Белорусская, 2024/25, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Для шайб удобно сравнить, за какое время каждая следующая шайба догоняет предыдущую. Для наклонной плоскости разложите движение на составляющие вдоль и перпендикулярно плоскости. Для цепи подумайте о предельных состояниях: сразу после замыкания конденсаторы разряжены, а в конце они заряжены до \(U_0\).

Ответ

1.1) \(T = \dfrac{N(N-1)}{2}\dfrac{l}{V_0}\);  1.2.1) \(l_k = 8kh\sin\alpha\);  1.2.2) \(L_k = 4k(k+1)h\sin\alpha\);  1.3.1) \(I_0 = \dfrac{U_0}{R}\);  1.3.2) \(q = N\dfrac{U_0}{C}\).

Решение

1.1. Обозначим скорость шарика номер \(k\) сразу после его столкновения \(v_k\). Из закона сохранения импульса \(mV_0 = kmv_k\), следовательно, \[v_k = \frac{V_0}{k} .\] Поэтому время движения \(k\) «слипшихся» шайб до очередного столкновения равно \[\tau_k = \frac{l}{v_k} = k\frac{l}{V_0} .\] Последняя шайба сдвинется через время \[T = \sum_{k=1}^{N-1}\tau_k = \frac{l}{V_0}\sum_{k=1}^{N-1}k .\] Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, получаем \[T = \frac{N(N-1)}{2}\frac{l}{V_0} .\]

1.2. Удобно рассматривать движение шарика в системе координат, связанной с наклонной плоскостью: ось \(x\) направлена вдоль плоскости, ось \(y\) перпендикулярно к ней.

Проекции ускорения на оси: \[\begin{cases} a_x = g\sin\alpha \\ a_y = -g\cos\alpha \end{cases} .\] Проекции начальной скорости после первого удара (с учётом абсолютной упругости): \[\begin{cases} v_{0x} = v_0\sin\alpha \\ v_{0y} = v_0\cos\alpha \end{cases} , \qquad v_0 = \sqrt{2gh} .\] Так как в моменты ударов силы направлены перпендикулярно плоскости, проекция скорости на ось \(x\) при ударах не меняется. Движение по оси \(x\) равноускоренное: \[x = v_0t\sin\alpha + \frac{g\sin\alpha}{2}t^2 .\] Закон движения вдоль оси \(y\) после первого столкновения: \[y = v_0t\cos\alpha - \frac{g\cos\alpha}{2}t^2 .\] Отсюда второй удар произойдёт через время \[\tau = \frac{2v_0}{g} .\] Проекция скорости \(v_{y1}\) в этот момент равна \(-v_0\cos\alpha\). Таким образом, после каждого столкновения проекция скорости \(v_y\) остаётся неизменной, следовательно, время между последовательными ударами постоянно и определяется формулой \(\tau = 2v_0/g\).

Поэтому проще сначала найти ответ на второй вопрос задачи, а затем на первый.

1.2.2. Время \(k\) пролётов равно \[t_k = k\tau = k\frac{2v_0}{g} .\] Координата \(x\) (равная искомой величине \(L_k\)) задаётся законом движения: \[L_k = v_0(k\tau)\sin\alpha + \frac{g\sin\alpha}{2}(k\tau)^2 = k(k+1)\frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha .\] С учётом \(v_0^2 = 2gh\) получаем \[L_k = 4k(k+1)h\sin\alpha .\]

1.2.1. Расстояния между последовательными ударами: \[l_k = L_k - L_{k-1} = 8kh\sin\alpha .\]

1.3.1. Если конденсатор не заряжен, то напряжение на нём равно нулю, поэтому он является проводником. Следовательно, в момент замыкания цепи ток пойдёт только через первый резистор, поэтому его сила равна \[I_0 = \frac{U_0}{R} .\]

1.3.2. Когда конденсаторы зарядятся, ток в цепи прекратится. В этом случае напряжения на резисторах станут равными нулю (т. е. их можно считать проводниками), и напряжение на всех конденсаторах станет равным напряжению источника. Поэтому суммарный заряд цепи станет равным \[q = N\frac{U_0}{C} .\]

Подсказка

Для ядер, ускоряемых в каждой ячейке, энергия после \(n\) ячеек растёт линейно по \(n\). Сравните времена пролёта между ячейками для первой и \(n\)-й труб, учитывая, что период импульсов одинаков.

Ответ

1.1) \(U_0 \approx 1{,}2\cdot 10^{7}\) В;  1.2) \(V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\) м/с;  1.3) \(U \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\) В, \(V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\) м/с;  2.1) \(\Delta W = qU_0\dfrac{a}{R}\);  2.2) \(E_0 = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\);  3.1) \(l_n = l_1\sqrt{n}\).

Решение

Часть 1.

1.1. Основная проблема рассмотренного типа ускорения заключается в том, что ядро-мишень также приходит в движение. Поэтому не вся кинетическая энергия движущегося ядра переходит в энергию их взаимодействия. При сближении положительно заряженных ядер возрастает энергия их кулоновского взаимодействия, которое препятствует их столкновению. При минимальном сближении ядер их скорости становятся равными. Запишем закон сохранения энергии для рассматриваемых ядер: \[\frac{m_1V_0^2}{2} = \frac{(m_1+m_2)V^2}{2} + W(r) ,\] где \(V_0\) — скорость ускоренного ядра; \(V\) — скорость ядер в момент максимального сближения; \(W(r)\) — потенциальная энергия кулоновского взаимодействия в этот же момент. Так как ядра должны сблизиться на расстояние \(r_1+r_2\), потенциальная энергия взаимодействия должна достичь величины \[W = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} ,\] где \(q_1, q_2\) — электрические заряды ядер. Скорость ядер в момент максимального сближения можно выразить из закона сохранения импульса: \[m_1V_0 = (m_1+m_2)V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{m_1}{m_1+m_2}V_0 .\] Подставим в уравнение (1) и преобразуем его: \[\frac{m_1V_0^2}{2}\cdot\frac{m_2}{m_1+m_2} = W(r) .\] Кинетическую энергию налетающего ядра выразим через ускоряющую разность потенциалов \(U\): \[\frac{m_1V_0^2}{2} = q_1U .\] Эти уравнения позволяют записать выражение \[q_1U\,\frac{m_2}{m_1+m_2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} ,\] из которого находим \[U = \frac{m_1+m_2}{m_2}\,\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} .\] Наконец, выразим характеристики ядер через их массовые и зарядовые числа: \[U = \frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_2}{A_2}\,\frac{e}{4\pi\varepsilon_0 a} .\] Подставляя численные значения, получим \[U \approx 1{,}2\cdot 10^{7}\ \text{В} .\]

1.2. Для вычисления скорости налетающего ядра воспользуемся формулами (5) и (8): \[\frac{A_1m_pV_0^2}{2} = Z_1eU ,\] откуда \[V_0 = \sqrt{\frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_2Z_1}{A_2A_1}\,\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 a m_p}} .\] Численное значение этой величины равно \[V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\ \text{м/с} .\]

1.3. Если ядра поменять местами, то это приведёт к изменению индексов в конечных формулах. Тогда ускоряющая разность потенциалов для ядра свинца оказывается равной \[U = \frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_1}{A_1}\,\frac{e}{4\pi\varepsilon_0 a} \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\ \text{В} .\] Формула для скорости симметрична по индексам, поэтому скорость ядра свинца должна остаться прежней: \[V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\ \text{м/с} .\]

Часть 2. Ускоряющая система.

2.1. Для расчёта энергии, которую получает ядро при пролёте через ускоряющую ячейку, необходимо рассмотреть электрическое поле между пластинами. Для расчёта поля используем принцип суперпозиции и достаточно традиционную идею: вместо отверстия будем рассматривать сплошную пластину с поверхностной плотностью заряда \(+\sigma\), на которую наложен диск, радиус которого равен радиусу отверстия, с противоположной плотностью заряда \(-\sigma\). Аналогично будем рассматривать и вторую пластину с отверстием.

При таком подходе напряжённость электрического поля на оси отверстий можно представить в виде следующей суммы полей (в проекции на направление движения частиц):

• поле положительно заряженной пластины \(E_1 = E_0\);

• «поле отверстия» в этой пластине \(E_2 = -E_0\left(1 - \dfrac{z}{R}\right)\);

• поле отрицательно заряженной пластины \(E_3 = E_0\);

• «поле отверстия» во второй пластине \(E_4 = -E_0\left(1 - \dfrac{a-z}{R}\right)\).

Сумма этих полей оказывается равной \[E_\Sigma = E_0\frac{a}{R} .\] Таким образом, в рамках приближённой модели поля диска поле на оси отверстий оказывается однородным. Следовательно, разность потенциалов между центрами отверстий равна \[\Delta\varphi_{CC} = E_\Sigma a = E_0\frac{a^2}{R} .\] При прохождении этой разности потенциалов энергия ядра увеличится на величину \[\Delta W = q\,\Delta\varphi_{CC} = qE_0\frac{a^2}{R} .\] На большом удалении от отверстий поле между пластинами однородное, его напряжённость равна \(E_0\). Следовательно, разность потенциалов (или напряжение) между пластинами равна \[U_0 = aE_0 .\] Наконец, из последних формул следует, что при пролёте через ускоряющую систему ядро приобретёт энергию, равную \[\Delta W = qU_0\frac{a}{R} .\]

2.2. Формула для ёмкости плоского конденсатора \(C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) и определение ёмкости \(C = \dfrac{q}{U} = \dfrac{\sigma S}{2E_0 d}\) позволяют выразить напряжённость поля одной пластины через поверхностную плотность заряда на ней: \[E_0 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} .\]

Часть 3. Линейный ускоритель.

3.1. Чтобы разгон ядра проходил в каждой ускоряющей ячейке, необходимо, чтобы ядро подлетало к очередной ячейке в момент включения поля. То есть времена пролёта между ячейками должны быть одинаковыми. Так как в каждой ячейке кинетическая энергия увеличивается на одну и ту же величину \(\Delta W\), то после пролёта \(n\) ячеек энергия и скорость ядра будут равны \[W = n\Delta W ,\qquad \frac{mV_n^2}{2} = W_n \quad\Rightarrow\quad V_n = V_1\sqrt{n} .\] Из условия постоянства времён пролёта \[\frac{l_1}{V_1} = \frac{l_n}{V_n} = \frac{l_n}{V_1\sqrt{n}}\] следует, что длины труб должны удовлетворять условию \[l_n = l_1\sqrt{n} .\]

Подсказка

Для расчёта давления в каждом состоянии воспользуйтесь законом Бойля—Мариотта для участков с постоянным количеством воздуха, а клапан открывается при разности давлений \(\delta P\). Работу на участке выталкивания воздуха можно найти как произведение постоянной разности давлений на изменение объёма.

Ответ

1.1) \(P = P_0 + h - z\) (в м.в.с.);  1.2) \(A_{\min} \approx 3{,}2\) м;  1.3) \(v = \dfrac{4A}{T} = 2{,}0\) м/с;  1.5) \(t_1 \approx 1{,}58\) с, \(h_1 \approx 3{,}17\) м, \(z_1 \approx 1{,}17\) м, \(P_1 = 12\) м;  1.6) см. Таблицу 1 в решении (узловые точки \(t_k\), \(h_k\), \(z_k\), \(P_k\), \(k=0\dots 8\));  1.8) цикл начинается в точке 2, конец цикла — точка 5;  2.1) генератор вырабатывает электроэнергию на участках 3–4 и 5–6;  2.2) \(\Delta m \approx 4{,}0\) кг;  2.3) \(E_{\text{кин.}} \approx 0{,}80\cdot 10^{3}\) Дж (т. е. около 800 Дж);  2.4) \(A_{5\text{--}6} \approx 5{,}4\cdot 10^{5}\) Дж;  2.5) \(N \approx 9{,}8\cdot 10^{4}\) Вт \(\approx 100\) кВт.

Решение

1.1. Давление воздуха внутри рабочего цилиндра следует из условия равновесия воды: \[P = P_0 + h - z .\]

1.2. При подъёме уровня воды моря начнётся подъём уровня воды в цилиндре и сжатие воздуха в нём. Так как клапан выпускной открывается, если давление воздуха внутри цилиндра достигнет значения \[P_2 = P_0 + \delta P ,\] чтобы генератор начал работать, необходимо, чтобы при максимальном подъёме уровня воды \(h = A\) давление воздуха достигло значения, определяемого этой формулой. Так как процесс сжатия происходит при постоянной температуре и постоянной массе воздуха в цилиндре, то он описывается законом Бойля–Мариотта \(PV = \mathrm{const}\): \[\bigl(P_0 + A - z_2\bigr)\bigl(z_0 - z_2\bigr) = P_0z_0 .\] Принимая во внимание формулу для давления, получим, что максимальный уровень подъёма воды в рабочем цилиндре должен стать равным \(z_2\): \[z_2 = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}\,z_0 .\] Найденное значение позволяет найти минимальную высоту волны: \[A_{\min} = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}\,z_0 + \delta P \approx 3{,}2\ \text{м} .\]

1.3. Модуль скорости движения воды снаружи равен \[v = \frac{4A}{T} = 2{,}0\ \text{м/с} .\]

1.4. Параметры в состоянии 1 задаются начальными условиями. На временном интервале между точками 1 и 2 (а также 2 и 3) подъём уровня воды вне цилиндра происходит по закону \[h = vt .\] Процесс 1–2 (до открытия клапана) есть изотермический процесс при постоянной массе воздуха, поэтому описывается уравнением \[\bigl(P_0+h-z\bigr)\bigl(z_0-z\bigr) = P_0z_0 .\] Из этого квадратного уравнения \[z^2 - z\bigl(P_0+z_0+h\bigr) + hz_0 = 0\] находим зависимость высоты уровня воды в цилиндре от времени: \[z = \frac{P_0+z_0+vt}{2} - \sqrt{\frac{\bigl(P_0+z_0+vt\bigr)^2}{4} - vtz_0} .\] График этой зависимости показан на рисунке.

1.5. Для расчёта характеристик воздуха в момент времени \(t_1\) следует принять во внимание, что в этот момент открывается клапан, т. е. давление достигает значения \[P_1 = P_0 + \delta P = 12\ \text{м} .\] Тогда из уравнения (9) можно получить линейное уравнение \[\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_0-z_1\bigr) = P_0z_0 .\] Из которого находятся все необходимые параметры воздуха в состоянии 1: \[z_1 = z_0 - \frac{P_0}{P_0+\delta P}z_0 = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}z_0 = 1{,}17\ \text{м},\] \[h_1 = z_1 + \delta P = 3{,}17\ \text{м}, \qquad t_1 = \frac{1}{v}\left(\frac{\delta P}{P_0+\delta P}z_0 + \delta P\right) = 1{,}58\ \text{с} .\]

1.6. Участок 1–2. В момент времени \(t_2\) клапан откроется и воздух начнёт выходить в атмосферу, при этом разность давлений с наружи и внутри будет оставаться постоянной и равной \(\delta P\). Давление внутри, высота уровня воды внутри цилиндра и вне его будут описываться линейными функциями \[h(t) = vt ,\qquad P(t) = P_0 - \delta P = \text{const},\qquad z(t) = h - \delta P = h - vt .\] В точке 3 параметры воздуха станут равными: \[t_2 = \frac{T}{4} = 2{,}5\ \text{с},\quad h_2 = A = 5{,}0\ \text{м},\quad z_2 = A - \delta P = 3{,}0\ \text{м}, \quad P_2 = P_0 - \delta P = 8{,}0\ \text{м} .\] Участок 2–3. Далее уровень воды вне цилиндра начнёт уменьшаться, следовательно, начнёт понижаться и уровень воды в рабочем цилиндре. Давление воздуха внутри уменьшится, поэтому клапан закроется. Поэтому процесс 3–4 будет изотермическим при постоянной массе газа, т. е. описываться уравнением \[\bigl(P_0+h-z\bigr)\bigl(z_0-z\bigr) = \bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(A-\delta P\bigr) .\] Высота \(z\) будет уменьшаться до тех пор, пока давление внутри цилиндра не станет равным \[P_3 = P_0 - \delta P = 8{,}0\ \text{м} .\] В этот момент воздух начнёт поступать в цилиндр. Теперь из уравнения с учётом этого выражения можно рассчитать все характеристики состояния воздуха в точке 3: \[z_3 = z_0 - \frac{\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(A-\delta P\bigr)}{P_0-\delta P} = 2{,}5\ \text{м}, \qquad h_3 = z_3 - \delta P = 0{,}50\ \text{м},\] \[\Delta t = \frac{A-h_3}{v} = 2{,}25\ \text{с},\qquad t_3 = \frac{T}{4} + \Delta t = 4{,}75\ \text{с} .\] Участок 3–4. Далее процесс будет идти при постоянной разности давлений, вплоть до того момента, пока уровень воды не начнёт снова повышаться, т. е. на точках 5 и 6 значения \(h\) определяются заданным в условии графиком, а значения \(z\) и \(P\) рассчитываются «в уме» по формулам \[P_4 = P_0 - \delta P,\qquad z_4 = h_4 + \delta P .\] Численные значения параметров в этой точке равны: \[t_4 = 7{,}5\ \text{с};\quad h_4 = -A = -5{,}0\ \text{м};\quad z_4 = -A + \delta P = -3{,}0\ \text{м}; \quad P_4 = 8{,}0\ \text{м} .\] Участок 4–5. На участке 4–5 (при подъёме уровня воды) клапан опять закроется, масса воздуха в цилиндре будет неизменной, давление будет изотермически возрастать до открытия клапана (когда давление станет равным \(P_5 = P_0 + \delta P\)). Для определения параметров в состоянии 5 следует воспользоваться системой уравнений, которые аналогичны уравнениям, записанным ранее: \[\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_0-z_5\bigr) = \bigl(P_0-\delta P\bigr)\bigl(z_0+A-\delta P\bigr) , \qquad P_0+\delta P = P_0+h_5-z_5 .\] Из этой системы находим: \[z_5 = z_0 - \frac{P_0-\delta P}{P_0+\delta P}\bigl(z_0+A-\delta P\bigr) = 0{,}33\ \text{м}, \qquad h_5 = z_5 + \delta P = 2{,}3\ \text{м} .\] Момент времени, когда уровень воды достигнет значения \(h_5\), находится из закона движения \[-A + v\bigl(t_5-t_4\bigr) = h_5 ,\] из которого вычисляем \[t_5 = t_4 + \frac{A+h_5}{v} = 11{,}2\ \text{с} .\] Далее значения параметров \(h, z, P\) будут периодически повторяться. Т. е. значения в точке 6 совпадают со значениями в точке 2 и т. д. Для расчёта времён следует прибавить период волны, т. е. 10 с. Все эти значения переписаны в Таблицу 1.

Таблица 1. Узловые точки (момент \(t\), высота воды снаружи \(h\), высота воды внутри \(z\), давление внутри \(P\)):

График рассчитанной зависимости (все данные, необходимые для построения графика, приведены в Таблице 1):

1.7. Рассчитанные значения параметров позволяют построить диаграмму рабочего цикла рассматриваемой установки. Результат построения — на рисунке.

1.8. Циклический процесс начинается в точке 2, конец цикла — точка 5.

Часть 2.

2.1. Генератор вырабатывает электроэнергию, когда воздух проходит через турбину в любом направлении. Это происходит на участках цикла 3–4 (воздух всасывается внутрь рабочего цилиндра) и 5–6 (воздух выталкивается из цилиндра).

2.2. Воздух вытесняется из цилиндра на участке 5–6. На этом участке давление воздуха внутри цилиндра постоянно и равно \(P = P_0 + \delta P\). Объём вытесненного воздуха равен \[\Delta V = S\bigl(z_6-z_5\bigr) .\] Масса вытесненного воздуха рассчитывается с помощью уравнения состояния \[P\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT .\] При численных расчётах необходимо все величины выразить в системе СИ (прежде всего это касается давления). Подставляя эти численные значения, находим \[\Delta m = \frac{MS\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_6-z_5\bigr)}{RT} = \frac{29\cdot 10^{-3}\cdot 12\cdot 10^{4}\cdot\bigl(3{,}0-0{,}33\bigr)}{8{,}31\cdot\bigl(273+7{,}0\bigr)} \approx 4{,}0\ \text{кг} .\]

2.3. Для расчёта кинетической энергии необходимо найти скорость движения выходящего газа. Так как давление воздуха в цилиндре и выходной трубе одно и то же, то плотность воздуха остаётся постоянной, поэтому справедливо уравнение \[Sv = s v_1 ,\] где \(v\) — найденная ранее скорость подъёма воды в цилиндре, \(v_1\) — скорость воздуха в выходной трубе. Таким образом, кинетическая энергия выходящего воздуха равна \[E_{\text{кин.}} = \frac{\Delta m}{2}v_1^2 = \frac{\Delta m}{2}\left(\frac{S}{s}v\right)^2 = \frac{4{,}0\ \text{кг}}{2}\left(10\cdot 2{,}0\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2 \approx 0{,}80\cdot 10^{3}\ \text{Дж} .\] Примечание. В реальности при протекании газа давления газа в цилиндре и в выходной трубе должны различаться, но по условию задачи этой разностью следует пренебрегать.

2.4. Можно считать, что со стороны цилиндра на турбину действует сила, пропорциональная давлению в цилиндре, а с другой — пропорциональная атмосферному давлению. Поэтому работа, совершенная над турбиной генератора, должна рассчитываться по формуле \[A_{5\text{--}6} = \delta P\cdot\Delta V = \delta P S\bigl(z_6-z_5\bigr) .\] Подставим численные значения и проведём расчёт: \[A_{5\text{--}6} = \delta P S\bigl(z_6-z_5\bigr) = 2{,}0\cdot 10^{4}\ \text{Па}\cdot 10\ \text{м}^2\cdot 2{,}7\ \text{м} = 5{,}4\cdot 10^{5}\ \text{Дж} .\]

2.5. За полный цикл работа совершается и при всасывании воздуха (на участке 3–4). Её можно рассчитать по формуле, аналогичной формуле для п. 2.4: \[A_{3\text{--}4} = \delta P\cdot\Delta V = \delta P S\bigl(z_3-z_4\bigr) = 2{,}0\cdot 10^{4}\ \text{Па}\cdot 10\ \text{м}^2\cdot 5{,}5\ \text{м} = 11\cdot 10^{5}\ \text{Дж} .\] Учитывая коэффициент полезного действия электрогенератора, для средней мощности установки получаем выражение \[N = \frac{\eta_0\bigl(A_{3\text{--}4}+A_{5\text{--}6}\bigr)}{T} = \frac{0{,}60\cdot\bigl(11+5{,}4\bigr)\cdot 10^{4}\ \text{Дж}}{10\ \text{с}} = 9{,}8\cdot 10^{4}\ \text{Вт} .\] Округляя, получаем мощность данной установки — примерно 100 киловатт.