Белорусская, 2021/22, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Теплоёмкость здесь пропорциональна температуре, значит, теплота при нагреве на заданный интервал пропорциональна разности квадратов температур. Какая температура делит «площадь» между \(t_1\) и \(t_2\) пополам?

Ответ

1.1) \(x_C = \dfrac{\rho_2+2\rho_1}{3(\rho_2+\rho_1)}\,l\);  1.2) \(U(x) = U_0\dfrac{x^2}{l^2}\);  1.3) \(t_0 = \sqrt{\dfrac{t_1^2+t_2^2}{2}} \approx 15{,}8\,^\circ\text{C}\).

Решение

Задача 1.1. Для определения центра масс неоднородного стержня рассмотрим однородную трапецию с длинами оснований, численно равными \(C\rho_2\) и \(C\rho_2\), и высотой \(l\). Если мы выделим малый участок (полоску) шириной \(\Delta x\), то масса этой полоски будет равна (точнее, пропорциональна) массе такого же отрезка рассматриваемого неоднородного стержня. Поэтому координаты \(x_C\) центров масс стержня и трапециевидной пластинки будут одинаковы. Рассчитать координату центра масс пластинки можно традиционным способом.

Разобьём трапецию на прямоугольник и треугольник. Масса прямоугольника равна \(m_1 = C\rho_1 l\), координата его центра масс \(x_1 = \dfrac{l}{2}\). Масса треугольника \(m_2 = \dfrac{C}{2}(\rho_2-\rho_1)\,l\), координата его центра масс \(x_2 = \dfrac{l}{3}\). Тогда координата центра масс трапеции задаётся формулой \[x_C = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} = \frac{\rho_2+2\rho_1}{3(\rho_2+\rho_1)}\,l .\]

Задача 1.2. На рисунке показана зависимость удельного сопротивления стержня от координаты \(x\). Эта зависимость описывается функцией: \[\rho(x) = \rho_0\frac{x}{l}. \qquad (1)\]

Понятно, что площадь под графиком этой зависимости пропорциональна электрическому сопротивлению участка стержня. Поэтому сопротивление участка стержня от нуля до некоторой точки с координатой \(x\) будет равно: \[R(x) = \frac{1}{2}\rho_0\frac{x^2}{lS}. \qquad (2)\] Где \(S\) — постоянная площадь поперечного сечения стержня. Сопротивление всего стержня равно \[R_0 = \frac{1}{2}\frac{\rho_0 l}{S}. \qquad (3)\] Поэтому сила тока, протекающего по стержню, равна \[I = \frac{U_0}{R_0} = \frac{2S}{\rho_0 l}\,U_0. \qquad (4)\] Следовательно, искомое напряжение будет описываться формулой: \[U(x) = I_0R(x) = U_0\frac{x^2}{l^2}. \qquad (5)\]

Задача 1.3. Построим график зависимости удельной теплоёмкости стержня от координаты.

Площадь под этим графиком в интервале температур \(\Delta t\) пропорциональна количеству теплоты, которое требуется, чтобы нагреть брусок на величину \(\Delta t\) в том же диапазоне температур. Так как теплообмен между брусками происходит без потерь, то для нахождения установившейся температуры необходимо трапецию между значениями \(t_1\) и \(t_2\) разбить на две равновеликие части. Легко заметить, что площадь треугольника под данным графиком в диапазоне от нуля до произвольного значения \(t\) пропорциональна \(t^2\). Это позволяет сразу найти значение \(t_0\), разбивающее трапецию на две части равных площадей: \[t_0^2 - t_1^2 = t_2^2 - t_0^2 \quad\Rightarrow\quad t_0 = \sqrt{\frac{t_1^2+t_2^2}{2}} = 15{,}8\,^\circ\text{C} .\]

Подсказка

В части 1 ускорение при невесомости равно \(g\) и направлено вниз; для параболы достаточно разложить начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие. В точке \(C\) сравните, как меняется центр кривизны траектории при переходе с одной параболы на другую.

Ответ

1.1) лифт движется с ускорением \(a_1 = g\), направленным вниз (вверх с замедлением или вниз с ускорением);  1.2) при движении только под действием силы тяжести (невесомость) траектория — парабола;  1.3) \(t_{\text{н}} \approx 26{,}0\) с;  1.4) \(v_1 = 128\) м/с;  1.5) \(h_1 = 835\) м;  1.6) \(\eta = 3{,}00\);  2.1) \(P_{\text{д}}(t) = \beta\left(v_0^2 - 2v_0\sin\alpha\,gt + g^2t^2\right)^{3/2}\);  2.2) смена парабол: резкий перенос центра кривизны из \(O_1\) в \(O_2\) и резкое изменение направления центростремительного ускорения.

Решение

Часть 1. 1.1. Вес тела \(\vec P\) — сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес. В отличие от силы тяжести, вес, приложенный к опоре или подвесу, зависит от состояния движения опоры или подвеса. Рассмотрим (для определённости) брусок на горизонтальной поверхности (Рис. 1), которая может двигаться вверх или вниз с различными скоростями и ускорениями.

При равномерном движении опоры в любом направлении вес \(P\) тела не изменится, поскольку эта система отсчёта инерциальная (ИСО). Если же опора будет иметь ускорение, направленное, например, вверх (см. Рис. 1), то вес тела увеличится (следует из второго закона Ньютона): \[P_\uparrow = m(g+a). \qquad (1)\] Заметим, что (1) никак не зависит от направления скорости — тело может двигаться как вверх, так и вниз, важно направление именно ускорения. Таким образом, при направлении ускорения лифта «вверх» получить состояние невесомости (\(P = 0\)) никак не получится. При направлении ускорения лифта «вниз» ситуация меняется: \[P_\downarrow = m(g-a). \qquad (2)\] Следовательно, при движении лифта вниз с ускорением \(a = g\) будет наступать состояние невесомости: \[P_\downarrow = m(g-g) = 0. \qquad (3)\] Как следует из (3), лифт может двигаться в любом направлении (опускаться, ускоряясь, или подниматься, замедляясь), но с ускорением \(a_1 = g\), направленным вниз. При этом его пассажиры испытают кратковременную невесомость. Простейший вариант — свободное падение на небольшом промежутке времени (не более нескольких секунд!).

1.2. Как следует из решения пункта 1.1, при движении тела с ускорением свободного падения \(a_1 = g\) оно находится в состоянии невесомости. Поскольку при движении в поле тяжести Земли это условие выполнено, то приходим к выводу, что при движении по параболе (под действием одной силы тяжести \(mg\)) тело будет в состоянии невесомости.

1.3. Поскольку на участке \(ABC\) самолёт выключает двигатели (Рис. 2) и переходит на параболическую траекторию, то его движение ничем не отличается от движения камешка, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту (Рис. 3).

Соответственно, для нахождения времени невесомости \(t_{\text{н}}\) можно воспользоваться известной формулой для времени полёта тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\): \[t_{\text{н}} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = 26{,}0\ \text{с}. \qquad (4)\] Хотя полученное значение \(t_{\text{н}}\) и не очень большое, но это время «в десятки раз» превышает время «лифтовой невесомости».

1.4. В верхней точке траектории скорость самолёта \(v_1\) будет равна проекции его начальной скорости на горизонтальное направление: \[v_1 = v_{0x} = v_0\cos\alpha = 460\ \text{км/ч} = 128\ \text{м/с}. \qquad (5)\] Вычислим также радиус \(R\) кривизны параболы в верхней точке траектории, предполагая, что самолёт движется по дуге окружности радиуса \(R\) с ускорением \[\frac{v_1^2}{R} = g \quad\Rightarrow\quad R = \frac{v_1^2}{g}. \qquad (6)\]

1.5. Для вычисления высоты \(h_1\) максимального подъёма (см. Рис. 3) самолёта над уровнем \(AC\) воспользуемся формулой для максимальной высоты подъёма тела, брошенного под углом к горизонту: \[h_1 = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} = 835\ \text{м}. \qquad (7)\]

1.6. Поскольку парабола \(CDE\) по условию симметрична параболе \(ABC\), то её прогиб \(h_1\) и радиус \(R\) кривизны такие же, как и в ранее рассмотренных пунктах. Соответственно, в нижней точке \(D\) траектории (см. Рис. 2) по закону сохранения энергии скорость самолёта вырастет до значения: \[v_2 = \sqrt{v_0^2 + 2gh_1}. \qquad (8)\]

Следовательно, центростремительное ускорение самолёта будет направлено вверх и равно: \[a_2 = \frac{v_2^2}{R} = \frac{v_0^2+2gh_1}{v_1^2}\,g = 29{,}4\ \text{м/с}^2 = 3{,}00\,g, \qquad (9)\] где \(R\) — радиус (6) кривизны параболы в нижней точке траектории (такой же, как и в верхней точке). Таким образом, ответ в данном пункте принимает вид: \[\eta = \frac{a_2}{g} = 3{,}00. \qquad (10)\] Для справки на Рис. 4 приведены показания приборов, измеряющих перегрузку в реальной ситуации. Как видно из рисунка, показания самописцев в районе точки \(D\) дают для перегрузки значение \(\eta = \dfrac{a_2}{g} = 2{,}00\). Таким образом, наша оценка представляется вполне адекватной и реальной.

Часть 2.

2.1. При учёте силы сопротивления воздуха (т.е. в реальной ситуации) пилоты не выключают двигатели полностью, поскольку для возникновения невесомости необходимо силой тяги двигателей \(F_{\text{т}}\) постоянно компенсировать действующую на самолёт силу сопротивления воздуха \(F_{\text{с}} = -\beta v^2\). Для этого (помимо высокого лётного мастерства!) необходима мгновенная мощность: \[P_{\text{д}}(t) = F_{\text{т}}\cdot v = F_{\text{с}}\cdot v = \beta v^3. \qquad (11)\]

При движении по параболе скорость тела меняется (сначала уменьшается, а потом увеличивается) от времени по закону: \[v(t) = \sqrt{v_{0x}^2 + (v_{0y} - gt)^2}, \qquad (12)\] Соответственно, искомая мощность: \[P_{\text{д}}(t) = \beta\left(\sqrt{v_{0x}^2 + (v_{0y}-gt)^2}\right)^3 = \beta\left(\sqrt{v_0^2 - 2v_0\sin\alpha\,gt + g^2t^2}\right)^3. \qquad (13)\] Все необходимые вычисления следует проводить с учётом правила сохранения трёх значащих цифр (столько задано в условии).

2.2. При движении вблизи точки \(C\) происходит «смена» парабол и, соответственно, мгновенный перенос центров кривизны различных участков траекторий из точки \(O_1\) в точку \(O_2\) (Рис. 5). Это приводит к резкому изменению направления центростремительного ускорения на угол примерно в 180 градусов (было направление \(CO_1\), а «через мгновение» стало \(CO_2\)). Такое изменение действующих сил и ускорений изнутри самолёта воспринимается как действие больших сил инерции, что и «чувствуют» на себе пассажиры. Данное явление, правда, в меньших масштабах, можно наблюдать при двойном повороте трамвая или троллейбуса, если внимательно проследить за синхронными «качаниями голов» сидящих пассажиров.

Подсказка

Не спешите писать уравнения для всех трёх грузов: сначала проверьте, может ли нить второго груза оставаться натянутой, если его ускорение получается больше \(g\).

Ответ

\(a_1 = \dfrac{17}{29}\,g\) (груз \(20m\));  \(a_2 = g\) (груз \(12m\));  \(a_3 = \dfrac{51}{29}\,g\) (груз \(m\)).

Решение

Действующие в системе силы изображены на рисунке. Т.к. стержень жёсткий, а нити нерастяжимые, ускорения грузов относятся как \(1\!:\!2\!:\!3\). Сумма моментов сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю. Эти два условия вместе с уравнениями 2-го закона Ньютона для всех грузов дают систему уравнений

\[\begin{cases} 20ma = 20mg - T_1 \\ 12m\cdot 2a = 12mg - T_2 \\ m\cdot 3a = T_3 - mg \\ T_1 l + T_2\cdot 2l = T_3\cdot 3l \end{cases} \qquad (1)\] из которой находим \[a = \frac{41}{77}\,g. \qquad (2)\] Однако найденное значение ускорения второго груза \(a = \dfrac{82}{77}\,g\) получается больше ускорения свободного падения. Это означает, что нить второго груза не будет натянутой, а его ускорение равно \(g\). Также можно показать, что формально из системы уравнений (1) следует, что \(T_2 < 0\), чего для нити быть не может. Следовательно, нить, к которой подвешен второй груз, на стержень не действует. Поэтому система уравнений (1) неверно описывает рассматриваемое устройство. Для расчёта ускорений стержня и остальных грузов второй груз следует исключить. Правильные значения ускорений первого и третьего грузов находятся из следующей системы уравнений: \[\begin{cases} 20ma = 20mg - T_1 \\ m\cdot 3a = T_3 - mg \\ T_1 l = T_3\cdot 3l \end{cases} \qquad (3)\] Решая эту систему уравнений, окончательно получаем \(a = \dfrac{17}{29}\,g\): \[a_1 = \frac{17}{29}\,g, \qquad a_2 = g, \qquad a_3 = \frac{51}{29}\,g. \qquad (4)\]