зад 1 Потери энергии
Задача 1.1.
Двигатель тянет горизонтальную ленту транспортёра с постоянной скоростью \(v_0\), не зависящей от того, какой груз находится на ленте. На ленту кладут (без начальной скорости) массивный диск массы \(m\). Коэффициент трения диска о ленту равен \(\mu\).
1.1 Найдите количество теплоты, которое выделится за время разгона диска до скорости ленты.
Задача 1.2.
Жидкость прокачивают по горизонтальной трубе с постоянной скоростью \(v_0\). Внутрь трубы попадает небольшой шарик массы \(m\). Со стороны жидкости на шарик действует сила вязкого трения, пропорциональная относительной скорости движения шарика \(\vec F = -\beta\vec v_{\text{отн.}}\). Силой вязкого трения жидкости о стенки трубы можно пренебречь.
1.2 Найдите количество теплоты, которое выделится за время разгона шарика до скорости жидкости.
Задача 1.3.
На горизонтальной поверхности «кучкой» лежит гибкая цепочка. Длина цепочки равна \(l\), её масса \(m\). Цепочку начинают поднимать вертикально вверх за один из её концов с постоянной скоростью \(\vec v_0\).
1.3.1 Постройте график зависимости силы \(F\), прикладываемой к цепочке, от высоты \(z\) поднятой части цепочки.
1.3.2 Рассчитайте количество теплоты, которое выделится в цепочке до отрыва цепочки от стола.
▶ПодсказкаСкрыть
Какая сила нужна, чтобы придать нижней части цепочки скорость \(v_0\) за малое время? Сравните работу внешней силы с изменением кинетической и потенциальной энергии цепочки.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(Q = \dfrac{mv_0^2}{2}\); 1.2) \(Q = \dfrac{mv_0^2}{2}\); 1.3.1) \(F = \dfrac{m}{l}zg + \dfrac{m}{l}v_0^2\) (линейная зависимость от \(z\) при \(0\le z\le l\)); 1.3.2) \(Q = \dfrac{mv_0^2}{2}\).
▶РешениеСкрыть
1.1. Диск разгоняется под действием силы трения \(F\) со стороны движущейся ленты. По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила \(F'\) действует на ленту. Поэтому, чтобы лента продолжала двигаться с прежней скоростью, на столько же должна увеличиться сила тяги \(F''\), действующая на ленту. Именно работа этой силы как сообщает кинетическую энергию диску, так и приводит к выделению теплоты. Расчёт работы проведём в неподвижной системе отсчёта. Сила трения, ускорение диска и время разгона: \[F = \mu mg ,\qquad a = \frac{F}{m} = \mu g ,\qquad \tau = \frac{v_0}{a} = \frac{v_0}{\mu g} .\] За это время лента сместится на расстояние \[x_2 = v_0\tau = \frac{v_0^2}{\mu g} ,\] работа этой силы \[A = Fx_2 = \mu mg\,\frac{v_0^2}{\mu g} = mv_0^2 .\] Эта работа равна сумме приобретённой кинетической энергии диска \(\Delta E = \dfrac{mv_0^2}{2}\) и выделившейся теплоты \(Q\). Следовательно, \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\] Способ решения 2. Рассмотрим движение диска в системе отсчёта, связанной с лентой. Эта система отсчёта инерциальна. В ней диск имел начальную скорость \(v_0\), а затем в результате трения остановился. Следовательно, начальная кинетическая энергия диска полностью выделилась в виде теплоты. Откуда следует полученный результат.
1.2. Можно воспользоваться вторым способом решения предыдущей задачи 1.1. Сразу приведём ответ: количество выделившейся теплоты равно \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\] Приведём ещё один обобщающий метод решения. Обозначим силу, разгоняющую шарик, \(\vec F\). Работу силы, приложенной к шарику, можно рассчитать как сумму \(A_1 = \sum_k F_k\Delta x_{1k}\), где \(F_k\) — сила на малом интервале. По второму закону Ньютона \(F_k = m\dfrac{\Delta v_{1k}}{\Delta t}\), поэтому \[A_1 = \sum_k m\,v_{1k}\Delta v_{1k} = \sum_k m\,\Delta\!\left(\frac{v_{1k}^2}{2}\right) = \frac{mv_0^2}{2} .\] Работа силы, движущей воду, \(A_2 = \sum_k mv_0\Delta v_{1k} = mv_0^2\). Работа внешней силы в два раза превышает изменение кинетической энергии шарика, следовательно, выделившаяся теплота равна полученной кинетической энергии: \(Q = \dfrac{mv_0^2}{2}\).
1.3.1. Так как цепочка поднимается с постоянной скоростью, то в любой момент времени сумма сил, действующих на поднятую часть цепочки, равна нулю. При подъёме цепочки на малую высоту \(\Delta z\) нижняя её часть длины \(\Delta z\) должна быстро увеличить скорость от нуля до скорости цепочки \(v_0\). Эта сила натяжения определяется через скорость изменения импульса: \[F' = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{v_0\Delta m}{\Delta t} = \frac{m}{l}v_0^2 ,\] где \(\Delta m = \dfrac{m}{l}\Delta z = \dfrac{m}{l}v_0\Delta t\) — масса части цепочки, которая отрывается от стола за малый промежуток времени \(\Delta t\). Таким образом, сила, с которой тянут цепочку вверх при равномерном движении, должна быть равна сумме силы тяжести поднятой части \(m'g = \dfrac{m}{l}zg\) и найденной силы \(F'\): \[F = \frac{m}{l}zg + \frac{m}{l}v_0^2 .\] График этой линейной функции показан на рисунке.
1.3.2. Работа найденной силы численно равна площади под графиком: \[A = \frac{mv_0^2}{l}\cdot l + \frac{1}{2}mgl = mv_0^2 + \frac{1}{2}mgl .\] Энергия, сообщённая цепочке, пошла на увеличение кинетической энергии цепочки \(\dfrac{mv_0^2}{2}\), её потенциальной энергии \(\dfrac{1}{2}mgl\) и выделившуюся теплоту \(Q\). Поэтому \[A = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{1}{2}mgl + Q .\] Из этого уравнения следует, что количество выделившейся теплоты равно \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\]
зад 2 Взаимодействия цилиндрических магнитов
Описание магнитных полей и магнитных взаимодействий является математически более сложной задачей, чем описание электростатических взаимодействий. Во многом это связано с отсутствием точечных магнитных зарядов, из-за чего простейшим источником магнитного поля является магнитный диполь. Однако, во многих задачах можно формально (но математически корректно) ввести точечные магнитные заряды, не забывая при этом, что реально существующие источники магнитного поля имеют нулевой суммарный магнитный заряд. Такой подход используется в данном задании при расчёте магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и характеристик их взаимодействия.
Теоретическое введение.
Согласно современным представлениям магнитное поле постоянных магнитов создаётся токами намагничивания, протекающими по поверхности намагниченного тела (эта идея первоначально была сформулирована А. М. Ампером и часто называется гипотезой Ампера).
Таким образом, поле небольшого цилиндрического магнита эквивалентно полю кругового тока. В качестве основной характеристики витка с током выступает магнитный момент, который равен \[p_m = IS ,\tag{1}\] где \(I\) — сила тока в контуре, \(S\) — площадь этого контура.
Альтернативный подход к описанию поля цилиндрического магнита является рассмотрение поля магнитного диполя — частицы, состоящей из двух точечных противоположных магнитных зарядов (\(+q_m\) и \(-q_m\)), находящихся на малом расстоянии \(a\) друг от друга. Магнитный момент в этом случае определяется как \[p_m = q_m a . \tag{2}\] Отметим, что оба способа описания магнитных полей справедливы для точек, расстояние до которых от источников (магнита, кольца с током, магнитного диполя) значительно больше размеров самих источников. Считайте, что это условие выполняется во всех пунктах данной задачи.
Точечный магнитный заряд \(q_m\) создаёт центральное магнитное поле, модуль вектора индукции которого определяется по закону, аналогичному закону Кулона для электростатических полей \[B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_m}{R^2} , \tag{3}\] здесь \(R\) — расстояние от точечного заряда, до точки, в которой рассчитывается поле, \(\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\) Гн·м — магнитная постоянная.
На точечный магнитный заряд \(q_m\) со стороны магнитного поля с индукцией \(\vec B\) действует сила, равная \[\vec F = q_m\vec B . \tag{4}\] Основной характеристикой постоянных магнитов является остаточная намагниченность \(M_R\), которая определяется как магнитный момент единицы объёма \[M_R = \frac{p_m}{\Delta V} .\] Эта величина обычно указывается в паспорте магнита. Вместо остаточной намагниченности также приводят величину \(B_R = \mu_0M_R\), которая называется остаточная индукция (т. е. индукция магнитного поля внутри магнита).
Ещё раз подчеркнём, в настоящее время магнитных зарядов не обнаружено, поэтому величины магнитных зарядов \(q_m\) не должны входить в конечные результаты, которые должны выражаться через реальные характеристики магнитов — их магнитный момент \(p_m\) и намагниченность \(M\).
Часть 1. Характеристики магнита.
В данной задаче рассматривается постоянный цилиндрический неодимовый магнит со следующими характеристиками: диаметр магнита \(d = 4{,}0\) мм; высота магнита \(h = 10{,}0\) мм; остаточная индукция поля магнита \(B_R = 1{,}4\) Тл и направлена вдоль оси магнита; плотность материала магнита \(\rho_{Nd} = 7{,}6\cdot 10^{3}\) кг/м\(^3\).
1.1 Рассчитайте массу магнита \(m\).
1.2 Рассчитайте магнитный момент магнита \(p_m\).
1.3 Рассчитайте силу тока намагничивания, текущего по боковой поверхности магнита \(I_m\).
Часть 2. Магнитное поле магнита.
Рассмотрите магнитное поле, создаваемое точечным магнитным зарядом \(q_m\). Точечный заряд находится в начале отсчёта оси \(z\). Положение произвольной точки задаётся координатой \(z\) и расстоянием до этой оси \(r\). В этом случае вектор индукции магнитного поля \(\vec B^{(0)}\) разумно разложить на две компоненты: осевую \(\vec B^{(0)}_z\), направленную параллельно оси \(z\); радиальную \(\vec B^{(0)}_r\), направленную перпендикулярно оси.
2.1 Запишите формулы для осевой \(B^{(0)}_z(z,r)\) и радиальной \(B^{(0)}_r(z,r)\) компонент вектора индукции поля точечного заряда, как функции координат точки \((z,r)\).
Теперь Вам необходимо рассмотреть магнитное поле, создаваемое описанным цилиндрическим магнитом. Для расчёта этого поля можно считать, что оно совпадает с магнитным полем магнитного диполя.
2.2 Нарисуйте схематически картину силовых линий магнитного поля, создаваемого магнитным диполем (цилиндрическим магнитом).
Пусть в начале оси \(z\) находится магнитный диполь с магнитным моментом \(p_m\), направленным вдоль оси \(z\). Положение произвольной точки \(A\), как и ранее, задаётся координатами \((z,r)\).
2.3 Найдите зависимость осевой компоненты индукции поля магнитного диполя \(B_z(z,r)\) от координат точки \((z,r)\).
2.4 Постройте схематический график зависимости осевой компоненты вектора индукции \(B_z(z_0,r)\) от координаты \(r\) при некотором фиксированном значении координаты \(z_0 > 0\).
2.5 Найдите зависимость индукции поля на оси \(z\) в зависимости от координаты \(z\) — \(B_z(z)\).
2.6 Найдите зависимость радиальной компоненты индукции поля магнитного диполя \(B_r(z,r)\) от координат точки \((z,r)\).
2.7 Постройте схематический график зависимости радиальной компоненты вектора индукции \(B_z(z,r_0)\) от координаты \(z\) при некотором фиксированном значении координаты \(r_0 > 0\).
2.8 Найдите значения модуля координаты \(z=b\), при котором модуль функции \(B_z(z,r_0)\) принимает максимальные значения \(B_{r,\max}\). Найдите, чему равно это максимальное значение.
Примечания. 1. Вы можете построить схематические графики, даже если вам не удалось получить явные функциональные зависимости — это будет оценено! 2. Для облегчения вашей работы дадим математическую подсказку. Если величина \(a\) мала, то для расчёта поля диполя Вы можете использовать следующее приближение, справедливое для любой функции \[F(z+a) \approx F(z) + F'(z)\cdot a . \tag{4}\] где \(F'(z)\) — производная функции \(F(z)\), вычисленная в точке \(z\). 3. При необходимости Вы можете использовать приближённую формулу \[(1+x)^{\gamma} \approx 1 + \gamma x , \tag{5}\] справедливую при \(x \ll 1\) и любых степенях \(\gamma\).
Часть 3. Притяжение и отталкивание.
Два одинаковых цилиндрических магнита помещены в вертикальную стеклянную трубку. Магнит 1 закреплён, магнит 2 может свободно двигаться вдоль трубки. Расстояние между магнитами можно считать значительно больше размеров магнитов. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы выразите через магнитный момент магнитов \(p_m\) и их массу \(m\).
3.1 Найдите зависимость силы магнитного взаимодействия между магнитами, как функцию расстояния \(z\) между ними.
3.2 Найдите, при каком расстоянии между магнитами \(L\), магнит 2 может находиться в равновесии. Рассмотрите два случая, а) и б) ориентации магнитов, показанные на рисунке.
3.3 Укажите, какой из экспериментов, а) или б) может быть продемонстрирован экспериментально. Ответ кратко обоснуйте.
3.4 Рассчитайте численное значение равновесного расстояния \(L\), для магнитов, параметры которого приведены в Части 1.
Часть 4. Магнитная вязкость — токи Фуко.
Цилиндрический магнит помещают внутрь длинной вертикальной тонкостенной алюминиевой трубки. Внутренний радиус трубки равен \(r_0 = 3{,}0\) мм, толщина стенок равна \(h_0 = 0{,}30\) мм. Удельное электрическое сопротивление алюминия равно \(\rho = 2{,}8\cdot 10^{-8}\) Ом·м.
По-прежнему, считаем массу магнита \(m\) и его магнитный момент \(p_m\) известными.
Пусть скорость движения магнита постоянна и равна \(V\). Выделим на стенке трубки тонкий слой толщиной \(\Delta z\), находящийся на расстоянии \(z\) от середины магнита. В пп. 4.1–4.4 ответы выразите через параметры магнитного поля \(b\) и \(B_{r\max}\), найденные в п. 2.8.
4.1 Найдите силу индуцированного тока \(\Delta I\), протекающего по выделенному кольцу \(\Delta z\).
4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в трубке при движении магнита.
4.3 Найдите силу вязкого магнитного трения, действующую на движущийся магнит.
4.4 Найдите скорость установившегося падения магнита в трубке \(V\).
4.5 Рассчитайте численное значение скорости падения магнита, характеристики которого приведены в Части 1.
Примечание. Зависимость радиальной составляющей магнитного поля магнита на стенке трубки можно приближенно заменить на ступенчатую функцию, показанную на рисунке. Используйте параметры этой функции \(b\) и \(B_{r\max}\), найденные в п. 2.8. Если вам не удалось найти ответы в п.2.8, то в данной части считайте их известными.
▶ПодсказкаСкрыть
Для радиальной компоненты поля на малом расстоянии \(\Delta z\) от магнита используйте приближение \(B_r(z+\Delta z)\); для части 2.8 найдите экстремум производной функции \(B_r(z,r)\) по \(z\).
▶ОтветСкрыть
1.1) \(m \approx 9{,}6\cdot 10^{-4}\) кг; 1.2) \(p_m \approx 0{,}14\) А·м\(^2\); 1.3) \(I_m \approx 1{,}1\cdot 10^{4}\) А; 2.1) \(B^{(0)}_z = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi}\dfrac{z}{(z^2+r^2)^{3/2}}\), \(B^{(0)}_r = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi}\dfrac{r}{(z^2+r^2)^{3/2}}\); 2.3) \(B_z = \dfrac{\mu_0 p_m}{4\pi}\dfrac{2z^2-r^2}{(z^2+r^2)^{5/2}}\); 2.5) \(B_z(z) = \dfrac{\mu_0 p_m}{2\pi z^3}\); 2.6) \(B_r = \dfrac{\mu_0 p_m}{4\pi}\dfrac{3zr}{(z^2+r^2)^{5/2}}\); 2.8) \(b = \dfrac{r}{2}\), \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0 p_m}{r^3}\), \(C = \dfrac{3}{8\pi}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5/3} \approx 0{,}068\); 3.1) \(F = -\dfrac{3\mu_0 p_m^2}{2\pi z^4}\); 3.2) \(L = \sqrt[4]{\dfrac{3\mu_0 p_m^2}{2\pi mg}}\) (для случая а)); 3.3) экспериментально реализуем вариант а) — положение равновесия устойчиво; в случае б) равновесие неустойчиво; 3.4) \(L \approx 3{,}3\) см; 4.1) \(\Delta I = \dfrac{B_r V\Delta z\,h_0}{\rho}\); 4.2) \(P = \dfrac{8\pi r_0 bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V^2\); 4.3) \(F = \dfrac{8\pi r_0 bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V\); 4.4) \(V = \dfrac{mg\rho}{8\pi r_0 bh_0 B_{r\max}^2}\); 4.5) \(B_{r\max} \approx 0{,}45\) Тл, \(V \approx 3{,}9\) см/с.
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
1.1. Так как плотность и геометрические размеры цилиндрического магнита заданы, то расчёт его массы труда не представляет: \[m = \rho V = \rho\frac{\pi d^2}{4}h = 9{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг} .\]
1.2. Магнитный момент магнита рассчитывается по определению намагниченности \(M_R = \dfrac{p_m}{V}\), откуда \(p_m = M_RV\). Используя связь \(B_R = \mu_0M_R\), получим \[p_m = M_RV = \frac{B_R}{\mu_0}\cdot\frac{\pi d^2}{4}h = 0{,}14\ \text{А}\cdot\text{м}^2 .\]
1.3. Расчёт силы тока намагничивания можно провести по формуле магнитного момента, выражаемого через силу тока намагничивания: \(p_m = IS\), \[I_m = \frac{p_m}{S} = \frac{B_R}{\mu_0}h \approx 1{,}1\cdot 10^{4}\ \text{А} .\]
Часть 2. Магнитное поле магнита.
2.1. Требуемые компоненты индукции поля точечного магнитного заряда находятся из формулы «типа Кулона» \(B = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\) и рисунка: \[B^{(0)}_z(z,r) = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\cos\alpha = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi}\frac{z}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}} , \qquad B^{(0)}_r(z,r) = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\sin\alpha = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi}\frac{r}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}} .\]
2.2. Картина силовых линий магнитного диполя (поля линейного магнита, поля кругового тока, поля Земли и т. д.) приводится во всех учебниках физики. Силовые линии выходят из северного полюса и входят в южный.
2.3. Для решения данного пункта можно воспользоваться подсказкой, приведённой в условии. Здесь приведено решение по первому, более короткому пути: \[B_z(z,r) = B^{(0)}_z(z,r) - B^{(0)}_z(z+a,r) = -\left(B^{(0)}_z(z,r)\right)'_z\cdot a .\] Аккуратное вычисление производной приводит к результату: \[B_z(z,r) = -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi}\left(\frac{z}{(z^2+r^2)^{3/2}}\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{2z^2-r^2}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}} .\]
2.4. Схематический график этой функции можно построить на основе качественного анализа (функция чётна, нули функции при \(r = \pm\sqrt{2z}\), очевидны участки монотонности, стремление к нулю с отрицательной стороны при \(z\to\pm\infty\)). Результат построения показан на рисунке.
2.5. Значения индукции поля на оси можно получить, полагая \(r = 0\) в формуле для \(B_z\): \[B_z(z) = \frac{\mu_0 p_m}{2\pi z^3} .\]
2.6. Радиальная компонента поля рассчитывается аналогично (и несколько проще): \[B_r(z,r) = -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi}\left(\frac{r}{(z^2+r^2)^{3/2}}\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{3zr}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}} .\]
2.7. График этой функции также строится на основе качественного анализа (функция нечётна: обращается в нуль при \(z = 0\); стремится к нулю при \(z\to\pm\infty\)). Результат — на рисунке.
2.8. Поиск экстремумов функции проводится стандартным методом — в точках экстремумов производная функции обращается в нуль. Поэтому вычислим производную от функции (10) и приравняем её к нулю: \[\left(B_r(z,r)\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,3r\,\frac{r^2-4z^2}{\left(z^2+r^2\right)^{7/2}} = 0 .\] Из полученного уравнения следует, что положение экстремума \(z^* = \pm b = \pm\dfrac{r}{2}\). Значения функции в экстремуме равны \[B_{r\max}(z,r) = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{3zr}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}}\Bigg|_{z=\frac{r}{2}} = C\,\frac{\mu_0 p_m}{r^3} ,\] здесь безразмерная константа равна \(C = \dfrac{3}{8\pi}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5/3}\approx 0{,}068\). Таким образом, полный ответ на вопросы данного пункта: \(b = \dfrac{r}{2}\), \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0p_m}{r^3}\).
Часть 3. Притяжение и отталкивание.
3.1. Рассмотрим магнитный диполь, находящийся в неоднородном магнитном поле \(B(z)\). Ось диполя совпадает с направлением поля (что соответствует условию рассматриваемой задачи). В этом случае суммарная сила, действующая на диполь, равна \[F = -q_mB(z) + q_mB(z+a) .\] Учитывая малость величины \(a\), это выражение можно преобразовать к виду \[F = q_m a\,\frac{B(z+a)-B(z)}{a}\approx p_mB'(z) .\] Зависимость индукции поля на оси от координаты задаётся формулой (9). Поэтому сила взаимодействия между магнитами равна \[F = p_mB'(z) = p_m\left(\frac{\mu_0p_m}{2\pi z^3}\right)' = -\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi z^4} .\]
3.2. При ориентации магнитов, указанной на рис. а), сила магнитного отталкивания уравновешивает силу тяжести: \[\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi L^4} = mg .\] Из этого уравнения находим искомое расстояние \[L = \sqrt[4]{\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi mg}} .\]
3.3. Реализовать экспериментально можно только вариант а), так как в этом случае положение равновесия является устойчивым. В случае б) положение равновесия неустойчиво.
3.4. Подстановка ранее найденных численных значений параметров в формулу приводит к результату: \(L = 3{,}3\) см.
Часть 4. Магнитная вязкость — токи Фуко.
4.1. При движении магнита в каждой точке стенки трубки изменяется магнитное поле, в следствие чего в ней возникают электрические токи, называемые токами Фуко. Для расчёта их характеристик удобно перейти в систему отсчёта, связанную с магнитом. В этой системе трубка движется в магнитном поле, поэтому источником ЭДС является сила Лоренца, действующая на заряды, которая возникает благодаря радиальной составляющей индукции поля магнита. Сила Лоренца направлена по касательной к поверхности трубки. Величина этой силы равна \(F_L = qVB_r\). Соответственно, ЭДС, возникающая в контуре, охватывающем трубку, равна \[\varepsilon = \frac{1}{q}F_L\cdot 2\pi r_0 = 2\pi r_0B_rV .\] Теперь с помощью закона Ома определим силу тока \[\Delta I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\varepsilon}{\rho\frac{2\pi r_0}{\Delta z\,h_0}} = \frac{B_rV\,\Delta z\,h_0}{\rho} .\]
4.1. (продолжение) Наконец, воспользуемся рекомендуемым приближением для функциональной зависимости радиальной составляющей поля. Ступенчатое приближение даёт \[\Delta I = \frac{B_{r\max}V\Delta z\,h_0}{\rho} .\]
4.2. Ток возникает во всех частях трубки, в которых имеется радиальное магнитное поле. В рамках используемого «ступенчатого» приближения радиальная составляющая имеется в полосе шириной \(4b\). Отметим, что направление тока не существенно, так как мощность выделяющейся теплоты не зависит от направления тока. Поэтому можно записать, что «эффективная» сила тока равна \[I = \frac{B_{r\max}Vh_0}{\rho}\cdot 4b .\] Мощность теплоты, выделяющейся в трубке, рассчитывается по закону Джоуля–Ленца: \(P = I^2R\), где \(R = \rho\dfrac{2\pi r_0}{4bh_0}\) — электрическое сопротивление части стенки трубки, по которой протекает электрический ток. Собирая все промежуточные результаты, получим \[P = \left(\frac{B_{r\max}Vh_0}{\rho}\cdot 4b\right)^2\rho\frac{2\pi r_0}{4bh_0} = \frac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V^2 .\]
4.3. Рассчитанную мощность теплоты можно связать с мощностью, развиваемой силой вязкого магнитного трения: \(P = F\cdot V\). С помощью этой формулы находим явное выражение для этой силы \[F = \frac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V .\]
4.4. Приравняем найденное значение силы вязкого трения к силе тяжести падающего магнита: \(\dfrac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V = mg\), откуда \[V = \frac{mg\rho}{8\pi r_0bh_0B_{r\max}^2} .\]
4.5. Численные расчёты: \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0p_m}{r_0^3} \approx 0{,}45\) Тл; \[V = \frac{mg\rho}{8\pi r_0bh_0B_{r\max}^2} \approx 3{,}9\ \text{см/с} .\]
зад 3 Брызги шампанского!
Данные для этой задачи взяты из статьи Касьянов Г. И. Физическая абсорбция углекислого газа. (https://krkgi.ru/glav/co2tech/index.htm)
Свойства газированных напитков (в том числе шампанских вин), во многом, определяются растворённым в них углекислым газом.
Растворимостью газа называется максимальное количество газа, которое может быть растворено в жидкости. Количество газа (может определяться массой, количеством молей, объёмом) растворённое в единице объёма жидкости называется концентрацией растворённого газа. Раствор, содержащий максимально возможное количество газа, называется насыщенным. Растворимость может изменяться в различных единицах: грамм/литр; моль/литр; литр/литр и т.д.
При не очень высоких давлениях растворимость газа описывается законом У. Генри: растворимость газа пропорциональна парциальному давлению газа над поверхностью жидкости: \[C = kP , \tag{1}\] где \(C\) — концентрация насыщенного раствора газа, \(P\) — парциальное давление растворяемого газа над поверхностью жидкости, \(k\) — постоянная Генри, зависящая от жидкости и растворяемого газа, также эта постоянная зависит от температуры.
Используйте следующие постоянные величины:
универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\);
связь между единицами давления \(1\ \text{атм} = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\);
связь между абсолютной температурой по шкале Кельвина \(T\) и температурой по шкале Цельсия \(t\): \(T = t+273\);
атмосферное давление постоянно и равно \(P_0 = 1{,}00\ \text{атм} = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\);
молярная масса углекислого газа \(\text{CO}_2\) — \(M = 44{,}0\) г/моль.
углекислый газ в газовой фазе является идеальным;
объём жидкого раствора не зависит от концентрации растворённого углекислого газа;
давлением насыщенных паров воды можно пренебречь.
Часть 1. Предварительная.
Для большей наглядности и упрощения численных расчётов в данной задаче рекомендуется использовать следующие единицы измерения: единица массы — 1 грамм; единица объёма — 1 литр; единица давления — 1 атмосфера. Назовём эту систему единиц ГЛА.
1.1 Найдите численное значение и размерность универсальной газовой постоянной \(R\) в указанной системе единиц.
При температуре равной \(t_0 = 0{,}00\,^\circ\text{C}\) и парциальном давлении над поверхностью воды \(P_0 = 1{,}00\) атм растворимость углекислого газа в воде равна \(k_V = 1{,}71\ \frac{\text{л}}{\text{л}}\) (т. е. в 1 литре воды растворяется 1,71 литра углекислого газа, причём этот объём рассчитывается при указанных температуре и давлении газа). Далее будем измерять концентрацию в граммах/литр (масса газа в граммах, растворенного в 1 литре воды).
1.2 Запишите формулу для расчёта коэффициента \(k_m\) в законе Генри (1), если концентрация рассчитывается в \(\text{г}/\text{л}\), а давление в атмосферах. Рассчитайте её численное значение.
Для получения сильно газированной воды её насыщают углекислым газом при температуре \(P = 3{,}0\) атм и температуре \(t = 0{,}0\,^\circ\text{C}\).
1.3 Рассчитайте массу углекислого газа, который содержится в двухлитровой бутылке \(V = 2{,}0\) л сильно газированной воды.
Зависимость постоянной Генри \(k_m(t)\) от температуры описывается формулой: \[k_m = \frac{k_0}{1+\alpha t} , \tag{2}\] где \(k_0 = 3{,}4\) г/(л·атм), \(\alpha = 5{,}5\cdot 10^{-2}\) К\(^{-1}\) — постоянные величины, \(t\) — температура по шкале Цельсия.
Часть 2. Открываем бутылку!
В стандартную бутылку заливают \(V_0 = 0{,}75\) л винного купажа (вино не содержащее углекислого газа) температуры \(t_0 = 20\,^\circ\text{C}\). И плотно запечатывают бутылку. При этом в бутылке остаётся объём \(v = 0{,}15\) л, заполненный воздухом (содержанием углекислого газа в нём можно пренебречь), находящимся при атмосферном давлении. После этого бутылки опускают в подвал для вызревания. Согласно справочным данным в каждой бутылке в результате брожения образуется \(m_0 = 7{,}5\) г углекислого газа.
2.1 Найдите зависимость давления в бутылке от её температуры в диапазоне от \(0\,^\circ\)C до \(30\,^\circ\)C. Постройте график полученной зависимости.
В Листах ответов приведите формулы, по которым вы проводили расчёты. Результаты расчётов (в т.ч. промежуточных) приведите в Таблице 1, график постройте на приготовленном для Вас бланке. Допускается проведение промежуточных численных расчётов.
Неопытный молодой человек открывает бутылку с шампанским при её температуре равной \(t_0 = 25\,^\circ\)C. При этом пробка выскакивает из бутылки и шампанское струёй начинает вылетать из бутылки.
2.2 Рассчитайте, какой объём шампанского останется в бутылке после такого «эксперимента».
Считайте, что при выскакивании пробки давление в бутылке резко падает до атмосферного, а углекислый газ очень быстро выделяется в виде пузырьков равномерно по всему объёму, до тех пор пока вино не станет насыщенным при комнатных условиях.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса газа, оставшегося растворённым, равна \(k_m(t)P_0V\) при комнатной температуре. Оставшееся в бутылке вино занимает объём, в который входит и выделившаяся пена; сравните его с объёмом пены при атмосферном давлении.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(R \approx 8{,}23\cdot 10^{-2}\) атм·л/(моль·К); 1.2) \(k_m = \dfrac{M\,k_V}{RT} \approx 3{,}35\) г/(л·атм); 1.3) \(m = k_mPV = 20\) г; 2.1) см. Таблицу 1 (давление внутри бутылки, атм, при \(t = 0, 5, \dots, 30\,^\circ\)C: 3,6; 4,3; 4,9; 5,5; 6,1; 6,7; 7,2); 2.2) \(V_{\text{ост}} = \eta V_0 \approx 0{,}16\) л.
▶РешениеСкрыть
1.1. Выразим размерность универсальной газовой постоянной через единицы давления и объёма: \[PV = \nu RT \quad\Rightarrow\quad R = \frac{PV}{\nu T} = 8{,}31\ \frac{\text{Па}\cdot\text{м}^3}{\text{моль}\cdot\text{К}} .\] Подстановка значений единиц измерения даёт численное значение универсальной газовой постоянной в системе ГЛА: \[R = 8{,}31\cdot\frac{\dfrac{1}{1{,}01\cdot 10^{5}}\ \text{атм}\cdot 10^{3}\ \text{л}}{\text{моль}\cdot\text{К}} = 8{,}23\cdot 10^{-2}\ \frac{\text{атм}\cdot\text{л}}{\text{моль}\cdot\text{К}} .\]
1.2. В одном литре воды при температуре \(t_0 = 0{,}00\,^\circ\)C и давлении \(P = 1{,}00\) атм растворяется объём газа, численно равный \(k_V = 1{,}71\) л. Масса этого газа, как следует из уравнения Менделеева–Клапейрона, равна \[PV = \frac{m}{M}RT \quad\Rightarrow\quad m = M\frac{PV}{RT} .\] Её численное значение \[m = M\frac{Pk_V}{RT} = 44{,}0\ \frac{\text{г}}{\text{моль}}\cdot\frac{1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\cdot 1{,}71\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3} {8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot 273\ \text{К}} = 3{,}35\ \text{г} .\] Следовательно, постоянная Генри для углекислого газа при нулевой температуре равна \[k_m = 3{,}35\ \frac{\text{г}}{\text{л}\cdot\text{атм}} .\]
1.3. Масса растворённого газа по закону Генри равна \[m = k_mPV = 3{,}35\cdot 3{,}0\cdot 2{,}0 = 20\ \text{г} .\]
Часть 2. Открываем бутылку!
2.1. Давление в бутылке равно давлению газов (воздуха и образовавшегося углекислого газа). Согласно закону Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонент смеси. Так как объём свободной от вина части бутылки остаётся неизменным, то для неизменной массы воздуха справедливо соотношение \[\frac{P_{\text{в}}}{T} = \frac{P_0}{T_0} \quad\Rightarrow\quad P_{\text{в}} = \frac{P_0}{T_0}T .\] Масса углекислого газа, находящегося в свободной части сосуда, зависит от температуры и равна разности \[m = m_0 - k_mPV_0 ,\] здесь \(k_mP\) — масса растворённого углекислого газа. Для углекислого газа, находящегося в газообразном состоянии, справедливо уравнение Менделеева–Клапейрона \[Pv = \frac{m}{M}RT = \frac{m_0-k_mPV_0}{M}RT .\] Преобразуем это уравнение к виду, удобному для расчётов: \[P = \widetilde P\left(1 - \frac{k_m}{C_0}P\right) ,\qquad \widetilde P = \frac{m_0RT}{Mv} = \widetilde P_0\frac{T}{T_0} ,\qquad C_0 = \frac{m_0}{V_0} .\] Здесь \(\widetilde P\) — давление углекислого газа, при условии, что он весь находится в газообразном состоянии; \(C_0\) — максимальная концентрация раствора. Из уравнения получаем искомое выражение для парциального давления углекислого газа: \[P = \frac{\widetilde P}{1+\dfrac{k_m(t)}{C_0}\widetilde P} .\] Давление в бутылке будет равно сумме давлений воздуха и углекислого газа.
Численные расчёты удобно проводить в следующей последовательности:
постоянные: \(C_0 = \dfrac{m_0}{V_0} = 10\) г/л; \(\widetilde P_0 = \dfrac{m_0RT_0}{Mv} = 25{,}5\) атм;
для каждой температуры: \(P_{\text{в}} = \dfrac{273+t}{273}\) атм; \(\widetilde P = 25{,}5\,\dfrac{273+t}{273}\) атм; \(k_m = \dfrac{3{,}4}{1+0{,}055t}\); \(P = \dfrac{\widetilde P}{1+k_m(t)\widetilde P/C_0}\); суммарное давление \(P_{\text{в}} + P\).
2.2. Рассчитаем массу растворённого газа после открывания бутылки (при \(t = 25\,^\circ\)C): \[m_1 = \frac{k_0}{1+\alpha t}P_0V_0 = \frac{3{,}4}{1+0{,}055\cdot 25}\cdot 1{,}0\cdot 0{,}75 = 1{,}07\ \text{г} .\] Следовательно, масса выделившегося газа равна \(m = m_0 - m_1 = 6{,}43\) г. Его объём найдём из уравнения состояния: \[V_1 = \frac{mRT}{MP} = \frac{6{,}43\cdot 8{,}23\cdot 10^{-2}\cdot 298}{44\cdot 1} = 3{,}58\ \text{л} .\] Поэтому объём образовавшейся пены равен \(V = V_0 + V_1 = 4{,}33\) л. Найдём, какая доля этой пены останется в бутылке: \[\eta = \frac{V_0+v}{V} = \frac{0{,}90}{4{,}33} = 0{,}21 .\] Окончательно находим, какой объём вина останется в бутылке: \[V_{\text{ост}} = \eta V_0 = 0{,}16\ \text{л} .\]
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2024/25, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.