зад 1 Почему у человека два глаза?
Традиционный ответ на поставленный вопрос — «Один запасной». К сожалению, он не совсем верный! Почему бы тогда не сделать два запасных?
Главная причина того, что природа снабдила нас двумя глазами, заключается в том, что два глаза дают возможность видеть не плоское изображение, а трехмерное, объемное! Так как изображения предметов, видимые разными глазами, различаются, то у мозга появляется возможность оценивать расстояние до различных наблюдаемых предметов.
Часть 1. Один глаз как фотоаппарат.
Человеческий глаз устроен сложнее, чем самый современный фотоаппарат. Однако глаз и фотоаппарат объединяет общая принципиальная оптическая схема. Имеется собирающая линза (объектив фотоаппарата и хрусталик глаза) и экран (светочувствительная матрица фотоаппарата и сетчатка глаза). Фотоаппарат позволяет получать четкое изображение предметов, находящихся на разных расстояниях, благодаря изменению расстояния между линзой и экраном; глаз — благодаря изменению фокусного расстояния хрусталика.
Рассмотрим, как формируется изображение на экране в упрощенной схеме, если расстояние между экраном и линзой, а также фокусное расстояние линзы, остаются неизменными.
На рис. 1 и 2 в Листах ответов показан ход лучей от точеного источника \(S_0\), проходящих через круглую линзу (с учетом ее размеров) и формирующих четкое изображение \(S_0'\) на экране. Там же показано положение другого точечного источника (\(S_1\) на рис. 1, \(S_2\) на рис. 2).
Постройте (на этих же рисунках) ход лучей от источников \(S_1\) на рис. 1 и \(S_2\) на рис. 2 до экрана.
Укажите, какую форму имеют «изображения» этих точек на экране.
Укажите, можно ли по размеру «изображения» точечного источника на экране однозначно оценить расстояние до источника. Ответ обоснуйте.
Часть 2. Два глаза: как определяется расстояние?
Рассматриваемый в этой части эффект Вы можете наблюдать прямо сейчас. Расположите линейку горизонтально на расстоянии порядка 1 м. Перед линейкой на некотором расстоянии вертикально расположите карандаш. Не сдвигая головы, посмотрите на линейку и карандаш сначала одним глазом, затем вторым. При этом положение карандаша относительно линейки смещается на заметное расстояние \(\Delta x\). Смотри рис. 3 в Листах ответов.
Пусть расстояние между глазами равно \(d = 7{,}0\) см, расстояние между глазами и линейкой равно \(L = 100\) см, наблюдаемое смещение карандаша при рассмотрении его разными глазами равно \(\Delta x = 3{,}0\) см.
Найдите, чему равно расстояние \(l\) между карандашом и линейкой.
Стереотруба — это военный оптический прибор (бинокль-перископ), состоящий из двух перископов, соединенных у окуляров и разведенных у объективов. Наблюдатель видит значительно усиленное стереоскопическое (объемное) изображение, что позволяет вести наблюдение из-за укрытия, изучать местность и корректировать артиллерийский огонь.
Пусть максимальное расстояние, на котором человек способен воспринимать трехмерное изображение равно \(l_{\max}\). Расстояние между глазами человека равно \(d\). Человек ведет наблюдение с помощью стереотрубы, у которой расстояние между объективами труб равно \(D\).
Определите, на каком максимальном расстоянии \(L_{\max}\) человек способен воспринимать трехмерное изображение с помощью этой стереотрубы.
Сделайте рисунок, поясняющий Ваше решение. Укажите, по каким характеристикам изображений в разных глазах, человек способен оценивать расстояние. Укажите, как эти характеристики зависят от положения рассматриваемого предмета.
Часть 3. Луна глазами великана.
Приведенная фотография сделан более 50 лет назад. Она называется «Луна глазами великана». Это стереоскопическое изображение Луны, как видимое двумя глазами некоего сверхбольшого человека. Каждое изображение есть изображения в разных глазах этого великана. На самом деле, это фотографии Луны, сделанные с одной точки на поверхности Земли, но в разные моменты времени. Утверждается, что Луна повернута к Земле всегда одной стороной. На самом же деле она слегка поворачивается, колеблется вокруг своей оси, поворачиваясь на малый угол. Но будем считать, что это действительно изображения Луны, видимые двумя глазами, находящимися на расстоянии \(d\) друг от друга.
Используя приведенные фотографии, рассчитайте расстояние \(d\) между «глазами великана».
Чтобы помочь Вам справиться с поставленной задачей на рисунке 3 в Листах ответов, эта фотография приведена в увеличенном масштабе. Над каждым изображением помещена шкала, в некоторых условных единицах. Вертикальными линиями отмечены некоторые характерные детали (кратеры, границы морей), находящиеся вблизи лунного экватора. В таблице приведены координаты \(x_0\), \(x_1\) этих деталей (для каждого изображения), снятые с фотографии — они были сняты с экрана монитора с точностью до одного пикселя. Воспользуйтесь всеми этими данными для наиболее точного решения задачи. В этой же таблице добавлены дополнительные пустые столбцы, для записи результатов Ваших расчетов.
Рекомендуем найти зависимость между приведенными координатами, построить некоторый линеаризованный график, по которому можно определить искомое расстояние. Ниже дан бланк, на котором Вы можете построить нужный Вам график. Не удивляйтесь, если Ваш график не окажется идеальным — заметные погрешности связаны с тем, что трудно на фотографиях точно выбрать границы выбранных деталей.
Расстояние от Земли до Луны считайте равным \(L = 3{,}0\cdot 10^{8}\) м, что по странному совпадению равно одной световой секунде.
Вам может понадобиться приближенная формула, справедливая при малых изменениях угла \(\delta\varphi\) (углы измеряются в радианах) \[\sin(\varphi + \delta\varphi) = \sin\varphi + \delta\varphi \cdot \cos\varphi .\]
▶ПодсказкаСкрыть
Угол поворота Луны и смещение точки съёмки связаны через расстояние до Луны: поворот на малый угол эквивалентен сдвигу точки съёмки. Осталось выразить координаты деталей через синус угла и построить линейный график по косинусу.
▶ОтветСкрыть
1.2) на рис. 1 и на рис. 2 — круглые (размытые) пятна; 1.3) нельзя, так как размер пятна одинаков при двух положениях источника; 2.1) \(l = L\dfrac{\Delta x}{d + \Delta x} = 30\) см; 2.2) \(L_{\max} = l_{\max}\dfrac{D}{d}\); 3.1) \(d = L\,\delta\varphi \approx 3\cdot 10^{5}\) м.
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
1.1. Построения хода лучей являются традиционными: сначала по известным положениям источника \(S_0\) и его изображения \(S_0'\) надо найти положение фокальной плоскости \(F\); затем построить изображение заданных источников; наконец, провести лучи, проходящие через край линзы. Эти построения показаны на рисунках.
1.2. В обоих случаях изображения являются круглыми пятнами, т.е. размытыми.
1.3. По размеру пятен однозначно определить расстояние до источника нельзя, так как размер пятен одинаков при двух положениях источника.
Часть 2.
2.1. Схема показывает, как происходит смещение изображения при смене положения глаза.
Из рисунка следует, что \[\frac{\Delta x}{l} = \frac{d}{L - l}. \qquad (1)\] Из этого выражения находим, что \[l = L\,\frac{\Delta x}{d + \Delta x} = 100\cdot\frac{3}{7 + 3} = 30\ \text{см}. \qquad (2)\]
2.2. Мозг человека оценивает расстояния по смещению изображения в разных глазах. Это смещение определяется изменением угла, указывающего направление на наблюдаемый объект. Существует некоторый минимальный угол \(\alpha_{\min}\), при котором смещение изображения четко фиксируется. Как следует из рисунка \(\alpha_{\min} = \dfrac{d}{l_{\max}} = \dfrac{D}{L_{\max}}\). Откуда следует, что \[L_{\max} = l_{\max}\,\frac{D}{d}. \qquad (3)\]
Часть 3.
3.1. Действительно, реальный поворот Луны на малый угол \(\delta\varphi\) равносилен смещению точки съемки на величину \(d = L\,\delta\varphi\). Это и будет расстоянием между «глазами». Таким образом, задача сводится к определению малого угла поворота Луны за время между съемками.
Положение произвольной точки \(A\) удобно задавать с помощью угла \(\varphi\), который отсчитывается от направления на наблюдателя. Тогда координата \(x\) этой точки определяется по формуле \[x = R\sin\varphi, \qquad (4)\] где \(R\) — радиус Луны. Так как радиус Луны значительно меньше расстояния до Земли, то можно считать, что все точки поверхности находятся на одинаковом расстоянии от фотоаппарата. Поэтому положения точек на Луне и соответствующих точек на изображении подобны, поэтому все данные можно снимать непосредственно с фотографий. Т.е. считать, что \(R\) — радиус изображения, равный 25 единицам.
После поворота Луны, угол \(\varphi\) увеличился на величину \(\delta\varphi\). Откуда следует, что \[x_0 = R\sin\varphi, \qquad x_1 = R\sin(\varphi + \delta\varphi). \qquad (5)\]
Из этих формул следует, что \[\frac{x_1 - x_0}{R} = \sin(\varphi + \delta\varphi) - \sin\varphi = \delta\varphi\cdot\cos\varphi, \qquad (6)\] где использована приведенная в условии приближенная формула. Значение косинуса можно найти по тригонометрической формуле \(\cos\varphi = \sqrt{1 - \sin^2\varphi}\). Таким образом, если построить график зависимости величины \(\dfrac{x_1 - x_0}{R}\) от \(\cos\varphi\), то коэффициент его наклона будет равен искомому углу поворота. Результаты расчетов приведены в таблице.
По этим данным построен график найденной зависимости.
По этому графику не сложно определить, что коэффициент наклона, т.е. угол поворота Луны равен \(\delta\varphi \approx 0{,}1\) (это примерно \(5^\circ\)). Окончательно находим, эквивалентное расстояние между глазами равно \[d = L\,\delta\varphi \approx 3\cdot 10^{5}\ \text{м}. \qquad (7)\]
Т.е. 30 тысяч километров!
В заключение заметим, что для реального человека это равносильно рассмотрению предмета двумя глазами на расстоянии примерно равном 70 см.
зад 2 Охлаждение ядерного реактора
Одной из серьезных проблем безопасной работы атомных электростанций является охлаждение ядерного реактора, поддержания внутри него постоянной температуры. Сбой в работе системы охлаждения стал одной из причин Катастрофы на Чернобыльской АЭС.
На Белорусской АЭС установлены ядерные реакторы ВВЭР120 (водо-водяной энергетический реактор, мощность 1200 МВт). В качестве носителя теплоты в данном реакторе используется вода. В задаче используются реальные параметры именно этого реактора. На фото показан этот реактор во время его установки.
В результате реакции деления урана в реакторе выделяется громадное количество теплоты, которую надо полностью «вывести» из реактора. Для этого используется вода, которая под большим давлением (около 150 атм) обтекает тепловыделяющие элементы реактора (ТВЭЛ), охлаждая их, благодаря чему в реакторе поддерживается постоянная температура. Эта нагретая вода поступает в парогенератор, разогревает воду во втором контуре, которая превращается в пар, который поступает на турбины и.т.
В данном задании, нас интересует процесс охлаждения тепловыделяющих элементов водой наиболее эффективным способом.
Справочные данные. Тепловая мощность реактора \(P = 3200\) МВт; удельная теплоемкость воды \(c = 4{,}2\cdot 10^{3}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{град}}\); плотность воды \(\rho = 1{,}0\cdot 10^{3}\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\); температура «холодной» воды на входе в реактор \(t_0 = 300\,^\circ\)C; температура горячей воды на выходе из реактора \(t_1 = 330\,^\circ\)C. Благодаря повышенному давлению вода не закипает. Рабочая температура поверхности ТВЭЛ \(T = 350\,^\circ\)C.
Часть 1. Сколько надо воды?
Рассчитайте, какой объем воды должен протекать через реактор за час, чтобы температура поверхности ТВЭЛ оставалась постоянной.
Часть 2. Как повысить эффективность охлаждения?
Проведем мысленный модельный эксперимент. Необходимо охладить горячий металлический брусок, начальная температура которого равна \(t_0 = 90\,^\circ\)C. Для этого в Вашем распоряжении имеется ограниченный объем холодной воды при температуре \(T = 10\,^\circ\)C.
Для упрощения расчетов примем, что теплоемкости имеющейся воды и бруска равны, т.е. \(c_1 m_1 = c_2 m_2 = C\). Потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь. Сначала рассмотрим очевидный, но не лучший способ охлаждения бруска.
Рассчитайте, на сколько градусов \(\delta t^*\) охладится брусок, если его погрузить во всю имеющуюся воду и дождаться установления теплового равновесия.
Теперь рассмотрим более эффективный способ теплопередачи. Поместим брусок в сосуд (теплоемкостью которого пренебрежем), а воду будем добавлять небольшими порциями, убирая каждую порцию из сосуда, после достижения теплового равновесия. Разобьем всю имеющуюся воду на \(N\) одинаковых порций: берем первую порцию, вливаем ее в сосуд с бруском, дожидаемся установления теплового равновесия, выливаем воду, добавляем следующую порцию и т.д. Обозначим температуру бруска после добавления порции номер \(n\) (и установления равновесия) \(t_n\), а разность между температурой бруска и температурой воды \(z_n = t_n - T\).
Выразите температуру бруска \(t_{n+1}\) после добавления \((n+1)\) порции, через температуру воды \(T\) и температуру \(t_n\).
Выразите разность температур \(z_{n+1}\) через \(z_n\).
Получите явное выражение для разности температур бруска и воды \(z_n\) через начальную разность \(z_0 = (t_0 - T)\) и число использованных порций воды \(n\).
Получите формулу, на сколько градусов охладится брусок \(\delta t_N = t_0 - t_N\) после использования всех \(N\) порций воды.
Рассчитайте численные значения изменения температуры бруска \(\delta t_N\) для \(N = 2, 4, 8, 16, 32\).
Оцените, на сколько градусов \(\delta t_{кон.}\) охладится брусок, если его очень медленно поливать имеющейся водой.
Часть 3. Охлаждение движущейся водой.
В предыдущей части было показано, что, разбивая охлаждающую жидкость, на малые порции можно повысить скорость охлаждения. Такой метод фактически используется при охлаждении ТВЭЛ ядерных реакторов — охлаждение осуществляется непрерывно движущейся водой. В рассматриваемом реакторе ВВЭР-1200 вода обтекает топливные элементы, запакованные в циркониевые трубки. Но, не меняя сущности протекающих процессов, будем считать, что вода протекает по трубам внутри активной зоны, как это было в реакторах более ранних конструкций. Для того, чтобы рассчитать, какое количество теплоты уносит вода, необходимо знать в каких пределах изменяется ее температура.
Рассмотрим передачу теплоты движущейся по трубе воде. Пусть вода движется по цилиндрической трубе радиуса \(r\) и длины \(l\) с постоянной скоростью \(v\). Температура окружающей среды постоянна и равна \(T\).
Для проведения расчетов мысленно разобьем трубу на \(N\) одинаковых участков длиной \(\Delta l = \dfrac{l}{N}\). Также будем считать, что вода движется скачками: в течение промежутка времени \(\tau\) она покоится, а затем скачком смещается на расстояние \(\Delta l\).
Найдите время между скачками \(\tau\) такое, чтобы средняя скорость при движении скачками была равна скорости движения воды \(v\).
Рассмотрим два соседних выделенных участка с номерами \(n\) и \((n+1)\). Обозначим \(t_n\) — начальную температуру порции воды на участке \(n\) (сразу после того, как эта порция переместилась в этот участок). Количество теплоты, которое поступает к воде на участке \(n\) за время \(\tau\), определяется законом Фурье \[q = \lambda\,(T - t_n)\,S\tau, \qquad (1)\] где \(\lambda\) — коэффициент теплопередачи, зависящий от материала трубы и толщины ее стенок, \(S\) — площадь боковой поверхности выбранного участка. Введем величину \(z_n = T - t_n\) — разность между температурой окружающей среды и температурой воды на участке номер \(n\).
Выразите значение \(z_{n+1}\) через \(z_n\), \(N\) и другие известные параметры рассматриваемой задачи. Представьте это выражение в виде \(z_{n+1} = \left(1 - \dfrac{1}{N}\dfrac{v^*}{v}\right) z_n\), где \(v^*\) — некоторая постоянная величина, имеющая размерность скорости.
Получите формулу для величины \(z_N\) (на выходе из трубы). Выразите ее через \(z_0\) (на входе в трубу), \(N\) и \(v^*\).
Рассчитайте численное значение величины \(v^*\) для используемых в реакторе труб.
Трубы изготовлены из циркониевого сплава, их длина \(l = 3{,}5\) м, диаметр \(d = 9{,}0\) мм (толщина стенок значительно меньше), коэффициент теплопередачи для них \(\lambda = 3{,}6\cdot 10^{4}\ \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{град}}\). Пусть скорость течения воды равна найденной величине \(v^*\), ее начальная температура равна \(t_0 = 300\,^\circ\)C, температура снаружи трубы равна \(T = 350\,^\circ\)C.
Рассчитайте при этих условиях температуру воды на выходе из трубы.
Укажите, чему примерно равна скорость течения воды, поступающей в реактор.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепловой баланс порции воды на участке дает рекуррентное соотношение для \(z_n\); при \(N\to\infty\) оно переходит в показательную зависимость. Для скорости \(v^*\) важна комбинация \(\lambda l/(c\rho r)\).
▶ОтветСкрыть
1.1) \(V = 24{,}8\) м\(^3\)/с \(= 8{,}6\cdot 10^{4}\) м\(^3\)/час; 2.1) \(\delta t^* = 40^\circ\); 2.2) \(t_{n+1} = \dfrac{t_n + T/N}{1 + 1/N}\); 2.3) \(z_{n+1} = \dfrac{z_n}{1 + 1/N}\); 2.4) \(z_n = \dfrac{z_0}{(1 + 1/N)^n}\); 2.5) \(\delta t_N = (t_0 - T)\left(1 - (1 + 1/N)^{-N}\right)\); 2.6) \(N = 2\): \(44{,}4^\circ\); \(N = 4\): \(47{,}2^\circ\); \(N = 8\): \(48{,}8^\circ\); \(N = 16\): \(49{,}7^\circ\); \(N = 32\): \(50{,}1^\circ\); 2.7) \(\delta t_{кон.} \approx 50^\circ\); 3.1) \(\tau = l/(vN)\); 3.2) \(z_{n+1} = \left(1 - \dfrac{v^*}{Nv}\right)z_n\); 3.3) \(z_N = \left(1 - \dfrac{v^*}{Nv}\right)^{N} z_0\); 3.4) \(v^* = \dfrac{2\lambda l}{cr\rho} = 14\) м/с; 3.5) \(t \approx 332^\circ\)C; 3.6) \(v \approx 14\) м/с.
▶РешениеСкрыть
1.1. Все количество теплоты, выделившее в реакторе, идет на нагревание воды в указанных температурных пределах. Поэтому уравнение теплового баланса в данном случае имеет вид \[P = c\rho V\,(t_1 - t_0), \qquad (1)\] где \(V\) — искомый объем воды, протекающий в единицу времени. Из этого уравнения находим и рассчитываем (с правильным учетом размерностей): \[V = \frac{P}{c\rho\,(t_1 - t_0)} = \frac{3{,}2\cdot 10^{9}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{с}}} {4{,}2\cdot 10^{3}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{град}}\cdot 1{,}0\cdot 10^{3}\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot(330 - 30)^\circ} = 24{,}8\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{с}} = 8{,}6\cdot 10^{4}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{час}}. \qquad (2)\]
2.1. При опускании бруска во всю воду, как следует из уравнения теплового баланса, конечная температура будет равна \[t^* = \frac{t_0 + T}{2}. \qquad (3)\] Следовательно, температура бруска уменьшится на \[\delta t^* = t_0 - \frac{t_0 + T}{2} = \frac{t_0 - T}{2} = 40^\circ. \qquad (4)\]
2.2. Запишем уравнение теплового баланса для бруска с температурой \(t_n\) и \((n+1)\) порцией воды \[\frac{C}{N}\,T + C\,t_n = \left(C + \frac{C}{N}\right)t_{n+1}. \qquad (5)\] из которого следует требуемая формула \[t_{n+1} = \frac{t_n + \dfrac{1}{N}\,T}{1 + \dfrac{1}{N}}. \qquad (6)\]
2.3. Получим выражение для разности температур бруска и воды: \[z_{n+1} = t_{n+1} - T = \frac{t_n + \dfrac{1}{N}T}{1 + \dfrac{1}{N}} - T = \frac{t_n - T}{1 + \dfrac{1}{N}} = \frac{z_n}{1 + \dfrac{1}{N}}. \qquad (7)\]
2.4. Из этой формулы следует, что величины \(z_n\) образуют геометрическую прогрессию. Поэтому можно записать \[z_n = \frac{z_0}{\left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^{n}}. \qquad (8)\]
2.5. Теперь можно найти, на сколько охладится брусок: \[\delta t_N = t_0 - t_N = t_0 - \left(z_N + T\right) = (t_0 - T)\left(1 - \left(1 + \frac{1}{N}\right)^{-N}\right). \qquad (9)\]
2.6. Результаты численных расчетов приводят к следующим результатам, которые приведены в небольшой табличке:
\(N = 1\): \(\delta t_N = 40{,}0^\circ\); \(N = 2\): \(44{,}4^\circ\); \(N = 4\): \(47{,}2^\circ\); \(N = 8\): \(48{,}8^\circ\); \(N = 16\): \(49{,}7^\circ\); \(N = 32\): \(50{,}1^\circ\).
2.7. Не трудно сообразить, что поливание водой соответствует переходу \(N \to \infty\) в формуле (9). Можно обратиться к искусственному интеллекту и спросить, чему равен предел \(\left(1 + \dfrac{1}{N}\right)^{N}\) (ответим: он равен числу \(e = 2{,}71828\ldots\)). Однако, можно обратить внимание, что конечная температура практически перестает расти, а нам достаточно получить только 2 значащие цифры, поэтому можно оценить, температуру бруска можно охладить на конечную температуру в \[\delta t_{кон.} \approx 50^\circ. \qquad (10)\]
3.1. Понятно, что \[\tau = \frac{\Delta l}{v} = \frac{l}{vN}. \qquad (11)\]
3.2. За время \(\tau\) вода получает порцию теплоты, равную \[q = \lambda\,(T - t_n)\cdot 2\pi r\,\Delta l\cdot\tau. \qquad (12)\] Эта теплота идет на нагревание воды, поэтому \[q = c\,\pi r^2\,\Delta l\cdot\rho\,(t_{n+1} - t_n). \qquad (13)\] Приравнивая эти выражения, получим \[q = c\,\pi r^2\Delta l\,\rho\,(t_{n+1} - t_n) = \lambda\,(T - t_n)\cdot 2\pi r\Delta l\,\tau \Rightarrow (t_{n+1} - t_n) = \frac{\lambda\cdot 2\pi r\Delta l\,\tau}{c\,\pi r^2\Delta l\,\rho}(T - t_n) = \frac{2\lambda\tau}{cr\rho}(T - t_n) = \frac{2\lambda l}{cr\rho\,Nv}\,(T - t_n). \qquad (14)\] Теперь учтем, что \((t_{n+1} - t_n) = z_n - z_{n+1}\), поэтому \[\left(z_n - z_{n+1}\right) = \frac{v^*}{Nv}\,z_n. \qquad (15)\] где обозначено \(\dfrac{2\lambda l}{cr\rho} = v^*\). В итоге получаем, \[z_{n+1} = \left(1 - \frac{v^*}{Nv}\right)z_n. \qquad (16)\]
3.3. Так как величины \(z_n\) образуют геометрическую прогрессию, то конечное значение равно \[z_N = \left(1 - \frac{v^*}{Nv}\right)^{N} z_0. \qquad (17)\]
3.4. Значение скорости \(v^*\) при заданных параметрах равно \[v^* = \frac{2\lambda l}{cr\rho} = 14\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \qquad (18)\]
3.5. При скорости течения \(v = v^*\) формула (16) дает \[z_N = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{N} z_0. \qquad (19)\] Как следует из предыдущего рассмотрения, провести расчет следует при больших \(N\) (например, \(N = 16\)). В результате получим \[T - \bar t = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{N}(T - t_0) = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{N}\cdot 50^\circ = 18^\circ. \qquad (20)\] Откуда находим, что температура воды на выходе равна \[\bar t = 350^\circ - 18^\circ = 332^\circ. \qquad (21)\]
3.6. Так полученное значение конечной температуры примерно равно реальной температуре на выходе из реактора, поэтому скорость течения воды, поступающей в реактор, примерно равна \[v^* = \frac{2\lambda l}{cr\rho} = 14\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \qquad (22)\]
зад 3 Жми на газ!
В данном задании рассматриваются некоторые вопросы, связанные с движением автомобилей.
В качестве примера рассматривается автомобиль Belgee X50 (Белджи X50) — компактный городской кроссовер, построенный на модульной платформе BMA совместно с инженерами Volvo. С августа 2023 года кроссовер белорусской сборки производится под собственным брендом Belgee.
При решении задачи вам могут понадобиться некоторые характеристики этого автомобиля:
размеры автомобиля: длина — 4330 мм; ширина — 1800 мм; высота — 1609 мм;
масса автомобиля (с водителем) \(m = 1{,}7\cdot 10^{3}\) кг;
колесная база (расстояние между осями колес) \(l = 2{,}6\) м;
центр масс автомобиля находится на высоте \(h = 0{,}80\) м над дорогой, на равном расстоянии от осей колес;
мощность двигателя \(P = 150\) л.с. \(\approx 110\) кВт;
коэффициент трения скольжения резины колес о дорогу \(\mu_0 = 0{,}80\).
Отметим, что коэффициенты трения существенно зависят от дорожного покрытия, износа колес, погоды. Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 9{,}8\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\).
Часть 1. Сопротивлением воздуха пренебрегаем!
Автомобиль начинает разгон из состояния покоя на горизонтальном участке дороги. Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь. В данном вопросе считайте, что все колеса автомобиля являются ведущими.
Рассчитайте минимальное время разгона автомобиля от состояния покоя до скорости \(v_0 = 100\ \dfrac{\text{км}}{\text{час}}\).
Автомобиль начинает разгоняться на горизонтальном участке дороги.
Рассчитайте максимальное ускорение автомобиля, если: а) ведущими являются задние колеса; б) ведущими являются передние колеса.
Часть 2. Какова сила сопротивления на самом деле?
В справочниках приводят формулу силы для лобового сопротивления воздуха, действующей на движущийся со скоростью \(v\) автомобиль \[F = \frac{1}{2}\,C_x\,\rho\,v^2 S, \qquad (2)\] где \(\rho = 1{,}3\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) — плотность воздуха, \(S\) — площадь лобового поперечного сечения автомобиля, \(C_x\) — безразмерный коэффициент лобового сопротивления автомобиля, зависящий от формы его корпуса.
Для проверки применимости этой формулы были проведенные тестовые испытания с автомобилем Белджи Х50. Автомобиль разогнали, после чего выключили двигатель и не включая тормозов дали возможность ему свободно двигаться по горизонтальной дороге. При этом измеряли скорость автомобиля через каждые 100 метров пути. Результаты измерений приведены в Таблице 1 Листов ответов. Там же приведен график полученной зависимости.
Используя данные испытаний, покажите, что формула (2) правильно описывает силу сопротивления воздуха, действующую на автомобиль.
Рассчитайте численные значения коэффициента трения качения \(\mu_1\) и коэффициента лобового сопротивления \(C_x\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для проверки формулы удобнее строить зависимость силы от квадрата скорости: по ней видно линейность. Ускорение на каждом стометровом участке оцените по разности квадратов скоростей; коэффициент трения качения и \(C_x\) получаются из отрезка и наклона прямой.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(t \approx 6{,}5\) с (при \(t_1 \approx 1{,}05\) с и \(t_2 \approx 5{,}44\) с); 1.2а) \(a_{\max 1} \approx 5{,}2\) м/с\(^2\); 1.2б) \(a_{\max 2} \approx 3{,}1\) м/с\(^2\); 2.1) график силы от квадрата скорости линеен, \(F \propto v^2\); 2.2) \(\mu_1 \approx 0{,}05\); \(C_x \approx 0{,}30\) (при \(k \approx 0{,}56\) кг/м, \(b \approx 840\) Н).
▶РешениеСкрыть
Часть 1.
1.1. Максимальное ускорение автомобиля определяется максимальной силой трения и равно \[a_{\max} = \mu_0 g = 7{,}84\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (1)\] Поэтому, на первый взгляд, кажется, что минимальное время разгона равно \[\tau = \frac{v_{\max}}{a_{\max}} = \frac{27{,}8\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{7{,}84\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 3{,}5\ \text{с}. \qquad (2)\] Однако необходимо проверить, хватает ли мощности автомобиля, чтобы все время обеспечивать максимальное ускорение. Представим мощность автомобиля в виде \[P = Fv = m a_{\max} v. \qquad (3)\] И рассчитаем, при какой скорости требуемая мощность достигает максимального значения \[v_1 = \frac{P}{m a_{\max}} = \frac{110\cdot 10^{3}\ \text{Вт}}{1{,}7\cdot 10^{3}\ \text{кг}\cdot 7{,}84\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 8{,}25\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 30\ \frac{\text{км}}{\text{час}}. \qquad (4)\] Таким образом, автомобиль может разгоняться с максимальным ускорением только до скорости \(v_1\). На этот участок разгона потребуется время \[t_1 = \frac{v_1}{a_{\max}} = \frac{P}{m(\mu_0 g)^2} = 1{,}05\ \text{с}. \qquad (5)\] Далее разгон автомобиля будет определяться максимальной мощностью автомобиля. При постоянной мощности время разгона может быть рассчитано из уравнения \[P t_2 = \frac{m v_0^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} \ \Rightarrow\ t_2 = \frac{m}{2P}\left(v_0^2 - v_1^2\right) = 5{,}44\ \text{с}. \qquad (6)\] Итого, минимальное время разгона при оптимальном управлении равно \[t = t_1 + t_2 = 6{,}5\ \text{с}. \qquad (7)\]
1.2. Если ведущими являются только одна пара колес, то силы реакции, действующие на передние и на задние колеса, будут различными, поэтому будут различаться и силы трения, что приведет к различным ускорениям автомобиля. Изобразим силы, действующие на автомобиль во время разгона.
Сила трения, разгоняющая автомобиль равна (индекс 1 — ведущие задние колеса, индекс 2 — ведущие передние колеса) \[F_{тр.1,2} = \mu_0 N_{1,2}. \qquad (1)\] Для расчета сил реакции запишем условие равенства вертикальных проекций сил \[N_1 + N_2 = mg. \qquad (2)\] Автомобиль практически не поворачивается вокруг горизонтальной оси. Поэтому сумма моментов сил, действующих на автомобиль равна нулю. Запишем это условие для оси, проходящей через центр масс автомобиля 1 \[F_{тр.1,2}\,h + N_2\frac{l}{2} - N_1\frac{l}{2} = 0. \qquad (3)\] Если ведущими являются задние колеса, то из формул (1) - (3) получаем \[\mu_0 N_1 h + (mg - N_1)\frac{l}{2} - N_1\frac{l}{2} = 0 \ \Rightarrow\ N_1 = \frac{mgl}{2\left(1 - \mu_0\dfrac{h}{l}\right)}. \qquad (4)\] В этом случае ускорение автомобиля равно \[a_{\max 1} = \frac{\mu_0 N_1}{m} = \frac{\mu_0 g l}{2\left(1 - \mu_0\dfrac{h}{l}\right)} = 5{,}2\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (5)\] Если ведущими являются передние колеса, то из (1) – (3) имеем \[\mu_0 N_2 h + N_2\frac{l}{2} - (mg - N_2)\frac{l}{2} = 0 \ \Rightarrow\ N_2 = \frac{mgl}{2\left(1 + \mu_0\dfrac{h}{l}\right)}. \qquad (6)\] В этом случае ускорение будет меньше \[a_{\max 2} = \frac{\mu_0 N_2}{m} = \frac{\mu_0 g l}{2\left(1 + \mu_0\dfrac{h}{l}\right)} = 3{,}1\ \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \qquad (7)\]
Часть 2.
2.1. Наиболее явным доказательством применимости предложенной формулы для силы сопротивления может служить график зависимости силы сопротивления от квадрата скорости. Такой график можно построить на основании имеющихся данных. Уравнение второго закона Ньютона при движении автомобиля в данном случае имеет вид \[ma = -\mu_1 mg - \frac{1}{2}C_x\rho S v^2. \qquad (8)\] Считая (в соответствии с подсказкой) движение на каждом стометровом участке равноускоренным, можно рассчитать среднее ускорение на участке от \(x_{k-1}\) до \(x_k\) по формуле \[a_k = \frac{v_k^2 - v_{k-1}^2}{2\Delta x}. \qquad (9)\] Для повышения точности следует также взять значение средней скорости на этом же участке \[\langle v\rangle_k = \frac{v_k + v_{k-1}}{2}. \qquad (10)\] Тем самым появляется возможность построения линейной зависимости (\(F = kv^2 + b\)): \[\left|m a_k\right| = \mu_1 mg + \frac{1}{2}C_x\rho S\langle v_k\rangle^2. \qquad (11)\] Результаты расчетов приведены в таблице.
График этой зависимости показан на рисунке. Линейность полученного графика однозначно доказывает, что сила сопротивления воздуха действительно пропорциональна квадрату скорости.
2.2. По графику легко найти коэффициент наклона прямой \(k \approx 0{,}56\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}}\) и ее сдвиг \(b \approx 840\,\text{Н}\). По этим значениям находим требуемые параметры \[b = \mu_1 mg \ \Rightarrow\ \mu_1 = \frac{b}{mg} = 0{,}05, \qquad k = \frac{1}{2}C_x\rho S \ \Rightarrow\ C_x = \frac{2k}{\rho S} = 0{,}30.\]
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2025/26, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.