Теннисный мяч падает со скоростью \(v\) на тяжёлую ракетку и упруго отскакивает назад. Какой должна быть скорость ракетки \(u\), чтобы мяч отскочил под прямым углом к своей начальной траектории и не начал вращаться, если он не вращался до отскока? Чему равен угол \(\beta\) между \(\vec u\) и нормалью к плоскости ракетки, если соответствующий угол для \(\vec v\) равен \(\alpha\)?
▶РешениеСкрыть
Построим прямоугольную трапецию следующим образом. Разложим \(\vec v\) на параллельную и перпендикулярную составляющие, \(\vec v = \vec v_x+\vec v_y\); отметим точки \(A\), \(B\) и \(C\) так, что \(AB = \vec v_x\) и \(BC = \vec v_y\) (тогда \(AC = \vec v\)). Далее отметим точки \(D\), \(E\) и \(F\) так, что \(CD = \vec v\,'_y = \vec v_y\), \(DE = -\vec v_x\) и \(EF = 2\vec u_x\); тогда \(CF = \vec v\,'_y-\vec v_x+2\vec u_x\equiv\vec v\,'\) и \(AF = 2\vec v_y+2\vec u_x\equiv2\vec u\). По условию задачи \(\angle ACF = 90^\circ\).
Теперь видно, что \(\triangle ACF\) — равнобедренный треугольник со сторонами, указанными на рисунке ниже. Отметим также точку \(G\) — середину \(AF\); тогда \(FC\) — одновременно средняя линия прямоугольной трапеции \(ABDF\) (а значит, параллельная \(AB\) и оси \(x\)) и медиана треугольника \(ACF\).
Разбив \(\triangle ACF\) его медианой, находим \[u\cos\alpha = \frac v2\ \Longrightarrow\ \boxed{u = \frac v{2\cos\alpha}}.\] Чтобы это выполнялось, видим также, что \(\boxed{\beta = 180^\circ-2\alpha}\), поскольку \(\triangle ACF\) равнобедренный.