Белорусская, 2022/23, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Поплавок плавает, когда сила тяжести (поплавок с биркой) равна силе Архимеда, которая зависит от плотности воды, а та – от температуры. Удельный объем воды \(v_0\) связывает массу и объем. Тепловое расширение стекла меняет объем шарика, а значит, силу Архимеда.

Ответ

1) площадь отверстия увеличится, \(\Delta S\approx 2b\alpha\,\Delta t\);  2) \(\gamma=-3\alpha\);  2.1) начнет тонуть;  2.2) температура воды – среднее значение между максимальной температурой всплытия среди плавающих поплавков и минимальной среди утонувших; погрешность – половина разности этих температур;  2.3) \(m_1=\dfrac{\dfrac{1}{v_0}\dfrac{\pi D^3}{6}-m_0}{1-\dfrac{1}{\rho_1 v_0}}\) (значения – в таблице ниже);  2.4) \(\Delta m_1=\dfrac{\dfrac{\pi D^3}{6v_0}\,3\alpha\,(t-t_0)}{1-\dfrac{1}{v_0\rho_1}}\) (значения – в таблице ниже);  2.5) \(m\approx 0{,}922\) г.

Решение

1) Для тепловых расширений: площадь отверстия, как и все линейные размеры, увеличивается, поэтому площадь отверстия также увеличится. Изменение площади отверстия равно \[\Delta S=\bigl(Rb(1+\alpha\Delta t)\bigr)^2-b^2\approx 2b\alpha\Delta t.\qquad (1)\]

1.2 Рассмотрим куб с длиной ребра \(a_0\), изготовленный из рассматриваемого материала. Длина ребра куба изменяется по закону \(a=a_0(1+\alpha\Delta t)\). Тогда объем куба станет равным \[V=a^3=a_0^3(1+\alpha\Delta t)^3\approx V_0(1+3\alpha\Delta t).\qquad (3)\] При нагревании тела его масса не изменяется, поэтому плотность тела станет равной \[\rho=\frac{m}{V_0(1+3\alpha\Delta t)}\approx\frac{m}{V_0}\bigl(1-3\alpha\Delta t\bigr)=\rho_0\bigl(1-3\alpha\Delta t\bigr).\] Здесь использована приближенная формула \(\dfrac{1}{1+x}\approx 1-x\). Из сравнения с формулой, приведенной в условии, находим \[\gamma=-3\alpha.\qquad (4)\]

Часть 2. Массы поплавков.

2.1 Поплавок находится в равновесии, если сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда. При увеличении температуры плотность воды уменьшается, поэтому уменьшается сила Архимеда, поэтому шарик начнет тонуть.

2.2 Плавать будут те поплавки, для которых температура всплытия больше температуры воды, а утонут те, у которых указанная на бирках температура меньше температуры воды. Поэтому температура воды лежит в диапазоне от максимальной среди плавающих поплавков, до минимальной среди утонувших поплавков. В качестве измеренной температуры можно взять среднее значение этих температур. В качестве оценки погрешности разумно взять половину разности этих температур.

2.3 При температуре всплытия сила тяжести шарика уравновешивается силой Архимеда, которая изменяется при изменении температуры: \[mg=F_A.\qquad (5)\] Сила Архимеда рассчитывается по формуле \[F_A=\rho_0 Vg=\frac{Vg}{v_0},\qquad (6)\] где \[V=V_{\text{шарик}}+V_{\text{бирки}}=\frac{\pi D^3}{6}+\frac{m_1}{\rho_1}\qquad (7)\] – объем поплавка с биркой.

Из этих формул следует, что масса поплавка с биркой должна быть равна \[m_0+m_1=\frac{1}{v_0}\left(\frac{\pi D^3}{6}+\frac{m_1}{\rho_1}\right).\qquad (8)\] Из этого уравнения находим необходимую массу бирки \[m_1=\frac{\dfrac{1}{v_0}\dfrac{\pi D^3}{6}-m_0}{1-\dfrac{1}{\rho_1 v_0}}.\qquad (8')\]

2.4 При учете теплового расширения стеклянного поплавка формула (8) преобразуется к виду (связанному с изменением диаметра поплавка) \[m_1=\frac{\dfrac{1}{v_0}\dfrac{\pi D^3}{6}\bigl(1+3\alpha(t-t_0)\bigr)-m_0}{1-\dfrac{1}{v_0\rho_1}}.\qquad (9)\] Из формул (8)–(9) следует, что массу каждой бирки следует увеличить на \[\Delta m_1=\frac{\dfrac{\pi D^3}{6v_0}\,3\alpha\bigl(t-t_0\bigr)}{1-\dfrac{1}{v_0\rho_1}}.\qquad (10)\] Результаты расчетов масс бирок и их изменения, проведенные по формулам (8) и (9) приведены в Таблице.

2.5 Общая масса золота равна сумме всех чисел в 2 последних столбцах данной таблицы. Она равна \[m=0{,}922\ \text{г}.\qquad (11)\]

Подсказка

Радиус Земли – из геометрии касательной к сфере (теорема Пифагора при малой высоте). Массу Земли и среднюю плотность – из закона всемирного тяготения для \(g\). Расстояние до Луны – из третьего закона Кеплера с учетом синодического месяца, масса Солнца – из движения Земли и радиолокационной дальности.

Ответ

1.1) \(R=\dfrac{L^2}{8h}\approx 6{,}3\cdot10^6\) м;  2.1) \(\rho=\dfrac{3g}{4\pi RG}\approx 5{,}55\cdot10^3\) кг/м³ (масса Земли \(M=\dfrac{gR^2}{G}\approx 5{,}9\cdot10^{24}\) кг);  3.1) \(r=\sqrt[3]{\dfrac{gR^2}{\left(2\pi\left(\frac{1}{\tau}+\frac{1}{T_з}\right)\right)^2}}\approx 3{,}9\cdot10^8\) м;  4.1) \(M=\dfrac{1}{G}\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2\left(\dfrac{c\tau}{2}\right)^3\approx 2{,}0\cdot10^{30}\) кг.

Решение

Часть 1. Радиус Земли.

1.1 Элементарные построения условия видимости приводят к уравнению, следующему из теоремы Пифагора \[\left(\frac{L}{2}\right)^2=(R+h)^2-R^2\approx 2Rh.\qquad (1)\] Мы пренебрегли малым слагаемым \(h^2\). Из этой формулы следует, что радиус Земли равен \[R=\frac{L^2}{8h}.\qquad (2)\] Численный подсчет дает результат \[R\approx 6{,}3\cdot10^6\ \text{м}.\qquad (3)\]

Часть 2. Масса Земли.

2.1 Из закона всемирного тяготения можно записать формулу для ускорения свободного падения \[g_0=G\frac{M}{R^2}.\qquad (4)\] Из этой формулы находим массу Земли \(M=\dfrac{g_0R^2}{G}=5{,}9\cdot10^{24}\) кг. Средняя плотность Земли равна \[\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3g_0}{4\pi RG}=5{,}55\cdot10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.\qquad (5)\]

Часть 3. Расстояние до Луны.

3.1 Расстояние от Земли до Луны можно найти \(r\), рассматривая движение Луны с точки зрения законов динамики (2 закон Ньютона и закон всемирного тяготения): \[m\omega^2r=G\frac{mM}{r^2}.\qquad (6)\] Где \(m\) – масса Луны, \(M\) – масса Земли, \(\omega=\dfrac{2\pi}{T_Л}\) – угловая скорость движения Луны вокруг Земли. Для упрощения расчетов можно использовать формулу (4): \[\left(\frac{2\pi}{T_Л}\right)^2 r=\frac{g_0R^2}{r^2}.\qquad (7)\] Из этой формулы находим радиус лунной орбиты \[r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{\left(\frac{2\pi}{T_Л}\right)^2}}.\qquad (8)\] Теперь необходимо учесть, что время между двумя новолуниями не равно периоду обращения Луны вокруг Земли. Обозначим \(T_з\) период обращения Земли вокруг Солнца (1 год). На рисунке показано положение Солнца, Земли и Луны в два последовательных новолуния. Очевидно, что время между полнолуниями (которые легче наблюдать) равно времени между новолуниями. За время между новолуниями \(\tau\) Луна по своей орбите повернется на угол \(\left(2\pi+\dfrac{2\pi}{T_з}\tau\right)\), поэтому можно записать: \[\tau=\frac{\left(2\pi+\frac{2\pi}{T_з}\tau\right)}{\omega_Л}=\frac{\left(2\pi+\frac{2\pi}{T_з}\tau\right)}{2\pi}T_Л.\qquad (9)\] Из этой формулы следует, что период обращения Луны описывается формулой: \[\frac{1}{T_Л}=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{T_з}.\qquad (10)\] Подставляя это выражение в формулу (8), получим \[r=\sqrt[3]{\frac{g_0R^2}{\left(2\pi\left(\frac{1}{\tau}+\frac{1}{T_з}\right)\right)^2}}.\qquad (11)\] Для численных расчетов необходимо подставить все значения в системе СИ: \[r=\sqrt[3]{\frac{9{,}81\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\,(6{,}5\cdot10^6\ \text{м})^2}{\left(\dfrac{2\pi}{24\cdot3600\ \text{с}}\left(\dfrac{1}{29{,}5}+\dfrac{1}{365{,}25}\right)\right)^2}}=3{,}9\cdot10^8\ \text{м}.\qquad (12)\]

Часть 4. Масса Солнца.

4.1 Запишем второй закон Ньютона (в совокупности с законом всемирного тяготения) для движения Земли \[m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R=G\frac{mM}{R^2}.\qquad (13)\] Где \(m\) – масса Земли, \(M\) – масса Солнца, \(R\) – радиус Земной орбиты, \(T=1\) год – период обращения Земли вокруг Солнца. Из этого уравнения выразим массу Солнца \[M=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\frac{R^3}{G}.\qquad (14)\] Радиус орбиты найдем из данных радиолокационных измерений \[R=c\,\frac{\tau}{2}.\qquad (15)\] Окончательно для массы Солнца получим \[M=\frac{1}{G}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\left(\frac{c\tau}{2}\right)^3.\qquad (16)\] Подставим численные значения и вычислим \[M=\frac{1}{6{,}67\cdot10^{-11}}\left(\frac{2\pi}{365{,}25\cdot24\cdot3600}\right)^2\left(\frac{3\cdot10^8\cdot16{,}7\cdot60}{2}\right)^3=2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}.\]

Подсказка

Для каждой схемы сначала найдите сопротивление между клеммами \(A\) и \(B\) через \(R_0\) и \(z\), затем \(p=1/r\) (мощность при фиксированном \(U_0\) обратно пропорциональна сопротивлению). Максимум \(R_{AB}(z)\) для схемы 1.3 позволяет найти \(R_0\).

Ответ

1.1) \(p=\dfrac{1}{z}\);  1.2) \(p=\dfrac{1}{1-z}\);  1.3) \(p=\dfrac{1}{z(1-z)}\);  2.1) \(p=z\);  2.2) \(p=\dfrac{1+z}{z}\);  3.1) \(R_0=100\) Ом;  3.2) см. таблицу и график в решении;  3.3) \(R(z)=R_0z^2\);  3.4) график \(p(z)\) в решении.

Решение

Часть 1. Один реостат.

Мощность электроплитки рассчитывается по формуле \(P=\dfrac{U_0^2}{R}\). Поэтому в относительных единицах эта величина равна \[p=\frac{U_0^2}{R}\cdot\frac{R_0}{U_0^2}=\frac{1}{r}.\qquad (1)\]

1.1 Так как вторая часть реостата «закорочена», то «работает» только его первая часть, поэтому сопротивлением между клеммами равно \[R=R_0\frac{x}{l}.\qquad (2)\] Или в относительных единицах \[r=z.\qquad (3)\] Тогда мощность плитки равна \[p=\frac{1}{z}.\qquad (4)\]

1.2 В этом случае ситуация обратная, поэтому \[r=1-z.\qquad (5)\] И мощность \[p=\frac{1}{1-z}.\qquad (6)\]

1.3 Не сложно заметить, что в данном случае два участка реостата подключены к клеммам параллельно, поэтому общее сопротивление равно \[R=\frac{R_x\left(R_0-R_x\right)}{R_0}.\qquad (7)\] В относительных единицах эта функция имеет вид \[r=z\left(1-z\right).\qquad (8)\] Формула для мощности имеет вид \[p=\frac{1}{z(1-z)}.\qquad (9)\] Графики этих функций показаны на рисунке.

Часть 2. Два реостата.

2.1 В этой схеме электрический ток через перемычку не идет, поэтому мы имеем два параллельно соединенных реостата. Общее сопротивление не зависит от положения движков реостатов и равно \[R_{AB}=\frac{R_0}{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ p=z.\qquad (10)\]

2.2 В этой схеме параллельно соединены участок первого реостата и полностью второй реостат. Сопротивление такой схемы равно \[R_{AB}=\frac{R_0R_x}{R_0+R_x}\ \Rightarrow\ r=\frac{z}{1+z}\ \Rightarrow\ p=\frac{1+z}{z}.\qquad (11)\]

Часть 3. Нелинейный реостат.

3.1 Зависимость сопротивления цепи от величины \(x\) описывается функцией \[R_{AB}=\frac{R(x)\bigl(R_0-R(x)\bigr)}{R_0}.\qquad (12)\] В этом выражении величина \(R_0\) также неизвестна. Однако ее можно найти, анализируя зависимость \(R_{AB}\) от \(R(x)\). Как следует из выражения (8) эта функция достигает максимума при \(R(x)=\dfrac{R_0}{2}\), при этом \[\left(R_{AB}\right)_{\max}=\frac{R(x)\bigl(R_0-R(x)\bigr)}{R_0}=\frac{\dfrac{R_0}{2}\left(R_0-\dfrac{R_0}{2}\right)}{R_0}=\frac{R_0}{4}.\qquad (13)\] В таблице 1 находим, что \(\left(R_{AB}\right)_{\max}=25{,}0\) Ом. Следовательно, \[R_0=100\ \text{Ом}.\qquad (14)\]

3.2 Теперь уравнение (8) можно переписать в безразмерных параметрах \[r_{AB}=r(z)\bigl(1-r(z)\bigr).\qquad (15)\] Данное уравнение является квадратным относительно функции \(r(z)\): \[r^2-r+r_{AB}=0.\qquad (16)\] Полное решение этого уравнения задается выражениями: \[\begin{cases} r_1=\dfrac{1+\sqrt{1-4r_{AB}}}{2},\\[2mm] r_2=\dfrac{1-\sqrt{1-4r_{AB}}}{2}. \end{cases}\qquad (17)\] В таблице приведены значения корней уравнения (8) в зависимости от параметра \(z\) (корни безразмерного уравнения (12) рассчитаны по формулам (13)).

Ниже показаны графики этих рассчитанных значений.

По своему физическому смыслу полученная функция должна быть монотонно возрастающей, так сопротивление никакого участка реостата не может быть отрицательным. Поэтому, полученные решения надо правильно сшить, как показано в таблице и на графике.

3.3 Легко заметить, что данная функция является квадратичной (значения сопротивлений – квадраты целых чисел) и описывается формулой \[R(z)=R_0z^2.\qquad (18)\]

3.4 График зависимости мощности реостата от параметра \(z\) имеет вид, показанный на рисунке.