Два самолёта летят на одной высоте со скоростями \(v_1 = 800\) км/ч и
\(v_2 = 600\) км/ч соответственно. Самолёты сближаются; в некоторый момент времени
траектории самолётов перпендикулярны друг другу, и оба самолёта находятся на
расстоянии \(a = 20\) км от точки пересечения своих траекторий. Найдите минимальное
расстояние между самолётами за время полёта, считая, что их скорости останутся
постоянными.
▶РешениеСкрыть
Перейдя в систему отсчёта красного самолёта, мы видим синий самолёт с направленной по диагонали скоростью.
Наибольшее сближение будет тогда, когда путь более быстрого самолёта образует перпендикуляр с более медленным. Это превращается в геометрическую задачу, где у нас два подобных прямоугольных треугольника. Мы можем разложить скорость синего самолёта на компоненты (поскольку перемещение направлено так же, как скорость, это же будут и компоненты перемещения). Верхний треугольник — прямоугольный треугольник \(3-4-5\), значит, и нижний правый треугольник тоже должен быть треугольником \(3-4-5\).
Теперь остаётся определить, насколько далеко находится синий самолёт, когда он прямо над красным. Время, за которое он доходит до этой точки, равно \[t = \frac{20\text{ км}}{800\text{ км/ч}} = 0{,}025\text{ ч},\] а вертикальное расстояние, которое он проходит за это время, \[\Delta y = (600\text{ км/ч})(0{,}025\text{ ч}) = 15\text{ км},\] значит, вертикальное разделение равно 5 км. Поэтому \[\boxed{d = 4\text{ км}}.\]
Решение 2. Поработаем на этот раз в лабораторной системе, но разложим скорости двух самолётов на направление, перпендикулярное линии между ними, и направление вдоль неё. Нас интересует только радиальная компонента. Изначально самолёты сближаются, но в конце концов начнут удаляться. Момент, когда это происходит, — это момент, когда радиальные компоненты их скоростей направлены в одну сторону и равны по модулю. Если бы мы измерили их радиальное ускорение в этот момент, оно было бы нулевым.
Итак, должно быть \[600\sin\alpha = 800\cos\alpha\ \Longrightarrow\ \tg\alpha = \frac43.\] Из подобия треугольников должно также выполняться \(\frac43 = \frac yx\). Пусть \(t = 0\) — момент, когда быстрый самолёт находится прямо над медленным. Вертикальное разделение в этот момент равно 5 км. Значит, \(x = 800t\) и \(y = 5-600t\). Мы хотим \[\frac{5-600t}{800t} = \frac43.\] Решая относительно \(t\) и подставляя в \(x\) и \(y\), можно получить расстояние, которое оказывается равным \(\boxed{4\text{ км}}\).
Решение 3. Можно воспользоваться обобщёнными координатами. Расстояние между самолётами равно \[\vec d = (20-800t)\hat x+(-20+600t)\hat y = \vec s+\vec vt,\] где \(\vec s\equiv20\hat x-20\hat y\) и \(\vec v\equiv-800\hat x+600\hat y\) — относительная скорость. Как и раньше, мы хотим, чтобы относительная скорость была перпендикулярна перемещению \(\vec d\). Один из способов — максимизировать векторное произведение: \[|\vec d\times\vec v| = |\vec s\times\vec v+\vec v\times\vec vt| = |\vec s\times\vec v|.\] В максимуме это векторное произведение должно равняться \(|\vec d||\vec v|\). Значит, всё, что нужно, — вычислить \[|\vec d| = \frac{|\vec s\times\vec v|}{|\vec v|} = \boxed{4\text{ км}}.\]
Решение 4. Вот стандартный метод анализа. Расстояние между самолётами через время \(t\) равно \[d^2 = (20-800t)^2+(20-600t)^2.\] \(d\) экстремально, когда экстремально \(d^2\), т. е. когда \[\frac{d}{dt}\bigl[(20-800t)^2+(20-600t)^2\bigr] =\] \[= 2(20-800t)(-800)+2(20-600t)(-600),\] \[\begin{align*} 0 &= 4(20-800t)+3(20-600t),\\ 0 &= 80-3200t+60-1800t,\qquad t = 7/250. \end{align*}\] Подставляя \(t = 7/250\) в формулу расстояния, получаем \(\boxed{d = 4\text{ км}}\).