зад 1 Мяч бьют ногой и он отскакивает от стены
Мальчик бьёт ногой по мячу, который лежит на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии от вертикальной стены дома. Сразу после удара мяч полетел под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту, затем упруго ударился о стену дома на высоте \(H = 5\) м от поверхности земли и упал на землю на то же место, где лежал вначале.
Найти скорость мяча сразу после удара ногой.
Найти время \(t_0\) полёта мяча от момента удара ногой до падения на землю.
На каком расстоянии \(L\) от стены лежал мяч вначале?
Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Удар о стену происходит в верхней точке траектории мяча: там вертикальная составляющая скорости равна нулю. Используйте симметрию движения мяча относительно этой точки.
▶ОтветСкрыть
1) \(V = \dfrac{\sqrt{2gH}}{\sin\alpha} \approx 14\) м/с; 2) \(t_0 = \sqrt{\dfrac{8H}{g}} \approx 2\) с; 3) \(L = 10\) м.
▶РешениеСкрыть
При ударе скорость мяча горизонтальна, то есть мяч находится в верхней точке траектории.
1) \((V\sin\alpha)^2 = 2gH\). Отсюда \(V = \dfrac{\sqrt{2gH}}{\sin\alpha} \approx 14\) м/с.
2) \(H = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{t_0}{2}\right)^2\), откуда \(t_0 = \sqrt{\dfrac{8H}{g}} \approx 2\) с.
3) \(L = V\cos\alpha\cdot\dfrac{t_0}{2} = \dfrac{2H}{\operatorname{tg}\alpha} = 10\) м.
зад 2 Шарик и массивный брусок: упругий удар
Шарик, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с бруском, который движется по той же поверхности навстречу шарику. Грань бруска, о которую ударяется шарик, перпендикулярна вектору скорости шарика. Масса бруска много больше массы шарика. После упругого столкновения с бруском шарик движется с кинетической энергией, которая в 121 раз больше его кинетической энергии движения до столкновения. Найти отношение начальных скоростей движения шарика и бруска.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта бруска: при упругом ударе модуль скорости шарика относительно бруска сохраняется, меняется только её направление.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{V}{u} = \dfrac{1}{5}\), где \(V\) — скорость шарика, \(u\) — скорость бруска.
▶РешениеСкрыть
Скорость шарика относительно бруска до и после удара \(V+u\). После удара скорость шарика \(2u+V\). Из условия \[\frac{1}{2}m(2u+V)^2 = 121\cdot\frac{1}{2}mV^2,\] откуда \(2u+V = 11V\), и \[\frac{V}{u} = \frac{1}{5}.\]
зад 3 Два груза на нити через блок с начальной скоростью
Два груза массами \(m_1 = 49\) г и \(m_2 = 51\) г висят в поле тяжести на длинной нити, перекинутой через лёгкий блок, который может вращаться без трения. В начальный момент грузу \(m_1\) сообщается скорость \(V_0 = 20\) см/с, направленная вниз, а грузу \(m_2\) сообщается такая же скорость, направленная вверх.
Найти ускорение грузов.
Найти максимальное смещение груза \(m_1\) вниз.
Найти путь \(S\), пройденный грузом \(m_1\) через время \(\tau = 3\) с после начала его движения.
Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Грузы движутся с одинаковым по модулю ускорением, а сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока. Запишите второй закон Ньютона для каждого груза.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = 0{,}2\) м/с\(^2\); 2) \(x_1 = 0{,}1\) м; 3) \(S = 0{,}5\) м.
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\,g = 0{,}2\) м/с\(^2\).
2) \(x_1 = \dfrac{V_0^2}{2a} = 0{,}1\) м.
3) Координата груза в момент \(\tau\): \(x_2 = x(\tau) = V_0\tau - \dfrac{1}{2}a\tau^2 = -0{,}3\) м. Путь \(S = 2x_1 + |x_2| = 0{,}5\) м.
зад 4 Затухающие колебания бруска на пружине с сухим трением
На наклонённой под углом \(\alpha\) (\(\cos\alpha = 5/7\)) к горизонту поверхности лежит брусок, прикреплённый к упругой невесомой и достаточно длинной пружине (см. рис.). Коэффициент трения бруска о поверхность \(\mu = 7/30\). Брусок отклоняют вниз вдоль поверхности на расстояние \(A_0 = 32\) см от точки \(O\), соответствующей положению равновесия бруска при отсутствии трения. Затем брусок отпускают, и начинаются затухающие колебания. Если брусок подвесить на этой пружине, то она удлиняется на \(x_0 = 30\) см.
На каком расстоянии от точки \(O\) окажется брусок при первой остановке?
На каком расстоянии от точки \(O\) брусок остановится окончательно?
▶ПодсказкаСкрыть
Амплитуда колебаний уменьшается на одну и ту же величину при каждом полуколебании, потому что сила трения постоянна по модулю. Сравните изменение амплитуды с работой силы трения.
▶ОтветСкрыть
1) \(22\) см; 2) \(2\) см выше точки \(O\).
▶РешениеСкрыть
1) Пусть брусок остановился в первый раз по другую сторону от точки \(O\) на расстоянии \(A_1\) от неё. Из закона сохранения энергии можно показать, что \[A_0 - A_1 = 2\mu x_0\cos\alpha = 10~\text{см}.\] Отсюда \(A_1 = A_0 - 2\mu x_0\cos\alpha = 22\) см.
2) Идут колебания с уменьшающейся амплитудой (расстояние до точки \(O\)). Из закона сохранения энергии можно показать, что при движении как вверх, так и вниз амплитуда уменьшается каждый раз на \(\Delta = 2\mu x_0\cos\alpha = 10\) см. Зона покоя \(x < \mu x_0\cos\alpha = 5\) см, где \(x\) — расстояние от точки \(O\). Если остановка в зоне покоя, то остановка навсегда. У нас \(A_0 = 32\), \(A_1 = 22\), \(A_2 = 12\), \(A_3 = 2\) см. Совершено 3 полуколебания, остановка на 2 см выше точки \(O\).
зад 5 Четыре одинаковых резистора: собрать нужное сопротивление
Допустим, что в Вашем распоряжении есть четыре резистора с сопротивлением \(R = 15\) Ом каждый.
Как следует соединить эти резисторы, чтобы сопротивление полученной цепочки было равно \(R_0 = 5R/3\)? Ответ подкрепите схемой соединения и расчётом эквивалентного сопротивления.
Собранную по Вашей схеме цепочку подключают к источнику постоянного напряжения \(U = 75\) В. Какая наименьшая мощность \(P\) рассеивается на одном отдельно взятом резисторе? Сколько таких резисторов?
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите эквивалентное сопротивление группы из двух последовательных резисторов, затем подключите её параллельно третьему резистору.
▶ОтветСкрыть
1) два последовательно соединённых резистора параллельно третьему, и эта группа последовательно с четвёртым: \(R_{\text{экв}} = \dfrac{2R\cdot R}{3R} + R = \dfrac{5R}{3}\); 2) \(P = \dfrac{U^2}{25R} = 15\) Вт, таких 2 резистора.
▶РешениеСкрыть
1) Берём два последовательно соединённых резистора, эта группа соединяется с третьим параллельно, полученное соединение из трёх резисторов соединяется последовательно с четвёртым.
2) \(P = \dfrac{U^2}{25R} = 15\) Вт. Таких 2 резистора.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2016/17, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.