Песок доставляют на стройплощадку транспортёрной лентой. Длина ленты \(l\),
угол с горизонтом \(\alpha\); лента приводится в движение нижним шкивом радиуса \(R\),
питаемым извне. Песок сыплется на ленту с постоянным расходом \(\mu\) (кг/с). Каков
минимальный момент сил, необходимый для транспортировки песка? Какова скорость
ленты при таком моменте? Коэффициент трения достаточно велик, чтобы песчинки
останавливались сразу после попадания на ленту; начальную скорость песчинок
считайте равной нулю.
▶РешениеСкрыть
За малый промежуток времени \(dt\) масса \(dm\), попадающая на ленту транспортёра, равна \(dm = \mu\,dt\). Значит, изменение импульса \(dp\) равно \(dp = dm\,v = \mu v\,dt\) (где \(v\) — скорость ленты, поднимающей песок).
По второму закону Ньютона сила, направленная вверх, равна \[F_{\text{вверх}} = \frac{dp}{dt} = \mu v.\] Заметим, что есть и сила тяжести, направленная вниз. Полная масса всех песчинок на ленте длины \(\ell\) равна \(m = \frac\mu v\ell\)1, так что сила, направленная вниз, равна \[F_{\text{вниз}} = mg\sin\alpha = \frac\mu v\ell g\sin\alpha.\] Это даёт полную силу, нужную для подъёма песчинок по ленте: \[F = \mu v+\frac\mu v\ell g\sin\alpha.\] Минимизируя эту функцию дифференцированием по \(v\), получаем \[\mu-\frac\mu{v^2}\ell g\sin\alpha = 0\ \Longrightarrow\ \boxed{v = \sqrt{g\ell\sin\alpha}}.\] Подставляя это выражение обратно в выражение для силы, получаем \[F_{\min} = \mu\sqrt{g\ell\sin\alpha} +\frac\mu{\sqrt{g\ell\sin\alpha}}\ell g\sin\alpha = 2\mu\sqrt{g\ell\sin\alpha}.\] Минимальный момент тогда равен \[\boxed{\tau = F_{\min}\cdot R = 2\mu R\sqrt{g\ell\sin\alpha}}.\]
Сноски
- \(m = \sigma L\), где \(\sigma v = \mu\). ↩