Есть длинный жёлоб постоянного угла наклона, по которому шарики могут скользить без трения (жёлоб узкий, так что движение шариков по существу одномерно). Пусть по этому жёлобу скользят \(N\) одинаковых абсолютно упругих шариков. Полное число парных соударений между шариками в жёлобе зависит от их начальных скоростей и положений. Каково наибольшее возможное число соударений? (Если вы не знаете, как будут двигаться два абсолютно упругих шарика после соударения, загляните в раздел подсказок.)
▶РешениеСкрыть
Назовём шарики \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), …, \(a_N\).
Когда все шарики отпущены, соотношение их скоростей не меняется (т. е. если скорость \(a_i\) изначально меньше скорости \(a_j\), то она будет меньше скорости \(a_j\) во все моменты).
Когда два одинаковых тела сталкиваются упруго, они обмениваются скоростями. По существу это то же самое, как если бы тела проходили друг сквозь друга. Поэтому вместо этого предположим, что шарики никогда не меняют направления и продолжают проходить друг сквозь друга, а мы вместо этого считаем число раз, когда один шарик проходит сквозь другой.
Эти соображения можно объединить и заключить, что каждый шарик может пройти сквозь каждый другой шарик не более одного раза, так что максимум достигается, когда каждый шарик проходит сквозь каждый другой ровно один раз, что даёт окончательный ответ \[\boxed{\frac{N(N-1)}2}.\]