зад 1 Два груза на нити через блок с начальной скоростью
Два груза массами \(m_1 = 39\) г и \(m_2 = 41\) г висят в поле тяжести на длинной нити, перекинутой через лёгкий блок, который может вращаться без трения. В начальный момент грузу \(m_1\) сообщается скорость \(V_0 = 30\) см/с, направленная вниз, а грузу \(m_2\) сообщается такая же скорость, направленная вверх. Ускорение свободного падения считать равным \(10\) м/с\(^2\).
Найти ускорение грузов.
Найти максимальное смещение груза \(m_1\) вниз.
Найти путь \(S\), пройденный грузом \(m_1\) через время \(\tau = 2{,}5\) с после начала его движения.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите ускорение системы по второму закону Ньютона для обоих грузов. Дальше задача сводится к движению с постоянным ускорением: в точке остановки скорость равна нулю.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = 0{,}25\) м/с\(^2\); 2) \(x_1 = 0{,}18\) м; 3) \(S \approx 0{,}39\) м.
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}\,g = 0{,}25\) м/с\(^2\).
2) \(x_1 = \dfrac{V_0^2}{2a} = 0{,}18\) м.
3) Координата \(x_2 = x(\tau) = V_0\tau - \dfrac{a\tau^2}{2} \approx -0{,}03\) м. Путь \(S = 2x_1 + |x_2| \approx 0{,}39\) м.
зад 2 Упругий удар шарика о массивный брусок
Шарик, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, догоняет брусок, который движется в том же направлении по этой поверхности. Грань бруска, о которую ударяется шарик, перпендикулярна вектору скорости шарика. Масса бруска много больше массы шарика. После упругого столкновения шарик скользит в противоположном направлении с кинетической энергией, которая в \(9\) раз меньше его начальной кинетической энергии. Найти отношение начальных скоростей скольжения шарика и бруска.
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно перейти в систему отсчёта бруска: в ней при упругом ударе о неподвижную грань модуль скорости шарика не меняется. Как связаны скорости шарика в обеих системах?
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{V}{u} = 3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(V\) — скорость шарика, \(u\) — скорость бруска. Скорость шарика относительно бруска до удара \(V - u\), после удара \(V - 2u\). Из условия \[\frac{1}{2}m\left(V - 2u\right)^2 = \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2}mV^2 .\] Отсюда \(V - 2u = \dfrac{V}{3}\), и \(\dfrac{V}{u} = 3\).
зад 3 Груз на конце вращающегося каната
Груз массой \(m = 100\) г прикреплён к концу однородного каната массой \(3m\) и длиной \(l = 70\) см. Другой конец каната прикреплён к вертикальной оси. Канат и груз вращаются вокруг оси, скользя по гладкой горизонтальной поверхности. Частота вращения \(n = 1\) с\(^{-1}\). Размер груза много меньше длины каната.
Найти минимальную силу натяжения каната.
Во сколько раз максимальная сила натяжения каната больше минимальной?
▶ПодсказкаСкрыть
Натяжение в каждой точке каната создаёт центростремительное ускорение части каната, лежащей дальше от оси. Рассмотрите участок каната от данной точки до груза.
▶ОтветСкрыть
1) \(F_{\min} = m\omega^2 l \approx 2{,}8\) Н; 2) \(\dfrac{F_{\max}}{F_{\min}} = \dfrac{5}{2}\).
▶РешениеСкрыть
1) \(F_{\min} = m\omega^2 l = m\left(2\pi n\right)^2 l \approx 2{,}8\) Н.
2) По второму закону Ньютона \(F_{\max} - F_{\min} = M\omega^2\dfrac{l}{2}\), где \(M = 3m\). Отсюда \(\dfrac{F_{\max}}{F_{\min}} = 1 + \dfrac{M}{2m} = \dfrac{5}{2}\).
зад 4 Клин с блоком и двумя грузами на шероховатом столе
Клин массой \(M\) находится на шероховатой горизонтальной поверхности стола. Через блок, укреплённый на вершине клина, перекинута лёгкая нерастяжимая нить, связывающая грузы, массы которых \(m_1\) и \(m_2\) (см. рис.).
Грузы удерживают, затем отпускают. После этого грузы движутся, а клин покоится. Гладкая наклонная поверхность клина образует с горизонтальной плоскостью угол \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 0{,}8\)). Считайте \(M = 2m\), \(m_1 = m\), \(m_2 = 2m\). Массой блока и трением в его оси пренебречь.
Найдите ускорение грузов.
При каких значениях коэффициента \(\mu\) трения скольжения клина по столу клин будет оставаться в покое?
▶ПодсказкаСкрыть
Для клина запишите горизонтальные силы: сила трения со стороны стола должна уравновесить горизонтальную составляющую сил, действующих на клин со стороны груза \(m_1\) и нити.
▶ОтветСкрыть
1) \(a = 0{,}4\,g\); 2) \(\mu > \dfrac{6}{113} \approx 0{,}053\).
▶РешениеСкрыть
1) \(a = \dfrac{2 - \sin\alpha}{3}\,g = 0{,}4\,g\).
2) На клин со стороны стола действуют сила нормального давления \(N = \dfrac{113}{25}mg = 4{,}52\,mg\) и сила трения \(F_{тр} = ma\cos\alpha = \dfrac{6}{25}mg\). Клин покоится, если \(F_{тр} < \mu N\). Окончательно \(\mu > \dfrac{6}{113} \approx 0{,}053\).
зад 5 Четыре одинаковых резистора: собрать нужное сопротивление
Допустим, что в Вашем распоряжении есть четыре резистора с сопротивлением \(R = 30\) Ом каждый.
Как следует соединить эти резисторы, чтобы сопротивление полученной цепочки было равно \(R_0 = 3R/4\)? Ответ подкрепите схемой соединения и расчётом эквивалентного сопротивления.
Собранную по Вашей схеме цепочку подключают к источнику постоянного напряжения \(U = 90\) В. Какая наименьшая мощность \(P\) рассеивается на одном отдельно взятом резисторе? Сколько таких резисторов?
▶ПодсказкаСкрыть
Подберите группу из последовательно соединённых резисторов и сравните её сопротивление с сопротивлением оставшегося резистора при параллельном соединении.
▶ОтветСкрыть
1) три последовательно соединённых резистора параллельно четвёртому, \(R_0 = \dfrac{3}{4}R\); 2) \(P = 30\) Вт, таких резисторов 3.
▶РешениеСкрыть
1) Берём три последовательно соединённых резистора; эта группа соединяется параллельно с четвёртым. Эквивалентное сопротивление \(R_0 = \dfrac{3R\cdot R}{3R + R} = \dfrac{3}{4}R\).
2) Наименьшая мощность рассеивается на каждом резисторе последовательной группы: \(P = \dfrac{U^2}{9R} = 30\) Вт. Таких резисторов 3.
Источник: Олимпиада «Физтех» по физике, 2016/17, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.