Стержень длины \(l\) шарнирно закреплён на потолке высоты \(h<l\). Внизу по полу
тащат доску. Стержень должен блокировать движение доски в одну сторону, позволяя
ей двигаться в противоположную. Какое условие должно выполняться, чтобы он
справлялся со своей задачей? Коэффициент трения между доской и стержнем \(\mu_1\),
между доской и полом \(\mu_2\).
▶РешениеСкрыть
\
Рассмотрим, что происходит, когда приложенная сила стремится к бесконечности. Чтобы сохранить равновесие, сила трения между стержнем и доской тоже должна расти. Эта сила трения также стремится к бесконечности. Имея дело с большими силами, можно пренебречь постоянными силами — такими, как вес доски и стержня.
В итоге, поскольку весом стержня можно пренебречь, будем считать его невесомым. Мы знаем также, что силы на концах невесомого стержня всегда направлены вдоль стержня. Например, сила, с которой доска действует на стержень, тоже должна быть направлена вдоль стержня. Угол этой силы зависит только от коэффициента трения \(\mu_1\). Поэтому \[\tg\alpha<\frac{\mu_1N}N\ \Longrightarrow\ \boxed{\mu_1>\frac{\sqrt{\ell^2-h^2}}h}.\]
Решение 2. Мы хотим, чтобы, когда доска на грани проскальзывания, стержень действовал на доску с большей силой (стержень должен притягиваться к доске, а не отталкиваться от неё). Рассмотрим момент сил, действующих на стержень относительно шарнира. Мы хотим, чтобы он был направлен по часовой стрелке, когда брусок на грани проскальзывания.
Пусть сумма нормальной реакции и силы трения на стержень равна \(f\) (нормаль направлена вверх, трение — вправо). Когда брусок на грани проскальзывания, равнодействующая составляет с нормалью угол \(\arctg\mu\). Имеем \[\tau = mg\sin\alpha\frac l2+f\sin(\arctg\mu-\alpha),\] считая момент по часовой стрелке положительным. По мере роста приложенной к бруску силы \(f\) тоже неограниченно растёт, а поскольку мы хотим, чтобы момент был направлен по часовой стрелке независимо от величины приложенной силы, слагаемым с \(mg\) можно пренебречь. Итак, \[f\sin(\arctg\mu-\alpha)\ge0.\] Поскольку и \(\arctg\mu\), и \(\alpha\) меньше \(90^\circ\), можно заключить, что \[\arctg\mu\ge\alpha\ \Longrightarrow\ \boxed{\mu\ge\frac{\sqrt{l^2-h^2}}h}.\]