зад 1 Опыт Кавендиша на современном оборудовании
Производство приборов и оборудования для учебных целей в настоящее время является прибыльным делом. Широко известна германская фирма 3B Scientific, производящая «красивое» и дорогое оборудование для учебных лабораторий.
В данном задании Вам необходимо проанализировать результаты измерений гравитационной постоянной на установке, разработанной этой фирмой. Приведенные данные взяты из каталога приборов этой фирмы, имеющего, в том числе и рекламный характер. На фото показан общий вид этой установки.
Основным ее элементом (как и в опытах самого Г. Кавендиша) являются чувствительные крутильные весы. Их вид показан на следующей фотографии. На тонкой упругой вольфрамовой нити подвешено легкое коромысло, на концах которого закреплены два небольших свинцовых шарика. Коромысло может совершать малые крутильные колебания. Чувствительный датчик регистрирует угол поворота коромысла (с разрешающей способностью 25 микрорадиан) и выводит результаты измерений на экран компьютера, на котором отражается зависимость угла поворота коромысла от времени. Эта система помещена в стеклянный корпус (на фото он снят), чтобы избежать влияния потоков воздуха. В положении равновесия коромысло располагается примерно вдоль оси корпуса по его средней линии. Снаружи корпуса на вращающейся подставке расположены два больших свинцовых шара. Во время измерений эти шары касаются стенок стеклянного корпуса. С помощью вращательного механизма эти шары можно приближать к корпусу в двух положениях — с одной и с другой стороны.
Согласно техническому описанию прибора, его параметры имеют следующие значения: массы больших шаров \(M = 1{,}038\) кг; массы малых шаров \(m = 0{,}0145\) кг. Массой коромысла весов можно пренебречь. Геометрические параметры: диаметры больших шаров \(D = 0{,}0562\) м; диаметры малых шаров \(d = 0{,}0134\) м; расстояние между стенками стеклянного корпуса \(a = 0{,}0351\) м; расстояние между внешними границами малых шаров на коромысле \(l = 0{,}1468\) м.
В своем решении используйте следующие геометрические величины: расстояние от оси подвеса до центра малого шара \(R\); расстояние между центрами большого и малого шаров при касании большого шара стенки стеклянного корпуса \(h\). Вычислите численные значения этих величин и далее используйте их в своих расчетах. Используйте приведенные здесь обозначения.
В начале эксперимента большие шары располагались на максимальном удалении от коромысла. Затем их придвинули вплотную к стенкам корпуса. Через 5 минут после начала измерений держатель больших шаров повернули примерно на 180 градусов, приблизив их вплотную к стенкам корпуса. При этом шары оказались с другой стороны относительно малых шаров.
На графике приведена полученная зависимость угла поворота коромысла от времени. Не удивляйтесь: время измерения составило в общей сложности 10 минут. Для справки: в опытах Кавендиша период колебаний коромысла был примерно равен 15 минутам. Углы отклонения приведены в милирадианах — тысячной доле радиана.
Используя приведенные данные, определите с максимальной точностью значение гравитационной постоянной.
Несмотря на то, что Вам предоставлена полная свобода действий, в изложении своего решения будьте последовательны и немногословны. Жюри ждет от Вас научный трактат на заданную тему. Получите расчетные формулы (их вывод сопровождайте рисунками, указывайте смысл использованных Вами обозначений, аргументируйте сделанные приближения); укажите какие физические величины должны быть получены из приведенного графика; укажите, каким способом вы «извлекли» эти величины, приведите их численные значения, приведите окончательный результат (хотя, надеемся, что он Вам известен). Укажите основные неучтенные факторы, которые могли повлиять на окончательный результат. Помните, что надо использовать всю имеющуюся информацию, не желательно получать значения по одной экспериментальной точке! При необходимости может использовать лист разграфленной бумаги для построения графиков. Четко выделяйте основные этапы работы и важные промежуточные результаты. Допускается проведение промежуточных расчетов и их дальнейшее использование.
▶ПодсказкаСкрыть
Гравитационный момент от больших шаров уравновешивается упругим моментом нити; положение равновесия сдвигается при перестановке шаров. Период крутильных колебаний связывает модуль кручения с массой и геометрией коромысла, поэтому \(G\) выражается через измеряемые величины: смещение равновесия и период.
▶ОтветСкрыть
\(h = \dfrac{a + D}{2} = 4{,}565\cdot 10^{-2}\) м; \(R = \dfrac{l - d}{2} = 6{,}67\cdot 10^{-2}\) м; \(G = \dfrac{2\pi^2 R h^2}{M T^2}\,\Delta\varphi \approx 2{,}96\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\) при \(\Delta\varphi \approx 0{,}69\) мрад и \(T \approx 248\) с.
▶РешениеСкрыть
1. Геометрия. Расстояние от оси подвеса до центра малого шара и расстояние между центрами больших и малых шаров при касании: \[h = \frac{a + D}{2} = 4{,}565\cdot 10^{-2}\ \text{м}, \qquad (1)\] \[R = \frac{l - d}{2} = 6{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{м}. \qquad (2)\]
При подведении тяжелых шаров к коромыслу весов на малые шарики начинает действовать сила гравитационного притяжения, равная \[F = G\frac{mM}{h^2}. \qquad (3)\] Так как смещение шариков коромысла крайне мало, то можно пренебречь изменением расстояния между взаимодействующими шарами, т.е. в формуле (3) можно считать величину \(h\) постоянной. Эти силы создают дополнительный момент гравитационных сил, действующих на коромысло \[M_g = 2F_g R = 2G\frac{mM}{h^2}R. \qquad (4)\] который уравновешивается возникающим моментом сил упругости нити подвеса \[M_e = K\left(\Delta\varphi\right)_{A,B}. \qquad (5)\] здесь \(\left(\Delta\varphi\right)_{A,B} = \left|\bar\varphi_{A,B} - \varphi_0\right|\) — отклонение равновесного положения коромысла \(\bar\varphi_{A,B}\) от положения, соответствующего недеформированной нити \(\varphi_0\).
В положении равновесия эти моменты равны, следовательно \[M_g = 2F_gR = 2G\frac{mM}{h^2}R = K\left(\Delta\varphi\right)_{A,B}. \qquad (6)\] где \(K\) — модуль кручения нити. Однако положение равновесия при недеформированной нити неизвестно. Может быть измерена величина суммарного смещения положения равновесия при изменении положения больших шаров \(\Delta\varphi = \left|\bar\varphi_A - \bar\varphi_B\right|\), которая в два раза больше, чем \(\left(\Delta\varphi\right)_{A,B} = \dfrac{\Delta\varphi}{2}\). С учетом этого обстоятельства из этого равенства следует формула для расчета гравитационной постоянной \[G = \frac{h^2}{4mMR}\,K\,\Delta\varphi. \qquad (7)\] Угол закручивания нити в положении равновесия можно определить из представленного графика. Но в формулу входит неизвестный модуль кручения нити \(K\). Эта же характеристика нити определяет период крутильных колебаний коромысла с шариками. Период свободных колебаний можно определить из имеющегося графика. Получим формулу для периода этих колебаний. Для чего запишем закон сохранения энергии при таких колебаниях \[2\,\frac{mR^2\omega^2}{2} + \frac{K\varphi^2}{2} = E. \qquad (8)\] Это есть уравнение гармонических колебаний с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2mR^2}{K}}. \qquad (9)\] Таким образом, нужный модуль кручения выражается через период крутильных колебаний \[K = \frac{8\pi^2 mR^2}{T^2}. \qquad (10)\] Подставим его значение в формулу для определения гравитационной постоянной \[G = \frac{h^2}{4mMR}K\Delta\varphi = \frac{h^2}{4mMR}\cdot\frac{8\pi^2 mR^2}{T^2}\Delta\varphi = \frac{2\pi^2 Rh^2}{MT^2}\Delta\varphi. \qquad (11)\] Тем самым мы получили формулу для расчета гравитационной постоянной, в которую входят только измеряемые величины \[G = \frac{2\pi^2 Rh^2}{MT^2}\,\Delta\varphi \approx 2{,}96\cdot 10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}. \qquad (12)\] что ниже табличного значения.
Помимо геометрических размеров из полученных результатов следует определить с максимальной точностью две величины: \(\Delta\varphi\) — смещение положения равновесия при изменении положения больших шаров; \(T\) — период колебаний.
1. Положения равновесия.
Способ 1. Просто по графику снять значения углов, к которым стремятся графики затухающих колебаний.
Способ 2. По трем точкам (метод Кавендиша). Г. Кавендиш использовал следующую формулу (логически понятную) \[\bar\varphi = \frac{\dfrac{\varphi_1 + \varphi_3}{2} + \varphi_2}{2}. \qquad (13)\] Способ 3. По трем точкам с учетом затухания. Функция, описывающая затухающие колебания, имеет вид \[\varphi(t) = \bar\varphi + A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\cos\omega t. \qquad (14)\] Для точек максимального отклонения можно записать \[\left(\varphi_n - \bar\varphi\right) = k\left(\varphi_{n-1} - \bar\varphi\right), \qquad (15)\] где \(k\) — коэффициент затухания за половину периода колебаний. Тогда для трех первых точек получаем систему уравнений \[\left(\varphi_2 - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_1 - \bar\varphi\right), \qquad \left(\varphi_3 - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_2 - \bar\varphi\right). \qquad (16)\] с двумя неизвестными величинами. Решая ее относительно \(\bar\varphi\), получим \[\bar\varphi = \frac{\varphi_2^2 - \varphi_1\varphi_3}{2\varphi_2 - \left(\varphi_1 + \varphi_3\right)}. \qquad (17)\] Способ 4. По «всем точкам»: применить рекуррентную формулу (16) ко всем точкам экстремумов \[\left(\varphi_{n+1} - \bar\varphi\right) = -k\left(\varphi_n - \bar\varphi\right). \qquad (18)\] Из которой следует, что \[\varphi_{n+1} = -k\varphi_n + \left(1 + k\bar\varphi\right). \qquad (19)\] Эта зависимость может быть использована для определения величин \(k\) и равновесного положения. В таблице и на графиках показаны эти зависимости для двух положений.
По коэффициентам этих графиков можно рассчитать значения положений равновесия: \[\bar\varphi_A = 0{,}995, \qquad \bar\varphi_B = 1{,}687. \qquad (18)\] Что крайне мало отличается от значений, снятых «на глаз».
2. Определение периода колебаний.
1 способ. Просто снять значения времен нескольких колебаний. Получается значение периода \(T = 250\) с. (19)
2 способ. Усреднить периоды для разных положений равновесия. Для случая В к временам \(t_n\) прибавлено произвольное число 5, чтобы графики не перекрывались.
По результатам измерений и последующему усреднению получено значение \(T = 248\) с. (20)
Учет изменения периода вследствие затухания. Известно, что частота затухающих колебаний отличается от частоты свободных колебаний: \[\omega^2 = \omega_0^2 - \frac{1}{\tau^2}. \qquad (21)\] Откуда следует, что период колебаний, полученный в результате расчетов (9), должен определяться из формулы \[\frac{4\pi^2}{T_0^2} = \frac{4\pi^2}{T^2} + \frac{1}{\tau^2}. \qquad (22)\] Проведенная обработка позволяет учесть и эту поправку.
зад 2 Камера Вильсона
Камера Вильсона — замечательный прибор для исследования заряженных частиц, который сыграл и до сих пор продолжает играть значительную роль в ядерной физике и физике элементарных частиц. Принцип работы камеры прост и понятен: в сосуде создается пересыщенный пар, парциальное давление которого превышает давление насыщенных паров. Такая система находится в метастабильном состоянии. Пролетающая заряженная частица на своем пути создает цепочку ионов, которые являются центрами конденсации. На них образуются микроскопические капельки воды, отмечающие траекторию пролетающей частицы, которую можно сфотографировать. Аналогичные процессы происходят и при образовании облаков. Однако до настоящего времени не все понятно в этом процессе, особенно на его начальной стадии. Этим проблемам и посвящено это задание.
Задача разработана на основе статьи Н.Н. Гупта, С.К. Гош. Камера Вильсона и ее применение в физике. УФН, 1947 г., т. XXXI, вып. 4 и книги «Физика облаков», под редакцией А.Х. Хргиана, Ленинград, 1961 г.
Справочные материалы. Плотность воды \(\rho = 1{,}0\cdot 10^{3}\) кг/м\(^3\); удельная теплота испарения воды \(L = 2{,}30\cdot 10^{6}\) (в условии указано Дж/м\(^3\)); удельная теплоемкость воды \(c = 4{,}20\cdot 10^{3}\) Дж/(кг K); поверхностное натяжение воды \(\sigma = 7{,}3\cdot 10^{-2}\) Н/м; молярная масса воды \(M = 1{,}8\cdot 10^{-2}\) кг/моль; постоянная Авогадро \(N_A = 6{,}0\cdot 10^{23}\) 1/моль; универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(моль K); заряд электрона \(e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\) Кл; электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\) Ф/м. Характеристики воды считать постоянными, не зависящими от температуры.
В конце задания приведена таблица зависимости давления насыщенных паров воды от температуры.
Свободная поверхность жидкости обладает энергией, равной \(U = \sigma S\), где \(S\) — площадь поверхности, \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения. В задаче будем рассматривать камеру, рабочей средой которой является воздух с водяными парами, близкими к насыщению.
Часть 1. Проблема образования зародышей капель.
Одной из проблем теории образования капель является выяснения появления так называемых зародышей капель в чистой без пыли среде. Оказывается, что существует некоторый критический радиус капли, после превышения которого она начинает расти, зародышевые капли меньшего радиуса испаряются.
Покажите, что зависимость потенциальной энергии капли от ее радиуса может быть представлена в виде \(U(r) = -ar^{3} + br^{2}\) (1), где \(a\) и \(b\) некоторые положительные постоянные величины. Укажите физический смысл каждого слагаемого.
Используя характеристики воды, предложите оценки коэффициентов в формуле (1).
При каком условии, накладываемом на функцию \(U(r)\), капля может расти.
Используя функцию (1), оцените критический радиус капли.
Полученная оценка критического радиуса оказывается несколько завышенной, что связано с грубой оценкой коэффициентов функции (1). Поэтому далее считайте критический радиус капли равным \(r_{cr} = 10\) нм.
Рассчитайте число молекул воды в капле воды радиуса \(r_{cr}\). Оценки показывают, что даже уже на таких пространственных масштабах каплю можно считать сплошной средой, потерявшей «атомарную» структуру.
Получите точную формулу для электрической энергии заряженного проводящего шара радиуса \(R\), несущего электрический заряд \(q\).
Рассмотрим зародышевую каплю, образовавшуюся на однозарядовом (т.е. ее заряд равен заряду электрона) ионе. Можно считать, что капля является проводящим шариком.
Добавьте в функцию (1) слагаемое, учитывающее электрическую энергию капли. Покажите на качественном уровне (лучше это сделать графически), что наличие этой энергии может приводить к уменьшению критического радиуса капли. Численные оценки в этом пункте не требуются.
Часть 2. Внешние условия.
В Части 1 были оценены условия, при которых капля может расти. Однако для ее роста необходимо, чтобы молекулы воды, находящиеся в газообразном состоянии, постоянно подходили к поверхности капли.
Известно, это было установлено еще У. Томсоном (лордом Кельвиным), что давление насыщенных паров вблизи искривленной поверхности жидкости отличается от давления насыщенных паров вблизи плоской поверхности, причем у выпуклых поверхностей (как у капли) оно больше, а у вогнутых (как у мениска) оно меньше.
У. Томсон получил формулу (сейчас ее выводят на первом курсе физического факультета), описывающую это давление \[\ln\frac{P_r}{P_\infty} = \frac{2\sigma}{r}\,\frac{M}{RT\rho}, \qquad (2)\] где \(P_r\) — давление насыщенного пара у поверхности капли радиуса \(r\), \(P_\infty\) — давление насыщенного пара у плоской границы (именно его приводят в справочниках), \(M\) — молярная масса воды, \(\rho\) — ее плотность, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\sigma\) — поверхностное натяжение воды.
Рассчитайте избыточное давление насыщенного пара у капелек критического радиуса \(r_{cr} = 10\) нм при температуре \(20\,^\circ\)C.
Пусть влажный воздух с насыщенным паром находится в камере Вильсона при температуре \(20\,^\circ\)C. Оцените, на сколько градусов надо резко (например, путем адиабатического расширения) охладить этот воздух, чтобы начался процесс роста капель радиуса \(r_{cr} = 10\) нм. Оцените влажность воздуха в этом случае.
Можно заметить, что в формулу Томсона (2) входит лапласовское давление под искривленной поверхностью. Это наблюдение может помочь проанализировать влияние заряда капли на избыточное давление пара у поверхности капли. Действительно, заряд капли уменьшает давление внутри нее, т.е. как бы уменьшает лапласовское давление.
Используя формулу для поверхностной энергии поверхности воды, получите формулу для избыточного давления под искривленной поверхностью (формулу Лапласа).
Получите формулу для давления электрического поля на поверхность заряженного проводящего шара радиуса \(R\), если его заряд равен \(q\).
По-прежнему рассматриваем капельку воды радиуса \(r_{cr} = 10\) нм. Рассчитайте, какой заряд надо сообщить этой капле (при температуре \(20\,^\circ\)C), чтобы начался ее рост в атмосфере насыщенного пара (без пресыщения).
▶ПодсказкаСкрыть
Для оценки используйте формулу Томсона: избыточное давление пара у капли растёт с уменьшением радиуса. Лапласово давление \(2\sigma/r\) и давление электростатического поля на проводящую поверхность \(\varepsilon_0E^2/2\) сравниваются при оценке заряда.
▶ОтветСкрыть
1.2) \(a \approx 6{,}3\cdot 10^{-11}\) Дж/м\(^3\), \(b \approx 0{,}92\) Дж/м\(^2\); 1.3) рост возможен там, где \(U(r)\) убывает с ростом \(r\); 1.4) \(r_{cr} = \dfrac{2b}{3a} \approx 6{,}4\cdot 10^{-11}\) м (в решении завышена, далее принято 10 нм); 1.5) \(N \approx 1{,}4\cdot 10^{5}\); 2.1) \(P_r/P_\infty \approx 1{,}11\), \(P_r \approx 2{,}59\) кПа при \(20\,^\circ\)C; 2.2) охладить примерно на \(1{,}5\,^\circ\)C, влажность около \(110\,\%\); 2.3) \(p = \dfrac{2\sigma}{r}\); 2.4) \(p = \dfrac{\varepsilon_0E^2}{2} = \dfrac{\varepsilon_0}{2}\left(\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2\); 2.5) \(q \approx 2{,}0\cdot 10^{-17}\) Кл.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Проблема образования зародышей капель.
1.1. В предложенной формуле для энергии капли \[U(r) = -ar^{3} + br^{2}. \qquad (1)\] Первое слагаемое имеет смысл объемной энергии — потенциальной энергии взаимодействия молекул воды. Второе слагаемое — поверхностная энергия.
1.2. Объемную энергию можно выразить через удельную теплоту испарения \[ar^{3} = L\rho V = \frac{4}{3}\pi r^{3}L\rho. \qquad (2)\] Отсюда следует, что \[a = \frac{4}{3}\pi L\rho \approx 6{,}3\cdot 10^{-11}\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}. \qquad (3)\] Второе слагаемое — поверхностную энергию следует выразить через поверхностное натяжение \[br^{2} = 4\pi r^{2}\sigma \ \Rightarrow\ b = 4\pi\sigma \approx 0{,}92\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^2}. \qquad (4)\]
1.3. Рост капли сможет начаться в той области радиусов капли, в которой потенциальная энергия убывает с ростом радиуса капли.
1.4. Функция (1) имеет точку максимума. Следовательно, критический радиус соответствует значению точки максимума. Вычисляя производную от функции (1) и приравнивая ее к нулю, легко получить значение критического радиуса \[r_{cr} = \frac{2b}{3a} \approx 6{,}4\cdot 10^{-11}\ \text{м}. \qquad (5)\] Явно заниженное значение, по-видимому, слишком большая доля молекул находится на поверхности капли.
1.5. Число молекул в капле рассчитывается по очевидной формуле \[N = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho}{M}\,N_A \approx 1{,}4\cdot 10^{5}. \qquad (6)\]
1.6. Энергию электрического поля капли следует рассчитывать по формуле \[U = \frac{1}{2}q\varphi = \frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_0 r}. \qquad (7)\]
1.7. В потенциальную функцию следует добавить положительное слагаемое, равное энергии поля капли: \[U(r) = -ar^{3} + br^{2} + \frac{c}{r}. \qquad (8)\] где коэффициент \(c\) равен \[\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_0 r} = \frac{c}{r} \ \Rightarrow\ c = \frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_0}. \qquad (9)\] Не сложно показать, что это может приводить к сдвигу максимума функции \(U(r)\), что приводит к изменению критического радиуса капли. Иллюстрация приведена на рисунке.
Часть 2. Внешние условия.
Основная идея этой части задания: перенос молекул к капле осуществляется посредством диффузии. Поэтому капля будет расти, если концентрация молекул воды (следовательно, и парциальное давление водяных паров) у поверхности капли будет меньше, чем концентрация на большом удалении от капли!
2.1. Расчет давления насыщенных паров у поверхности капли дает: \[\frac{P_r}{P_\infty} = \exp\left(\frac{2\sigma}{r}\frac{M}{RT\rho}\right) = k \approx 1{,}11. \qquad (10)\] При температуре \(20\,^\circ\)C \[P_r = 2{,}33\cdot 1{,}11 = 2{,}59\ \text{Па}. \qquad (11)\]
2.2. При резком понижении температуры парциальное давление водяного пара вдали от капли практически не изменится, поэтому надо понизить давление у поверхности капли. Заметим, что коэффициент \(k\) в формуле (10) очень слабо зависит от температуры, поэтому можно записать \[k\,p_\infty(t_1) = p_\infty(t_0). \qquad (12)\] Откуда находим, что \[p_\infty(t_1) = \frac{p_\infty(t_0)}{k} = \frac{2{,}38}{1{,}11} \approx 2{,}1\ \text{кПа}. \qquad (13)\] По таблице давления насыщенных паров с помощью линейной интерполяции находим, что температура должна понизиться примерно на 1,5 градуса. Из формулы (13) видно, что влажность воздуха при этом составит примерно 110 %.
2.3. Лапласовское давление задается формулой \[p = \frac{2\sigma}{r}. \qquad (14)\] Эту формулу можно получить следующим образом: работа сил по увеличению площади поверхности равна изменению энергии, поэтому \(P\Delta V = \sigma\Delta S\), \(\Delta V = 4\pi r^{2}\Delta r\), \(\Delta S = 8\pi r\Delta r\). Откуда и следует формула (14).
2.4. Давление электрического поля на проводящую поверхность можно рассчитать по формуле \[p = \frac{\varepsilon_0E^{2}}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\right)^{2}. \qquad (15)\]
2.5. Приравнивая эти давления, находим необходимый заряд капли \[q \approx 2{,}0\cdot 10^{-17}\ \text{Кл}. \qquad (16)\]
зад 3 Терморезисторы
В электротехнике используются приборы, которые называются терморезисторы, сопротивление которых достаточно сильно зависит от температуры. Если сопротивление такого резистора возрастает с ростом температуры, такой прибор называется терморезистором с положительной характеристикой (такой резистор мы будем обозначать на схемах знаком «+»). Если сопротивление прибора уменьшается с ростом температуры, то прибор называется терморезистором с отрицательной характеристикой (на схемах будем обозначать его со знаком «−»). Для реальных приборов зависимости сопротивления от температуры носят сложный и разнообразный характер. Но в данном задании эти зависимости будем приближенно описывать линейными функциями: \[R = R_0\left(1 + \alpha t\right) \ \text{для положительной характеристики (1)}, \qquad R = R_0\left(1 - \alpha t\right) \ \text{для отрицательной характеристики (2)}.\] Второй важной характеристикой является мощность теплоотдачи — количество теплоты, уходящей в окружающую среду в единицу времени. Будем считать, что мощность теплоотдачи пропорциональна температуре терморезистора \[P = \beta t. \qquad (3)\] В формулах (1)–(3) \(t\) — разность между температурой терморезистора и температурой окружающей среды. Коэффициенты в формулах \(R_0\), \(\alpha\), \(\beta\) положительные, считайте их известными. Во всех частях задания рассматривается область температур, при которых формулы (1)–(2) дают положительные значения сопротивлений: от \(t\to -\infty\) до \(t = 1/\alpha\) для терморезистора с отрицательной характеристикой; от \(t = -1/\alpha\) до \(t\to+\infty\) для терморезистора с положительной характеристикой.
Теплоемкость каждого терморезистора равна \(C\) и не зависит от его температуры. Считайте, что терморезистор с положительной характеристикой (1) перегорает только в том случае, когда его температура стремится к бесконечности \(t\to\infty\). А терморезистор с отрицательной характеристикой (2) перегорает, если его температура стремится к \(t\to 1/\alpha\).
Если в цепи находится два терморезистора, то считайте, что обмен теплоты между ними не происходит.
Стационарным (установившимся) называется режим, в котором значения температур и сопротивлений терморезисторов перестают изменяться с течением времени.
Подсказка. Решения каждой части задания рекомендуем начинать с записи уравнений, описывающих изменения температур \(t_{1,2}\) за малый промежуток времени \(\Delta\tau\) (обозначайте время \(\tau\), чтобы не путать с температурой \(t\)). Для этого удобно ввести «относительные» сопротивления терморезисторов \(r_{1,2} = R_{1,2}/R_0\) и перейти к уравнениям, описывающим изменения сопротивлений терморезисторов, которые можно привести к виду \[a\frac{\Delta r_{1,2}}{\Delta\tau} = F_{1,2}(r_1, r_2, p), \qquad (4)\] где \(a\) — несущественный для данной задачи параметр, \(F_{1,2}(r_1, r_2, p)\) — некоторые функции от переменных \(r_1\), \(r_2\) и от безразмерного параметра \(p\), зависящего от параметров задачи \(R_0\), \(\alpha\), \(\beta\), \(U_0\), \(I_0\). Для вашего удобства во всех частях задачи этот параметр будет указан. Решать эти уравнения не следует, достаточно провести их качественный анализ и построить качественные графики требуемых зависимостей. Эти графики оцениваются по следующим критериям: начальные и предельные значения; характер зависимости — монотонность, возрастание-убывание; выпуклость — вогнутость. Все графики необходимо построить на приготовленных для вас бланках в Листах ответов. Используйте сделанную оцифровку осей координат (там, где она есть). Оси времени оцифровывать не надо. Вид построенных графиков должен быть обоснован формулами, графиками — простого угадывания недостаточно.
Часть 1. Один «положительный» терморезистор.
В данной части используйте безразмерный параметр \(p = \dfrac{\alpha I_0^2 R_0}{\beta}\). Терморезистор с положительной характеристикой включен в цепь, в которой поддерживается постоянная сила тока \(I_0\).
Определите максимальное значение силы тока \(I_0\), который может протекать через резистор без его перегорания.
Запишите уравнение вида (4), описывающее изменение относительного сопротивления резистора с течением времени. Укажите значение параметра \(a\) в данном уравнении.
На бланках в Листах ответов постройте схематические графики зависимости сопротивления терморезистора от времени при указанных значениях параметра \(p\) и различных начальных (при \(\tau = 0\)) значениях сопротивления \(r_0\).
Часть 2. Два «отрицательных» терморезистора.
В этой части безразмерный параметр равен \(p = \dfrac{\alpha U_0^2}{4\beta R_0}\). Два одинаковых терморезистора с отрицательными характеристиками соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения \(U_0\).
Получите уравнения, описывающие изменения относительных сопротивлений резисторов. Приведите их к виду (4). Укажите значение параметра \(a\) в этих уравнениях.
Докажите, что возможны только такие установившиеся режимы, при которых сопротивления резисторов одинаковы \(r_1 = r_2\).
Рассмотрим режим протекания тока, если в начальный момент сопротивления терморезисторов одинаковы и равны \(r_0\). В этом случае сопротивления резисторов могут изменяться с течением времени, но будут оставаться равными.
Определите, при каких значениях параметра \(p\) возможен установившийся режим протекания тока.
На бланках в Листах ответов постройте схематические графики зависимости сопротивления резисторов от времени при двух указанных значениях параметра \(p\) и различных начальных условиях.
Найдите максимальное значение напряжения источника \(U_{0\max}\), при которых терморезисторы не перегорают. Выразите эту величину через параметры \(\alpha\), \(\beta\), \(R_0\).
Рассчитайте численные значения установившегося значения относительного сопротивления терморезисторов \(r\) при напряжении источника, равном \(U_0 = U_{0\max}/2\), и при \(U_0 = 0{,}50\,U_{0\max}\).
При совместном рассмотрении двух функций от времени (в нашем случае — это зависимости сопротивлений от времени \(r_1(\tau)\) и \(r_2(\tau)\)) наглядное представление о поведении этих функций дает так называемая фазовая диаграмма. Для этого строится диаграмма, по осям которой откладывают значения одной и другой функции в некоторый момент времени. Этому состоянию соответствует точка на диаграмме. В последующие моменты времени значения функции изменяются, соответствующая им точка плавно смещается, в результате получается линия, которая называется фазовой траекторией. Полным аналогом данной процедуры является построение обычной траектории движения точки по известным зависимостям ее координат от времени. Вам необходимо описать динамику изменения сопротивлений терморезисторов в рассматриваемой схеме при различных начальных значениях сопротивлений \(r_{10}\) и \(r_{20}\), которые задают начальную точку на фазовой диаграмме. Для качественного построения фазовой траектории не надо решать полученные вами дифференциальные уравнения! Надо уметь анализировать характер изменения сопротивлений. Необходимо отразить начальные положения (они заданы в условии) и проанализировать, к каким предельным значениям будет стремиться фазовая траектория.
Рассмотрим поведение системы при \(p = 0{,}20\).
Найдите возможные стационарные (установившиеся) значения сопротивлений терморезисторов, нанесите их на фазовую диаграмму.
Для каждого из указанных начальных условий (они находятся на границе области и отмечены ромбами) постройте схематическую фазовую траекторию.
Пусть параметр увеличился до значения \(p = 0{,}30\).
Постройте аналогичное семейство фазовых траекторий для \(p = 0{,}30\).
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите также уравнение для суммы сопротивлений: оно разделяет область на устойчивый и неустойчивый случаи. Стационарные значения — корни квадратного уравнения \(r^2 - r + p = 0\), из которого видно, что при \(p > 1/4\) стационарных значений нет.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(I_{0\max} = \sqrt{\dfrac{\beta}{\alpha R_0}}\); 1.2) \(a = C/\beta\), уравнение \(a\dfrac{\Delta r}{\Delta\tau} = pr - (r-1)\); 1.3) при \(p < 1\) сопротивление стремится к \(\bar r = \dfrac{1}{1-p}\) при любом \(r_0\); при \(p > 1\) — к бесконечности; 2.1) \(a\dfrac{\Delta r_{1,2}}{\Delta\tau} = -4p\dfrac{r_{1,2}}{(r_1 + r_2)^2} + (1 - r_{1,2})\), \(a = C/\beta\); 2.2) \(r_1 = r_2\) в установившемся режиме; 2.3) установившийся режим возможен при \(p < 1/4\); 2.5) \(U_{0\max} = \sqrt{\dfrac{\beta R_0}{\alpha}}\); 2.6) \(r = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}93\) (при обоих значениях напряжения, как в оригинале); 2.7) стационарные значения \(r = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 - 4p}}{2}\); при \(p = 0{,}20\): \(0{,}72\) (устойчивое) и \(0{,}28\) (неустойчивое); 2.9) при \(p = 0{,}30\) устойчивых точек нет, все траектории расходятся.
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Один «положительный» терморезистор.
1.1. В этом случае уравнение теплового баланса имеет вид \[C\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = I_0^{2}R_0\left(1 + \alpha t\right) - \beta t. \qquad (1)\] Терморезистор перегорит, если мощность теплоты, выделяющаяся при протекании тока \(P_{(+)} = I_0^{2}R_0(1 + \alpha t)\), все время будет превышать мощность теплоотдачи \(P_{(-)} = \beta t\). Построим схематические графики зависимостей этих мощностей от температуры. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Из графиков следует, что они будут иметь общую точку пересечения в указанном диапазоне температур, если наклон графика \(P_{(-)}\) будет больше наклона графика \(P_{(+)}\), т.е. при выполнении условия \[\alpha I_0^{2}R_0 < \beta. \qquad (2)\] В противном случае мощность поступающей теплоты все время будет превышать мощность уходящей теплоты, поэтому резистор будет разогреваться до бесконечности и перегорит. Следовательно, максимальная сила тока, который может протекать через резистор, равна \[I_{0\max} = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha R_0}}. \qquad (3)\]
Способ решения 2. Из уравнения (1) следует, что в стационарном режиме установившаяся температура терморезистора равна \[I_0^{2}R_0\left(1 + \alpha t\right) - \beta t = 0 \ \Rightarrow\ \bar t = \frac{I_0^{2}R_0}{\beta - \alpha I_0^{2}R_0}. \qquad (4)\] Из этой формулы следует, что установившийся режим возможен только при выполнении неравенства (2). Однако в данном решении нет аргументации того, что температура будет расти до бесконечности. Поэтому данное решение оценивается меньшим числом баллов.
1.2. Перейдем к уравнению для изменения сопротивления по рекомендованной методике. Для этого выразим температуру резистора через его сопротивление. Из формулы \(R = R_0(1 + \alpha t)\) следует \[r = \frac{R}{R_0} = 1 + \alpha t, \qquad t = \frac{r - 1}{\alpha}, \qquad dt = \frac{dr}{\alpha}. \qquad (5)\] Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим \[\frac{C}{\alpha}\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = I_0^{2}R_0 r - \frac{\beta}{\alpha}(r - 1) \ \Rightarrow\ \frac{C}{\beta}\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = \frac{\alpha I_0^{2}R_0}{\beta}\,r - (r - 1). \qquad (6)\] Тем самым приходим к нужному виду уравнения \[a\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = pr - (r - 1), \qquad a = \frac{C}{\beta}. \qquad (7)\] Перепишем уравнение в наглядной форме \[a\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = pr - (r - 1) = (p - 1)\left(r - \frac{1}{1 - p}\right). \qquad (8)\]
1.3. Из этого уравнения следует, что: а) при \(p < 1\) сопротивление стремится к предельному значению \(\bar r = \dfrac{1}{1 - p}\), независимо от начального значения; б) при \(p > 1\) сопротивление стремится к бесконечности независимо от начального условия. При заданных значениях параметров: а) \(p = 0{,}6\) — существует стационарное значение \(\bar r = \dfrac{1}{1 - 0{,}6} = 2{,}5\), поэтому все кривые стремятся к этому значению; б) \(p = 1{,}4\) — стационарного значения нет, поэтому все кривые уходят в бесконечность, причем, чем больше начальное значение \(r_0\), тем быстрее растет сопротивление. Требуемые графики показаны на рисунке.
Часть 2. Два «отрицательных» терморезистора.
2.1. При последовательном соединении сила тока в цепи постоянна и равна \[I = \frac{U_0}{R_1 + R_2}. \qquad (10)\] Поэтому уравнения теплового баланса для терморезисторов имеют вид \[\begin{cases} C\dfrac{\Delta t_1}{\Delta\tau} = \dfrac{U_0^{2}}{(R_1 + R_2)^{2}}R_1 - \beta t_1 \\[2mm] C\dfrac{\Delta t_2}{\Delta\tau} = \dfrac{U_0^{2}}{(R_1 + R_2)^{2}}R_2 - \beta t_2 \end{cases} \qquad (11)\] Уравнения (11) отличаются только индексом, поэтому достаточно преобразовать одно из них. Выразим значение температуры терморезистора через его сопротивление \[R_1 = R_0\left(1 - \alpha t_1\right) \ \Rightarrow\ t_1 = \frac{1 - r_1}{\alpha}; \qquad \Delta t_1 = -\frac{1}{\alpha}\Delta r_1. \qquad (12)\] После подстановки в уравнение (11) получим \[-\frac{C}{\alpha}\frac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = \frac{U_0^{2}}{R_0}\frac{r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} - \frac{\beta}{\alpha}\left(1 - r_1\right).\] Разделив уравнение на отношение \(\left(-\dfrac{\beta}{\alpha}\right)\), получим его в требуемом виде \[\frac{C}{\beta}\frac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = -\frac{\alpha U_0^{2}}{4\beta R_0}\cdot\frac{4r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} + \left(1 - r_1\right). \qquad (13)\] В котором \(a = \dfrac{C}{\beta}\) и присутствует указанный параметр \(p\). Таким образом, требуемая система уравнений имеет вид \[\begin{cases} a\dfrac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = -4p\dfrac{r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} + (1 - r_1) \\[2mm] a\dfrac{\Delta r_2}{\Delta\tau} = -4p\dfrac{r_2}{(r_1 + r_2)^{2}} + (1 - r_2) \end{cases} \qquad (14)\]
2.2. Получим уравнение, описывающее изменение разности сопротивлений, для чего вычтем из первого уравнения системы (14) второе: \[a\frac{\Delta(r_1 - r_2)}{\Delta\tau} = -4p\frac{(r_1 - r_2)}{(r_1 + r_2)^{2}} - (r_1 - r_2) = -\left(\frac{4p}{(r_1 + r_2)^{2}} + 1\right)(r_1 - r_2). \qquad (15)\] Так как коэффициент, стоящий при разности сопротивлений, отрицателен при любых значениях мощности и сопротивлений, то при любых начальных условиях разность сопротивлений стремится к нулю. Следовательно, в установившемся режиме сопротивления терморезисторов будут равны.
Рассмотрим одно из уравнений системы (14) при \(r_1 = r_2 = r\) (в этом случае уравнения одинаковы): \[\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = -\frac{p}{r} + (1 - r). \qquad (16)\] Это уравнение, описывающее динамику изменения сопротивления. Укажем физический смысл слагаемых этого уравнения: величина \(P_{(+)} = \dfrac{p}{r}\) есть мощность теплоты, выделяющаяся при протекании тока — нагрев проводника приводит к уменьшению его сопротивления, поэтому в уравнении (16) она отрицательна; величина \(P_{(-)} = 1 - r\) — есть мощность теплоты, уходящей в окружающую среду — ее увеличение приводит к уменьшению температуры резистора, следовательно, к увеличению его сопротивления.
2.3. В установившемся режиме эти мощности равны \(P_{(+)} = P_{(-)}\). Решение данной задачи имеет красивое геометрическое истолкование. Обозначим \(x = r\), а равные мощности теплоты \(y = P_{(+)}\). Тогда поставленная математическая задача формулируется следующим образом: найти точки пересечения линий, задаваемых уравнениями \[\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = p \end{cases} \qquad (17)\] Первое уравнение задает прямую, отсекающую на осях координат единичные отрезки. Второе уравнение описывает гиперболу, симметричную относительно биссектрисы координатного угла. Координаты точки пересечения гиперболы с биссектрисой легко найти \[x^{*} = y^{*} \ \Rightarrow\ \left(x^{*}\right)^{2} = p \ \Rightarrow\ x^{*} = y^{*} = \sqrt{p}.\]
Теперь можно легко построить схематические графики зависимостей мощностей: \(P_{(+)} = \dfrac{p}{r}\) (при разных значениях \(p\)) и \(P_{(-)} = 1 - r\). Из проведенного анализа следует, что гипербола и прямая касаются друг друга при \(\sqrt{p} = \dfrac{1}{2}\), или при \(p = \dfrac{1}{4}\). При меньшем значении \(p\) имеются две стационарные точки. Из уравнения (13) следует, что увеличение мощности \(P_{(+)}\) приводит к уменьшению сопротивления, а увеличение мощности \(P_{(-)}\) — к увеличению сопротивления. Простой анализ поведения сопротивления при отклонении от стационарного значения показывает, что устойчивым является большее стационарное значение. Таким образом, при \(p < \dfrac{1}{4}\) существует устойчивое стационарное значение сопротивления термистора (следовательно, и его температуры). При \(p > \dfrac{1}{4}\) стационарных значений сопротивления нет. В этом случае мощность, выделяющаяся при протекании тока всегда, превышает мощность потерь, что приводит к бесконечному увеличению температуры и перегоранию терморезистора. Подводя итог проведенному анализу, сформулируем окончательный ответ на поставленный вопрос: установившийся режим протекания тока возможен при \[p < \frac{1}{4}. \qquad (18)\]
Способ решения 2. Эти же результаты могут быть получены и на основании анализа корней уравнения (13) в стационарном режиме \[\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = -\frac{p}{r} + (1 - r) = 0,\] которое приводится к квадратному уравнению \(r^2 - r + p = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = 1 - 4p\). При \(D > 0\) (т.е. при \(p < 1/4\)) уравнение имеет два корня; при \(D < 0\) (т.е. при \(p > 1/4\)) уравнение корней не имеет; при \(D = 0\) (т.е. при \(p = 1/4\)) корни уравнения совпадают, что соответствует «критическому» случаю.
2.4. Для качественного описания изменения сопротивления найдем возможные стационарные (установившиеся) значения сопротивления. Как было показано в предыдущем пункте, при \(p < 1/4\) имеются две стационарные точки, являющиеся корнями уравнения \[r^{2} - r + p = 0. \qquad (19)\] Эти корни при \(p = 0{,}20\): \[\bar r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4p}}{2} \ \Rightarrow\ \bar r_1 = 0{,}72,\ \bar r_2 = 0{,}28. \qquad (20)\] Еще раз построим графики функций \(P_{(+)}\), \(P_{(-)}\) при \(p = 0{,}20\). Стрелками указано, как каждая мощность влияет на сопротивление. Этот рисунок подтверждает, что точка \(\bar r_1 = 0{,}72\) является устойчивой. Поэтому при начальном условии \(r_0 > \bar r_2 = 0{,}28\) сопротивление будет монотонно стремиться к значению \(\bar r_1 = 0{,}72\). При \(r_0 < \bar r_2 = 0{,}28\) сопротивление будет стремиться к нулю, т.е. терморезисторы в этом случае перегорят. Нужно также отметить, что при приближении к нулю скорость падения сопротивления резко возрастает, линии пересекают ось времени практически вертикально.
2.5. Максимальному значению напряжения соответствует максимальное значение параметра \(p\), которое, как следует из проведенного анализа, равно \(p_{\max} = \dfrac{1}{4}\). Тогда из определения этого параметра \(p_{\max} = \dfrac{\alpha U_{0\max}^{2}}{4\beta R_0} = \dfrac{1}{4}\), находим, что \[U_{0\max} = \sqrt{\frac{\beta R_0}{\alpha}}. \qquad (21)\]
2.6. При уменьшении напряжения в 2 раза параметр \(p\) уменьшается в 4 раза, т.е. оказывается равным \(p = \dfrac{1}{16}\) (или \(0{,}0625\)). Для определения установившегося значения сопротивления необходимо решить уравнение \[\frac{p}{r} = 1 - r \ \Rightarrow\ r^{2} - r + p = 0, \qquad (22)\] и выбрать его больший корень, так как он является устойчивым. В соответствии с правилами представления точных и приближенных чисел имеем: при \(U_0 = U_{0\max}/2\), \(p = \dfrac{1}{16}\) (точно), тогда \[r = \frac{1 + \sqrt{1 - 4p}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}93. \qquad (23)\] при \(U_0 = 0{,}50\,U_{0\max}\), \(p = 0{,}0625\) и \[r = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}93. \qquad (24)\]
2.7. Зависимости сопротивлений терморезисторов от времени описываются полученной ранее системой уравнений (14). Фактически мы должны проанализировать возможные решения этих уравнений. Из полученного ранее уравнения (15) следует, что разность сопротивлений при любых их значениях стремится к нулю, поэтому все фазовые траектории стремятся к диагонали диаграммы \(r_1 = r_2\). Просуммируем уравнения (14), чтобы получить уравнение для суммы сопротивлений \[a\frac{\Delta(r_1 + r_2)}{\Delta\tau} = -\frac{4p}{(r_1 + r_2)} + \left(2 - (r_1 + r_2)\right).\] Ранее мы показали, что стационарные точки существуют только при \(p < \dfrac{1}{4}\) и нашли их значения (20). Нанесем их на фазовую диаграмму.
2.8. Как было показано ранее, точка с большим значением сопротивления является устойчивой, поэтому все фазовые траектории будут «уходить» в нее. Фазовая диаграмма при \(p = 0{,}20\) приведена на рисунке в Листах ответов (схематически).
2.9. При \(p = 0{,}3\) устойчивых точек нет, поэтому все фазовые траектории будут разбегаться.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2025/26, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.