зад 1 Поговорим о средних
В различных разделах физики часто используется понятие «среднее значение физической величины». Однако это понятие не является однозначным, потому, что «средние» могут быть разными! В каждом конкретном случае надо точно определять, о каком именно «среднем» идёт речь. В данном задании Вам необходимо продемонстрировать понимание этой проблемы.
Примечания. 1. Все числа, фигурирующие в условии задачи, считайте точными. 2. В решении допускается проведение промежуточных численных расчётов.
Задача 1.1. Средняя скорость.
Определение. Тело движется с переменной скоростью \(v(t)\) в течение промежутка времени \(t_0\). Средней скоростью называется скорость равномерного движения \(\langle v\rangle\), при которой за тот же промежуток времени \(t_0\) тело проходит такое же расстояние, как и при движении с заданной переменной скоростью \(v(t)\).
1.1.1 Автомобиль движется по прямой. На рисунке представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Величины \(\tau\) и \(v_0\) считайте известными.
1.1.1 Найдите среднюю скорость точки за все время движения \(4\tau\).
1.1.2 Автомобиль движется по прямой. На рисунке представлена зависимость скорости автомобиля от пройденного пути. Величины \(l_0\) и \(v_0\) считайте известными.
1.1.2 Найдите среднюю скорость точки на всем пути \(4l_0\).
Задача 1.2. Средняя сила.
Пусть тело движется по прямой под действием переменной результирующей силы \(F(t)\), направление которой совпадает с направлением вектора скорости тела.
Определение 1. «Средней импульсной» силой \(\langle F\rangle_P\) назовём такую постоянную силу, которая сообщает телу такой же импульс, как и заданная переменная сила \(F(t)\).
Определение 2. «Средней энергетической» силой \(\langle F\rangle_E\) назовём такую постоянную силу, которая на всем участке пути совершает над телом такую же работу, как и переменная сила \(F(t)\).
Тело массы \(m\) движется по прямой под действием переменной результирующей силы \(F(t)\), направление которой совпадает с направлением вектора скорости тела. Зависимость модуля этой силы от времени показана на рисунке. Величины \(\tau\) и \(F_0\) считайте известными. В начальный момент времени \(t=0\) скорость тела равна \(v_0\).
1.2.1 Рассчитайте, чему равна «средняя импульсная» сила, действующая на тело, за все время движения \(4\tau\).
1.2.2 Рассчитайте, чему равна «средняя энергетическая» сила, действующая на тело, за все время движения \(4\tau\).
1.2.3 Рассчитайте «среднюю энергетическую» силу при нулевой начальной скорости \(v_0 = 0\).
Задача 1.3. Средняя сила тока.
Через резистор, сопротивление которого постоянно и равно \(R\), протекает электрический ток, сила которого зависит от времени \(I(t)\).
Определение 1. «Средней зарядовой» силой тока \(\langle I\rangle_q\) назовём силу постоянного тока, при которой заряд, протекающий через резистор за некоторый промежуток времени \(\Delta t\), равен заряду, протекающему через резистор за тот же промежуток времени \(\Delta t\) при изменяющейся силе тока \(I(t)\).
Определение 2. «Средней тепловой» силой тока \(\langle I\rangle_Q\) назовём силу постоянного тока, при которой количество теплоты, выделяющейся на резисторе за промежуток времени \(\Delta t\), равно количеству теплоты, выделяющейся на резисторе за тот же промежуток времени при изменяющейся силе тока \(I(t)\).
Напряжение на постоянном резисторе, сопротивление которого равно \(R\), изменяется по периодическому закону \(U(t)\), график которого показан на рисунке. Величины \(\tau\) и \(U_0\) считайте известными.
1.3.1 Вычислите «среднюю зарядовую» силу тока за промежуток времени \(\Delta t\), значительно превышающий \(\tau\).
1.3.2 Вычислите «среднюю тепловую» силу тока за промежуток времени \(\Delta t\), значительно превышающий \(\tau\).
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя величина за период находится через площадь под графиком (для заряда) или через среднее значение квадрата (для теплоты). Для теплоты сравните \(\langle I\rangle_Q^2 R \Delta t\) с суммой вкладов каждого участка.
▶ОтветСкрыть
1.1.1) \(\langle v\rangle = \dfrac{9}{4}v_0\); 1.1.2) \(\langle v\rangle = \dfrac{16}{9}v_0\); 1.2.1) \(\langle F\rangle_P = \dfrac{9}{4}f_0\), где \(f_0 = F_0\); 1.2.2) \(\langle F\rangle_E = F_0\,\dfrac{9v_0 + \frac{81}{2}a_0\tau}{4v_0 + \frac{37}{2}a_0\tau}\), где \(a_0 = F_0/m\); 1.2.3) \(\langle F\rangle_E = \dfrac{81}{37}F_0\); 1.3.1) \(\langle I\rangle_q = 0\); 1.3.2) \(\langle I\rangle_Q = \sqrt{2}\,I_0\), где \(I_0 = U_0/R\).
▶РешениеСкрыть
1.1.1. Пройденный путь численно равен площади под графиком \(v(t)\): \[S = \sum_k v_k\Delta t_k = 2v_0\cdot 2\tau + 4v_0\tau + v_0\tau = 9v_0\tau .\] Следовательно, средняя скорость за всё время движения \[\langle v\rangle = \frac{S}{\Delta t} = \frac{9v_0\tau}{4\tau} = \frac{9}{4}v_0 .\]
1.1.2. Пройденный путь известен, нужно рассчитать время движения: \[\Delta t = \sum_k \frac{l_k}{v_k} = \frac{2l_0}{2v_0} + \frac{l_0}{4v_0} + \frac{l_0}{v_0} = \frac{9}{4}\frac{l_0}{v_0} .\] Средняя скорость \[\langle v\rangle = \frac{S}{\Delta t} = \frac{4l_0}{\dfrac{9}{4}\dfrac{l_0}{v_0}} = \frac{16}{9}v_0 .\] 1.2.1. По второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу действующей силы: \(\Delta p = F\Delta t\). Определение «средней импульсной» силы записывается в виде \[\langle F\rangle_P\cdot 4\tau = 2f_0\cdot 2\tau + 4f_0\tau + f_0\tau = 9f_0\tau ,\] откуда \[\langle F\rangle_P = \frac{9}{4}f_0 .\]
1.2.2. Работа, совершённая постоянной силой, рассчитывается по формуле \[\Delta A = F\,\Delta S .\] Из определения «средней энергетической» силы следует соотношение \[\langle F\rangle_E\cdot(S_1+S_2+S_3) = F_1S_1+F_2S_2+F_3S_3 ,\] где \(S_i\) — путь, пройденный телом на \(i\)-м участке. Для расчёта путей используются законы равноускоренного движения: \(\Delta v = a\Delta t\) и \[\Delta S = v_0\tau + \frac{1}{2}a\tau^2 = \frac{v_0+v}{2}\tau ,\] где \(v\), \(v_0\) — скорости в начале и в конце рассматриваемого интервала, \(a\) — постоянное ускорение на нём. Обозначим \(a_0 = f_0/m\). Тогда ускорение на первом интервале равно \(2a_0\), на втором — \(4a_0\), на третьем — \(a_0\).
Результаты расчётов по участкам:
\(0\to 2\tau\): ускорение \(2a_0\), начальная скорость \(v_0\), конечная \(v_0+4a_0\tau\), путь \(2v_0\tau+4a_0\tau^2\), работа \(2f_0(2v_0\tau+4a_0\tau^2)\).
\(2\tau\to 3\tau\): ускорение \(4a_0\), начальная скорость \(v_0+4a_0\tau\), конечная \(v_0+8a_0\tau\), путь \(v_0\tau+6a_0\tau^2\), работа \(4f_0(v_0\tau+6a_0\tau^2)\).
\(3\tau\to 4\tau\): ускорение \(a_0\), начальная скорость \(v_0+8a_0\tau\), конечная \(v_0+9a_0\tau\), путь \(v_0\tau+\frac{17}{2}a_0\tau^2\), работа \(f_0\left(v_0\tau+\frac{17}{2}a_0\tau^2\right)\).
Суммарный путь \(4v_0\tau+\frac{37}{2}a_0\tau^2\), суммарная работа \(f_0\left(9v_0\tau+\frac{81}{2}a_0\tau^2\right)\).
1.2.3. При \(v_0 = 0\) из последней формулы получаем \[\langle F\rangle_E = \frac{81}{37}f_0 ,\] что отличается от «средней импульсной» силы.
1.3.1. Заряд, протекающий через резистор при постоянной силе тока \(I\) за промежуток \(\Delta t\), равен \(q = I\Delta t\). По определению средней зарядовой силы тока \[\langle I\rangle_q\cdot 3\tau = I_1\tau + I_2\cdot 2\tau ,\] где \(I_1 = 2U_0/R\), \(I_2 = -U_0/R\) — значения силы тока на участках. Отсюда \[\langle I\rangle_q = \frac{\frac{2U_0}{R}\tau - \frac{U_0}{R}\,2\tau}{3\tau} = 0 .\]
1.3.2. Количество теплоты, выделяющейся в проводнике при протекании постоянного тока, определяется законом Джоуля—Ленца: \(Q = \dfrac{U^2}{R}\Delta t\). Для «средней тепловой» силы тока \[\frac{\langle I\rangle_Q^2}{R}\cdot 3\tau = \frac{(2U_0)^2}{R}\cdot\tau + \frac{(-U_0)^2}{R}\cdot 2\tau = 6\frac{U_0^2}{R}\tau .\] Отсюда \[\langle I\rangle_Q = \sqrt{\frac{6U_0^2\tau}{3R\tau}} = \sqrt{2}\,I_0 .\] Заметим, что «средняя тепловая» сила тока называется «действующим» значением силы тока и широко используется в электротехнике.
зад 2 Изучение лампочки накаливания
При подготовке к Новому году Федор решил самостоятельно изготовить гирлянду из лампочек накаливания. Чтобы сразу не сжечь все имеющиеся лампочки и чтобы они нормально светились, Федор решил провести экспериментальные исследования характеристик этого нехитрого прибора.
Часть 1. Вольтамперная характеристика лампочки.
Федор переключил мультиметр в режим омметра и измерил сопротивление лампочки при комнатной температуре \(t_0 = 23\,^\circ\text{C}\), оно оказалось равным \(R_{0,л} = 1{,}92\ \text{Ом}\).
Основной характеристикой любого элемента электрической цепи является ВАХ — вольтамперная характеристика, зависимость силы тока от приложенного напряжения. Для её измерения Федор собрал электрическую цепь, показанную на рисунке. Изменяя сопротивление переменного резистора, Федор измерил значения напряжений на лампочке \(U\) и на постоянном резисторе (сопротивление которого \(R_0 = 0{,}62\ \text{Ом}\)) — \(U_0\). Результаты измерений приведены в Таблице 1 Листов ответов.
1.1 Постройте график вольтамперной характеристики лампочки накаливания по результатам измерений Федора.
Результаты необходимых расчётов приведите в свободных столбцах Таблицы 1, укажите формулы, по которым Вы провели расчёт, график постройте на бланке Листов ответов.
Для проверки своих измерений и построений Федор собрал цепь из трёх последовательно соединённых лампочек и подключил к источнику напряжения \(U_1 = 4{,}5\ \text{В}\).
1.2 Чему равна потребляемая мощность \(P_1\) в этой цепи?
После этого Федор соединил эти 3 лампочки параллельно и подключил к тому же источнику напряжения \(U_1 = 4{,}5\ \text{В}\).
1.3 Чему равна потребляемая мощность \(P_2\) в этой цепи?
Для теоретического описания проведённого эксперимента Федор решил использовать следующие приближения: 1) Сопротивление лампочки линейно зависит от её температуры \(t\): \[R = R_0\bigl(1 + \alpha(t - t_0)\bigr) \tag{1}\] Температурный коэффициент сопротивления вольфрама Федор нашёл в справочнике \(\alpha = 5{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{К}^{-1}\). Здесь \(K\) — градус Кельвина. Температура по абсолютной шкале Кельвина связана с температурой по шкале Цельсия простым соотношением \[T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273{,}15\ \text{K} . \tag{2}\] 2) Мощность тепловых потерь лампочки (т. е. количество теплоты, уходящей в воздух в единицу времени) пропорциональна разности температур нити накаливания \(t\) и окружающего воздуха \(t_0\): \[P = \beta\,(t - t_0) \tag{3}\] где \(\beta\) — неизвестный постоянный коэффициент, который Федор решил определить на основании экспериментальных данных.
В рамках этой линейной модели Федор сумел получить явный вид зависимости силы тока через лампочку от напряжения на ней.
1.4 Найдите явный вид зависимости силы тока через лампочку от напряжения на ней \(I(U)\) в рамках линейной модели.
Полученная зависимость оказалась слишком громоздкой и трудно поддающейся анализу. Кроме того, у Федора возникла идея, как можно проверить применимость линейной модели к проведённому эксперименту.
Он сообразил, что можно легко рассчитать на основе результатов измерений мощность, выделяющуюся на лампочке \(P\), и её сопротивление \(R\), и построить соответствующий график \(R(P)\). Федор провёл необходимые расчёты, построил график этой зависимости и — с сожалением отверг линейную модель!
1.5 Найдите явный вид зависимости сопротивления лампочки от выделяющейся на ней мощности \(R(P)\).
1.6 Проведите необходимые численные расчёты и постройте график зависимости \(R(P)\) и кратко поясните, почему Федор отверг линейную модель.
Примечания. Результаты расчётов занесите в Таблицу 2 Листов ответов. Не забудьте подписать столбцы таблицы. Достаточно провести расчёты для половины точек, только выбирайте их разумно. График постройте на соответствующем бланке Листов ответов.
Для дальнейшего анализа Федор, тем не менее, решил оценить максимальную температуру нити накаливания в своём эксперименте.
1.7 Оцените максимальную температуру нити накаливания на основании линейной модели.
Часть 2. Строгая теоретическая модель.
После продолжительных размышлений Федор решил, что основной недостаток линейной модели заключается в выборе механизма тепловых потерь лампочки, который описывается формулой (3). Действительно, нить накала разогревается достаточно сильно, в результате чего она и светится. Следовательно, основным механизмом тепловых потерь является излучение света. Пришлось опять обратиться к справочникам. В результате «рыскания» по Интернету Федор решил использовать следующие данные: 1) Мощность теплового излучения нагретых тел определяется формулой \[P_{\text{изл.}} = A\,T^{n} , \tag{4}\] где \(T\) — абсолютная температура тела, \(A\) — некоторый постоянный коэффициент, \(n\) — целое число. 2) Абсолютная температура \(T\) и электрическое сопротивление вольфрамовой нити в достаточно широком диапазоне температур связаны соотношением \[\frac{T}{T_0} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^{\frac{4}{5}} , \tag{5}\] здесь \(R_0\) — сопротивление нити при температуре \(T_0\).
2.1 Проведите необходимые расчёты и постройте график зависимости мощности потерь лампочки от абсолютной температуры \(P(T)\).
Примечания. Не забудьте привести все формулы, которые Вы использовали в ходе расчётов. Результаты расчётов занесите в Таблицу 2 Листов ответов. Достаточно провести расчёты для половины точек, только выбирайте их разумно. Можно построить график зависимости \(P(T)\) в относительных единицах (не забудьте указать каких). График постройте на бланке Листов ответов.
2.2 Используя любой метод (строгого расчёта, подбора, угадывания — но с обоснованием найденного значения) определите показатель степени в формуле (5).
2.3 Найдите максимальную температуру нити накаливания лампочки в этом эксперименте.
▶ПодсказкаСкрыть
Для линейной модели связь \(U\) и \(I\) дана законом Ома с учётом \(R = R_0(1+\alpha\Delta t)\) и \(\Delta t\) из закона теплоотдачи. Для строгой модели сравните, как меняются \(P\) и \(R\) с ростом температуры, по степенной зависимости.
▶ОтветСкрыть
1.1) см. Таблицу 1 и график в решении (значения \(I = U_0/R_0\): 117, 143, 174, 205, 232, 259, 276, 294, 309, 322 мА); 1.2) \(P_1 = 0{,}26\) Вт
1.3) \(P_2 = 4{,}2\) Вт; 1.4) \(I(U)=\dfrac{\sqrt{\left(\frac{U}{R_0}\right)^2+4\frac{\alpha}{\beta R}\frac{U}{R_0}}-1}{2\frac{\alpha}{\beta}U}\); 1.5) \(R(P) = R_0\left(1+\dfrac{\alpha}{\beta}P\right)\); 1.6) зависимость \(R(P)\) нелинейная, линейная модель отвергнута; 1.7) \(t_{\max}\approx 1400\,^\circ\text{C}\); 2.2) \(n = 4\); 2.3) \(t_{\max}\approx 1300\,^\circ\text{C}\) (\(T\approx 1560\) K).
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
1.1. Для построения графика нужно рассчитать силы токов через лампочку при известных напряжениях по формуле \[I = \frac{U_0}{R_0} .\] Результаты расчётов приведены в Таблице 1 Листов ответов.
1.2. Так как лампочки одинаковые, напряжения на них также будут одинаковыми: \(U_x = U_1/3 = 1{,}5\) В. По графику ВАХ находим, что сила тока (одинаковая для всех лампочек) равна \(I_x = 174\) мА. Следовательно, мощность в этой цепи \[P_1 = U_1 I_x = 0{,}26\ \text{Вт} .\]
1.3. При параллельном соединении напряжение на всех лампочках равно напряжению источника \(U_1 = 4{,}5\) В. По графику ВАХ находим, что сила тока через каждую лампочку равна \(I_y = 310\) мА. Следовательно, мощность цепи \[P_2 = 3U_1I_y = 4{,}2\ \text{Вт} .\]
1.4. Для расчёта ВАХ горячей лампочки используем закон Ома для участка цепи с учётом зависимости сопротивления от температуры: \[I = \frac{U}{R_0\bigl(1+\alpha\Delta t\bigr)} .\] Здесь \(\Delta t = t - t_0\) — разность между температурой нити и комнатной температурой. В этом уравнении не известна разность температур. Для получения системы уравнений воспользуемся законом теплоотдачи \[P = \beta\Delta t ,\] в условиях теплового равновесия мощность теплоты, выделяющейся при прохождении тока, равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду: \(P = UI\). Из этих формул \(\Delta t = UI/\beta\), и, подставляя в закон Ома, \[I = \frac{U}{R_0\left(1 + \frac{\alpha}{\beta}UI\right)} .\] Это квадратное уравнение \[\frac{\alpha}{\beta}UI^2 + I - \frac{U}{R_0} = 0 ,\] физический смысл имеет положительный корень: \[I = \frac{\sqrt{\left(\frac{U}{R_0}\right)^2 + 4\frac{\alpha}{\beta R}\frac{U}{R_0}} - 1}{2\frac{\alpha}{\beta}U} .\]
1.5. Уравнение \(\dfrac{U}{I} = R_0\left(1 + \dfrac{\alpha}{\beta}UI\right)\), где \(U/I = R\) — сопротивление нити, \(UI = P\) — мощность тока через лампочку. Итак, зависимость сопротивления лампочки от выделяющейся мощности имеет линейный характер: \[R = R_0\left(1 + \frac{\alpha}{\beta}P\right) .\]
1.6. По заданным значениям напряжения и силы тока рассчитываем мощность в цепи и сопротивление нити накала по формулам из п. 1.5. Результаты приведены в Таблице 2 и на графике. Расчёты показали, что данная зависимость сильно нелинейна, поэтому линейная модель должна быть отвергнута.
1.7. Для оценки температуры нити можно воспользоваться зависимостью сопротивления от температуры \(R = R_0\bigl(1+\alpha(t-t_0)\bigr)\). Максимальное сопротивление лампочки равно \(R = 15{,}2\) Ом, тогда \[t - t_0 = \frac{R - R_0}{\alpha R_0} ,\] \[t = t_0 + \frac{R-R_0}{\alpha R_0} = 23^\circ + \frac{15{,}2-1{,}9}{5{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}9} \approx 1400\,^\circ\text{C} .\]
Часть 2.
2.1. Для построения графика зависимости мощности потерь от температуры нужно рассчитать значения температур (мощности уже подсчитаны). Для расчёта температур используется зависимость между сопротивлением и температурой, в виде формулы (5), \(\dfrac{T}{T_0} = \left(\dfrac{R}{R_0}\right)^{4/5}\). Так как при повышении температуры вклад излучения становится всё более преобладающим, в качестве «нулевой точки» выбираем значения при \(U = 3{,}22\) В. Результаты приведены в Таблице 2.
2.2. График показывает, что экспериментальные точки очень близко ложатся на кривую, соответствующую \(n = 4\). Таким образом, показатель степени в зависимости мощности излучения от температуры равен \[n = 4 .\]
2.3. Максимальную температуру можно выразить и рассчитать с помощью формулы (5), используя данные для комнатной температуры: \[T = T_0\left(\frac{R}{R_0}\right)^{4/5} = (273+23)\left(\frac{15{,}2}{1{,}9}\right)^{4/5} = 1560\ \text{K} .\] Переходя к шкале Цельсия, получаем \(t_{\max} = T - 273 \approx 1300\,^\circ\text{C}\). Полученный результат незначительно отличается от полученного в рамках линейной модели. Следовательно, основная причина непригодности линейной модели действительно заключается в том, что основной механизм потерь — тепловое излучение нити накаливания.
зад 3 Дождевые облака
Как и все природные явления, образование облаков, возникновения дождя и градов, гроз являются очень сложными и трудно описываемыми физическими явлениями. Физика облаков, физика атмосферы — разделы физики, которые продолжают активно развиваться.
В данной задаче Вам предстоит провести некоторые простые оценки, связанные с движением дождевых капель в облаке и под ним.
Справа показана простейшая модель мощной грозовой ячейки. Не пугайтесь — рассчитывать все её параметры вам не придётся. Этот рисунок приведён для того, чтобы показать, что движение воздуха в нём может быть направлено вверх, вниз, в стороны — в общем куда угодно!
Для решения задачи Вам понадобятся следующие характеристики воздуха и воды:
плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\cdot 10^3\ \text{кг/м}^3\);
плотность воздуха будем считать постоянной и равной \(\rho = 1{,}2\ \text{кг/м}^3\);
плотность водяного пара в воздухе при температуре воздуха у поверхности земли \(t = 25\,^\circ\text{C}\) равна \(\rho_{пар} = 2{,}3\cdot 10^{-2}\ \text{кг/м}^3\); а при температуре \(t = 0\,^\circ\text{C}\) содержанием воды в воздухе можно пренебречь;
вязкость воды (величина, которая определяет силы сопротивления воздуха, она понадобится вам один раз, в одной формуле) \(\eta = 1{,}8\cdot 10^{-5}\ \text{кг/(м·с)}\);
ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Серьёзная математическая подсказка. Если скорость тела зависит от времени по закону \(v = bt^{\gamma}\), то изменение координаты тела (при любых \(\gamma\)) описывается формулой \[x = \frac{bt^{\gamma+1}}{\gamma+1} .\] Например, примените эту формулу для \(\gamma = 1\).
Часть 1. Падение дождевых капель.
В более чем учебниках физики можно найти формулы для силы сопротивления воздуха \(F\), действующей на движущийся шарик. При малых скоростях используется формула (которая называется формулой Стокса) \[F_1 = 6\pi\eta r v \tag{1}\] здесь \(r\) — радиус шарика, \(v\) — его скорость, \(\eta\) — коэффициент вязкости воздуха. При больших скоростях сила сопротивления определяется формулой: \[F_2 = C_x\,\frac{1}{2}\rho v^2 S , \tag{2}\] где \(C_x = 0{,}47\) — безразмерный коэффициент лобового сопротивления шарика, \(\rho\) — плотность воздуха, \(S = \pi r^2\) — площадь поперечного сечения шарика.
Сейчас Вам необходимо выбрать, какую формулу следует использовать в данной задаче. В реальности действуют обе силы (они имеют разную природу). Разумно выбирать ту силу, которая больше, меньшей силой можно пренебрегать.
1.1 Нарисуйте очень схематические графики зависимости силы сопротивления от скорости, описываемые формулами (1) и (2).
1.2 Получите формулу для «критической» скорости шарика \(v_{кр}\), при которой обе формулы дают одинаковые значения. Рассчитайте численное значение этой критической скорости для капли радиуса \(r_0 = 1{,}0\) мм.
1.3 Укажите, какую формулу для силы сопротивления следует использовать при описании движения капли в воздухе. Ответ кратко обоснуйте.
Независимо от вашего ответа на вопрос 1.3, далее используйте формулу (2).
Рассмотрим каплю, падающую в воздухе. По прошествии небольшого времени с начала падения, капля продолжает двигаться с некоторой постоянной, установившейся скоростью \(V\). Можно считать, что капля достигает установившейся скорости за очень малый промежуток времени.
1.4 Покажите, что скорость установившегося движения капли радиуса \(r\) можно представить в виде \[V = V_0\sqrt{\frac{r}{r_0}} \tag{3}\] где \(V_0\) — скорость установившегося движения капли радиуса \(r_0\).
1.5 Рассчитайте численное значение скорости \(V_0\), если \(r_0 = 1{,}0\) мм.
В дальнейшем используйте формулу (3), считая величины \(V_0, r_0\) известными (даже, если вам их не удалось найти)!
Теперь Вам необходимо объяснить, почему всегда дождь начинается с падения самых крупных капель. Пусть нижняя граница облака находится на высоте \(H = 1{,}0\) км. Рассмотрим две капли, радиус одной равен \(r_0 = 1{,}0\) мм, а радиус второй \(r_2 = 4{,}0\) мм, которые одновременно начинают падать из нижней границы облака.
1.6 Рассчитайте, чему равна разность времён падения этих капель, считая, что движением воздуха под тучей можно пренебречь.
Пусть в процессе падения радиус капли незначительно уменьшается из-за её испарения по закону \[r = r_0(1 - \gamma t) \tag{4}\] где \(\gamma\) — малая величина.
1.7 Найдите закон движения испаряющейся капли \(z(t)\), где \(z\) — расстояние от нижнего края облака.
Подсказка. При малых \(x \ll 1\) можно воспользоваться приближённой формулой \[\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} . \tag{5}\]
Часть 2. Капля в облаке.
Пусть в облаке образовался восходящий поток, движущийся вверх со скоростью \(U = 30\) м/с.
2.1 Рассчитайте, с какой скоростью относительно земли будет подниматься капля радиуса \(r_0 = 1{,}0\) мм.
Рассмотрим каплю, которая зародилась на нижней границе облака. В процессе движения капли в облаке её радиус возрастает вследствие продолжающейся конденсации водяных паров в облаке. На некоторой высоте капля замерзнет и превратится в градину. Пренебрежём различием в плотностях воды и льда. В этом случае движение капли и замерзшей градины описываются одинаково. Теория конденсации утверждает, что скорость роста радиуса капли описывается приближённой формулой \[r^2 \approx \alpha t . \tag{6}\] где \(\alpha = 3{,}0\cdot 10^{-7}\) м\(^2\)/с — постоянная величина. В этой формуле предполагается, что размер зародыша, из которого начинает расти капля, пренебрежимо мал. Этот закон справедлив при движении капли, как вверх, так и вниз.
2.2 Рассчитайте, при каком радиусе капли \(r_s\) она прекратит подниматься вверх.
2.3 Рассчитайте, за какое время \(\tau_1\) и на какую максимальную высоту \(z_{\max}\) относительно нижнего края облака поднимется эта капля.
2.4 Рассчитайте радиус капли (или градины) \(r_m\) при её возвращении на нижнюю границу облака.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость капли относительно воздуха и относительно земли различаются на скорость восходящего потока \(U\). Установившаяся скорость растёт как \(\sqrt{r}\), поэтому остановка подъёма наступает, когда \(U\) сравняется с ней.
▶ОтветСкрыть
1.2) \(v_{кр} = \dfrac{12\eta}{C_x\rho r} \approx 0{,}37\) м/с; 1.3) формула (2) (при \(v \gg v_{кр}\) сила сопротивления пропорциональна \(v^2\)); 1.5) \(V_0 = \sqrt{\dfrac{8\rho_0 g}{3C_x\rho}\,r_0} = 6{,}75\) м/с; 1.6) \(\Delta t = \dfrac{H}{V_0}\left(1 - \sqrt{\dfrac{r_0}{r_2}}\right) \approx 74\) с; 1.7) \(z(t) = V_0 t - V_0\dfrac{\gamma t^2}{4}\); 2.1) \(v = U - V_0 = 23\) м/с; 2.2) \(r_s = r_0\left(\dfrac{U}{V_0}\right)^2 = 20\) мм; 2.3) \(\tau_1 = \dfrac{r_0^2}{\alpha}\left(\dfrac{U}{V_0}\right)^4 \approx 1{,}3\cdot 10^3\) с \(\approx 20\) мин, \(z_{\max} = \dfrac{1}{5}U\tau_1 \approx 7{,}8\cdot 10^3\) м; 2.4) \(r_m = \left(\dfrac{5U}{4V_0}\right)^2 = 31\) мм.
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
1.1. Графики зависимости силы сопротивления от скорости показаны на рисунке. Из этого рисунка следует, что формулу (1) следует применять при скоростях меньше критической, а формулу (2) при скоростях больше критической.
1.2. Приравниваем силы, задаваемые формулами (1) и (2) в условии задачи: \[\frac{1}{2}C_x\rho v^2\cdot\pi r^2 = 6\pi\eta r v .\] Из этого выражения следует, что критическая скорость равна \[v_{кр} = \frac{12\eta}{C_x\rho r} = 0{,}37\ \text{м/с} .\]
1.3. Очевидно, что скорость падения капель значительно превышает величину найденной критической скорости. Поэтому для расчёта силы сопротивления следует пользоваться формулой (2).
1.4. При скорости установившегося движения сила тяжести, действующая на каплю, уравновешивается силой сопротивления воздуха: \[\frac{1}{2}C_x\rho V^2\cdot\pi r^2 = mg = \frac{4}{3}\pi r^3\rho_0 g \quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{\frac{8\rho_0 g}{3C_x\rho}\,r} .\] Эту формулу можно переписать в виде \[V = \sqrt{\frac{8\rho_0g}{3C_x\rho}\,r} = \sqrt{\frac{8\rho_0g}{3C_x\rho}\,r_0}\,\sqrt{\frac{r}{r_0}} = V_0\sqrt{\frac{r}{r_0}} .\]
1.5. Значение скорости для капли радиуса \(r_0 = 1{,}0\) мм: \[V_0 = \sqrt{\frac{8\rho_0 g}{3C_x\rho}\,r_0} = 6{,}75\ \text{м/с} .\]
1.6. Вторая, большая капля будет падать быстрее, разность времён падения рассчитывается по «детской» формуле: \[\Delta t = \frac{H}{V_0}\left(1 - \sqrt{\frac{r_0}{r_2}}\right) = 74\ \text{с} .\]
1.7. При падении капли её скорость будет изменяться по закону \[V = V_0\sqrt{1-\gamma t} \approx V_0 - V_0\frac{\gamma t}{2} .\] Т. е. движение капли будет равноускоренным. Поэтому закон движения капли будет иметь вид \[z(t) = V_0 t - V_0\frac{\gamma t^2}{4} .\]
Часть 2. Капля в облаке.
2.1. Сила сопротивления определяется формулой (2) из условия задачи; в случае движения воздуха под скоростью тела следует понимать относительную скорость, т. е. скорость тела относительно движущегося воздуха. В системе отсчёта, связанной с воздухом, установившаяся скорость капли есть \(V\), которая определяется формулой (3). Следовательно, в системе отсчёта, связанной с землёй, скорость движения капли равна \[v = U - V .\] Если радиус капли не изменяется и равен \(r_0 = 1{,}0\) мм, то установившаяся скорость подъёма капли будет равна \[v = U - V_0 = 23\ \text{м/с} .\]
2.2. При изменении радиуса капли скорость её подъёма будет изменяться. Так как в условии оговорено, что капля достигает установившейся скорости очень быстро, то можно считать, что в любой момент времени скорость капли определяется формулой для текущего радиуса капли. Так как радиус капли изменяется, то изменяется и величина \(V\). В этом случае \[v(t) = U - V(t) = U - V_0\sqrt{\frac{r(t)}{r_0}} .\] Условие остановки капли может быть сформулировано различными способами: скорость капли стала равной нулю; относительная скорость капли стала равной по модулю скорости подъёма; сила сопротивления стала равной силе тяжести; и т. д. При любом подходе должно выполняться соотношение \[U = V_0\sqrt{\frac{r_s}{r_0}} .\] Из этого условия рассчитываем радиус остановившейся капли \[r_s = r_0\left(\frac{U}{V_0}\right)^2 = 20\ \text{мм} .\]
2.3. Используя приведённую в условии зависимость радиуса от времени, запишем явную зависимость скорости от времени \[v(t) = U - V_0\frac{\left(\alpha t\right)^{1/4}}{\sqrt{r_0}} .\] Используя «серьёзную математическую подсказку», можно сразу записать закон движения капли \[z(t) = Ut - \frac{V_0}{\sqrt{r_0}}\,\alpha^{1/4}\,\frac{4}{5}\,t^{5/4} = Ut\left(1 - \frac{4}{5}\frac{V_0}{U}\sqrt[4]{\frac{\alpha t}{r_0^2}}\right) .\] Здесь \(z\) — вертикальная координата капли, отсчитываемая от нижнего края облака. Этот закон описывает движение капли, как вверх, так и вниз. Как следует из выражения, в момент остановки \(\tau_1\) выполняется условие \[\alpha\tau_1 = r_0^2\left(\frac{U}{V_0}\right)^4 .\] Следовательно, время подъёма капли равно \[\tau_1 = \frac{r_0^2}{\alpha}\left(\frac{U}{V_0}\right)^4 = 1{,}3\cdot 10^3\ \text{с}\approx 20\ \text{мин} .\] Подставляя это выражение в закон движения, получаем, что максимальная высота подъёма равна \[z_{\max} = \frac{1}{5}U\tau_1 = 7{,}8\cdot 10^3\ \text{м} .\]
2.4. Из формул закона движения следует, что в момент возвращения капли к нижнему краю облака \(\tau_2\) будет выполнено условие \[\frac{4V_0}{5U}\sqrt[4]{\frac{\alpha\tau_2}{r_0^2}} = 1 .\] Так как \(\alpha\tau_2 = r_m^2\) (\(r_m\) — максимальный радиус градины при её возвращении к нижней границе облака), то из этой формулы следует, что этот радиус равен \[r_m = \left(\frac{5U}{4V_0}\right)^2 = 31\ \text{мм} .\] Не мало, но такие градины бывают. Кроме того, они частично растают при полёте к земле.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2024/25, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.