Одно из двух колец радиуса \(r\) покоится, а другое движется со скоростью \(v\)
навстречу первому. Найдите, как зависит скорость верхней точки пересечения от
\(a\) — расстояния между центрами колец.
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим следующий чертёж.
Переход в систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью \(v/2\), даёт следующий чертёж (где \(u\) — скорость точки пересечения):
По подобию (две стороны и угол между ними) находим, что \[\frac u{v/2} = \frac r{\sqrt{r^2-(a/2)^2}},\qquad u = \frac v{2r}\sqrt{r^2-(a/2)^2} = \boxed{\frac v2\sqrt{1-(a/2r)^2}}.\]
Решение 2. Начинаем так же, как в решении 1, и переходим в систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью \(v/2\). Пусть \(y = \sqrt{r^2-a^2/4}\) — высота точки пересечения над центрами колец. Тогда мы видим, что \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{dt} = \frac1{\sqrt{(2r/a)^2-1}}\cdot\frac v2.\] Следовательно, \[u = \sqrt{u_x^2+u_y^2} = \sqrt{\frac{v^2}4+\frac{v^2}4\cdot\frac1{(2r^2/a)-1}},\qquad u = \boxed{\frac v2\sqrt{1-(a/2r)^2}}.\]