Физтех, 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Удобно перейти в систему отсчёта бруска: там шарик до и после удара движется с одинаковой по модулю скоростью, а меняется только направление относительно грани.

Ответ

\(\dfrac{V}{u} = \dfrac{4}{3}\).

Решение

Скорость шарика относительно бруска до и после удара \(V - u\). После удара скорость шарика \(2u - V\). \[\frac{1}{2}m\left(2u - V\right)^2 = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}mV^2.\] Отсюда \(2u - V = \dfrac{1}{2}V\), и \(\dfrac{V}{u} = \dfrac{4}{3}\).

Подсказка

За каждое полуколебание амплитуда уменьшается на одну и ту же величину, равную удвоенной силе трения, делённой на жёсткость пружины. Брусок останавливается, когда сила упругости не может преодолеть наибольшую силу трения покоя.

Ответ

1) \(27\) см;  2) \(3\) см ниже точки \(O\).

Решение

1) Пусть брусок остановился первый раз по другую сторону от точки \(O\) на расстоянии \(A_1\) от неё. Из ЗСЭ можно показать, что \(A_0 - A_1 = 2\mu x_0\cos\alpha = 8\) см. Отсюда \(A_1 = A_0 - 2\mu x_0\cos\alpha = 27\) см.

2) Идут колебания с уменьшающейся амплитудой (расстояние до точки \(O\)). Из ЗСЭ можно показать, что при движении как вверх, так и вниз амплитуда уменьшается каждый раз на \(\Delta = 2\mu x_0\cos\alpha = 8\) см. Зона покоя \(x < \mu x_0\cos\alpha = 4\) см, где \(x\) — расстояние от точки \(O\). Если остановка в зоне покоя, то остановка навсегда. У нас \(A_0 = 35\), \(A_1 = 27\), \(A_2 = 19\), \(A_3 = 11\), \(A_4 = 3\) см. Совершено 4 полуколебания, остановка на 3 см ниже точки \(O\).

Подсказка

Прямая \(P(T)\), проходящая через начало координат, соответствует постоянному объёму. Работа в изобарном процессе равна \(P\,\Delta V = \nu R\,\Delta T\), а теплоёмкости одноатомного газа при постоянном объёме и давлении известны.

Ответ

1) \(A = 2\nu RT_1 \approx 3{,}74\) кДж;  2) \(\dfrac{Q_{12}}{|Q_{23}|} = \dfrac{10}{3}\).

Решение

Процесс 2-3 изохорический.

1) \(A = A_{12} = 2\nu RT_1 \approx 3{,}74\) кДж.

2) \[\frac{Q_{12}}{\left|Q_{23}\right|} = \frac{\nu C_P\left(T_2 - T_1\right)}{-\nu C_V\left(T_3 - T_2\right)} = \frac{10}{3}.\]

Подсказка

Пар в конечном состоянии насыщенный, поэтому его давление равно \(P_0\) независимо от объёма. Запишите закон Бойля—Мариотта для воздуха в обоих положениях цилиндра.

Ответ

1) \(V = 0{,}5\) л;  2) \(m_2 \approx 1{,}5\) г.

Решение

Пар в начальном и конечном состояниях насыщенный, его давление \(P_0\).

1) Для воздуха \(\left(P_0 + P\right)V_0 = \left(P_0 - P\right)\left(2V_0 - V\right)\). \(V = \dfrac{1}{2}V_0 = 0{,}5\) л.

2) Пусть \(m\) — масса пара вначале. \(P_0V_0 = \dfrac{m}{\mu}RT\), \(P_0V = \dfrac{m - \left(m_2 - m_1\right)}{\mu}RT\). Тогда \[m_2 = m_1 + \frac{P_0\left(V_0 - V\right)\mu}{RT} = m_1 + \frac{P_0V_0\mu}{2RT} \approx 1{,}2 + 0{,}3 = 1{,}5~\text{г}.\]

Подсказка

Для изохорического нагрева используйте первое начало термодинамики и теплоёмкость одноатомного газа при постоянном объёме. Работа при изотермическом расширении равна полученной теплоте, так как внутренняя энергия не меняется.

Ответ

1) \(T_2 \approx 380\) К;  2) \(A = 500\) Дж;  3) \(\eta \approx 0{,}07\).

Решение

Пусть процесс 1-2 — изотермическое расширение, а процесс 3-4 — изотермическое сжатие.

1) \(T_2 = T_1 + \dfrac{2Q_1}{3\nu R} \approx 380\) К.

2) \(A = A_{12} = Q_2 = 500\) Дж.

3) Можно показать, что для работ газа на изотермах \(\dfrac{A_{12}}{-A_{34}} = \dfrac{T_2}{T_1}\). \[\eta = \frac{A_{12} + A_{34}}{Q_1 + Q_2} = \frac{Q_2}{Q_1 + Q_2}\cdot\frac{T_2 - T_1}{T_2} \approx 0{,}07.\]