постоянна, она равна \[v_y = L\alpha'(0) = 1000\Bigl(\frac{14\pi}{147}\Bigr) = 299\text{ м/мин} = \boxed{4{,}99\text{ м/с}}.\] Высота попросту равна \[h = v_yt = \boxed{2000\text{ м}}.\] При \(t = 7\) мин изменение угла возвышения мгновенно равно нулю, а это значит, что вектор скорости тоже направлен под \(60^\circ\). Отсюда получаем \[v_x = v_y\tg(30^\circ)\approx\boxed{2{,}8\text{ м/с}}.\] Уравнение кривой для вычислений не обязательно, но и без него ответ может получиться слегка неточным: например, начальный наклон может выйти таким: \(4^\circ/0{,}2\text{ мин} = 0{,}0698\text{ рад}/12\text{ с} = 0{,}00582\text{ с}^{-1}\).