зад 1 Канат равной с грузом массы при подъёме
Груз поднимают с некоторым ускорением, направленным вертикально вверх, прикладывая силу \(F = 40\) Н к привязанному к грузу массивному однородному канату. Масса груза равна массе каната. Найдите силу натяжения каната в его середине.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для системы «груз и весь канат» и для системы «груз и нижняя половина каната». Исключите ускорение.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{3}{4}F = 30\) Н.
▶РешениеСкрыть
Запишем уравнения движения для груза с канатом и для груза с нижней половиной каната: \(F - 2mg = 2ma\), \(T - \left(m + \dfrac{m}{2}\right)g = \left(m + \dfrac{m}{2}\right)a\). Отсюда сила натяжения \(T = \dfrac{3}{4}F = 30\) Н.
зад 2 Пробковый шар на полке: давление на стенку
В сосуде с водой закреплена полка, наклонённая к вертикальной стенке сосуда под углом \(\alpha\) (\(\tg\alpha = 3\)). Поверхности полки и стенок сосуда гладкие. Пробковый шар опирается на полку (см. рис.).
Объём шара \(V\), плотность воды \(\rho\), плотность пробки \(\rho/5\).
Найдите силу давления шара на стенку при неподвижном сосуде.
Найдите силу давления шара на стенку при движении сосуда с горизонтальным ускорением \(a = g/6\).
В обоих случаях шар находится полностью в воде.
▶ПодсказкаСкрыть
Учтите, что сила Архимеда направлена вертикально вверх и имеет горизонтальную составляющую при горизонтальном ускорении сосуда: \(F_{A2} = \rho V a\). Запишите уравнения движения шара в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.
▶ОтветСкрыть
1) \(N_1 = \dfrac{4}{15}\rho V g\); 2) \(N_2 = \dfrac{2}{5}\rho V g\).
▶РешениеСкрыть
1) \(N_1 = \dfrac{4}{15}\rho V g\).
2) Вертикальная и горизонтальная составляющие силы Архимеда \(F_{A1} = \rho V g\), \(F_{A2} = \rho V a\). Пусть \(N_2\) — сила давления стенки на шар, \(Q\) — сила давления полки на шар. Уравнения движения шара в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: \[F_{A2} + Q\cos\alpha - N_2 = \frac{1}{5}\rho V a, \qquad -\frac{1}{5}\rho V g + F_{A1} - Q\sin\alpha = 0.\] Отсюда \[N_2 = \frac{4}{5}\rho V\left(a + \frac{g}{\tg\alpha}\right) = \frac{2}{5}\rho V g.\] Замечание. Без учёта \(F_{A2}\) получается типичный неверный ответ \(N_{2\,\text{НЕВ}} = \dfrac{7}{30}\rho V g\).
зад 3 Гелий и кислород по разные стороны поршня
Поршень, который может двигаться в горизонтальном цилиндре без трения, делит его объём на две части. В одной части находится \(m_1 = 3\) г гелия, а в другой — \(m_2 = 8\) г кислорода. Температуры газов одинаковые. Какую часть объёма цилиндра занимает гелий? Молярные массы гелия и кислорода \(\mu_1 = 4\) г/моль, \(\mu_2 = 32\) г/моль.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{3}{4}\).
▶РешениеСкрыть
Запишем уравнения состояния для обоих газов: \(PV_1 = \dfrac{m_1}{\mu_1}RT\), \(PV_2 = \dfrac{m_2}{\mu_2}RT\). Тогда доля объёма, занятого гелием, \[x = \frac{V_1}{V_1 + V_2} = \frac{3}{4}.\]
зад 4 Теплообмен гелия через перегородку, поршень
Неподвижная теплопроводящая перегородка \(A\) делит объём теплоизолированного цилиндра на два отсека, в которых находится по \(\nu\) моль гелия. Во втором отсеке газ удерживается подвижным, теплоизолированным поршнем \(B\). Наружное атмосферное давление равно \(P_0\). В начальном состоянии температура гелия в первом отсеке равна \(T_1\), что больше температуры во втором отсеке. В результате медленного процесса теплообмена через перегородку температура в отсеках начинает выравниваться, а поршень перемещается. По окончании процесса теплообмена в отсеках устанавливается температура \(T_0\). Трением поршня о цилиндр, теплоёмкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь.
Найдите начальную температуру во втором отсеке.
Найдите изменение объёма гелия во втором отсеке.
▶ПодсказкаСкрыть
Количество теплоты, отданное гелием из первого отсека, равно полученному гелием из второго; во втором отсеке при перемещении поршня давление постоянно, поэтому теплоёмкость нужна при постоянном давлении.
▶ОтветСкрыть
1) \(T_2 = \dfrac{8}{5}T_0 - \dfrac{3}{5}T_1\); 2) \(\Delta V = \dfrac{3}{5}\,\dfrac{\nu R\left(T_1 - T_0\right)}{P_0}\).
▶РешениеСкрыть
1) Количество теплоты, отданное газом из первого отсека, равно количеству теплоты, полученной газом из второго отсека: \(\nu C_V\left(T_1 - T_0\right) = \nu C_P\left(T_0 - T_2\right)\). Здесь \(C_V = 3R/2\), \(C_P = C_V + R = 5R/2\) — молярные теплоёмкости гелия при постоянном объёме и постоянном давлении. Отсюда начальная температура во втором отсеке \(T_2 = \dfrac{8}{5}T_0 - \dfrac{3}{5}T_1\).
2) Пусть \(V\) — начальный объём во втором отсеке. Уравнения состояния вначале и в конце: \(P_0 V = \nu R T_2\), \(P_0\left(V + \Delta V\right) = \nu R T_0\). Отсюда с учётом полученного выражения для \(T_2\) находим \[\Delta V = \frac{3}{5}\,\frac{\nu R\left(T_1 - T_0\right)}{P_0}.\]
зад 5 Две заряженные проводящие пластины
Две проводящие пластины с положительными зарядами \(Q\) и \(6Q\) расположены параллельно и напротив друг друга (см. рис.). Площадь каждой пластины \(S\), размеры пластин велики по сравнению с расстоянием \(d\) между ними, и можно считать, что заряды распределены по каждой поверхности пластин равномерно.
Найти разность потенциалов правой и левой пластин.
Найти заряд на левой стороне правой пластины.
Найти силу отталкивания пластин.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле внутри проводящей пластины равно нулю; на каждой поверхности пластины заряд создаёт поле \(\dfrac{q}{2\varepsilon_0 S}\).
▶ОтветСкрыть
1) \(U = \dfrac{5Qd}{2\varepsilon_0 S}\); 2) \(q = \dfrac{5Q}{2}\); 3) \(F = \dfrac{3Q^2}{\varepsilon_0 S}\).
▶РешениеСкрыть
1) Напряжённость поля между пластинами \(E = \dfrac{5Q}{2\varepsilon_0 S}\). Разность потенциалов \(U = Ed = \dfrac{5Qd}{2\varepsilon_0 S}\).
2) Напряжённость поля внутри правой пластины равна нулю: \(\dfrac{q}{2\varepsilon_0 S} - \dfrac{6Q - q}{2\varepsilon_0 S} + \dfrac{Q}{2\varepsilon_0 S} = 0\). Отсюда заряд левой стороны правой пластины \(q = \dfrac{5Q}{2}\).
3) \(F = \dfrac{Q}{2\varepsilon_0 S}\cdot 6Q = \dfrac{3Q^2}{\varepsilon_0 S}\).
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2014/15, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.