ИОШ, 2019/20, заключительный этап, 9-10 класс

Подсказка

Для каждого элемента 2И-НЕ выпишите, когда на его выходе есть напряжение питания, а когда нуль. Выход одного элемента подаётся на вход другого, поэтому при \(Z1 = Z2 = 1\) выходы не определяются однозначно входными сигналами. Подумайте, от чего ещё может зависеть состояние схемы и что меняется при кратковременном сигнале.

Ответ

Таблица включений — см. решение. При \(Z1 = Z2 = 1\) светодиод может гореть или не гореть (зависит от предыстории). Кратковременная подача \(Z1 = 0\) гасит горящий светодиод, и он остаётся выключенным; кратковременная подача \(Z2 = 0\) горящий светодиод не гасит.

Решение

Рассмотрим четыре комбинации входных сигналов \(Z1\) и \(Z2\).

1 случай: \(Z1 = 0\) и \(Z2 = 0\). Согласно таблице истинности элемента 2И-НЕ на выходе нижнего логического элемента будет напряжение питания, независимо от второго входа этого элемента. Светодиод горит.

2 случай: \(Z1 = 1\) и \(Z2 = 0\). Аналогично, на выходе нижнего элемента будет напряжение питания, и светодиод горит.

3 случай: \(Z1 = 0\) и \(Z2 = 1\). На выходе верхнего элемента будет напряжение питания, независимо от второго входа. На оба входа нижнего элемента подаётся напряжение питания, следовательно, на его выходе нулевое напряжение. Светодиод не горит.

4 случай: \(Z1 = 1\) и \(Z2 = 1\). Предположим, что на выходе нижнего элемента есть напряжение питания, и проверим это предположение. Тогда на оба входа верхнего элемента подаётся напряжение питания, и на его выходе нулевое напряжение. Следовательно, на входы нижнего элемента подаются нулевое напряжение и напряжение питания, и на его выходе — напряжение питания. Предположение верно. Светодиод горит. Но точно так же можно доказать, что на выходе нижнего элемента может быть и нулевое напряжение: тогда на входах верхнего элемента напряжение питания и нуль, на его выходе — напряжение питания, на обоих входах нижнего элемента — напряжение питания, на выходе — нуль. Это предположение тоже непротиворечиво. Поэтому при \(Z1 = Z2 = 1\) возможны два режима работы: светодиод может гореть или не гореть. Какой из них реализуется, зависит от предыстории: если до подачи \(Z1 = Z2 = 1\) он горел, то он будет гореть и дальше, если не горел — не будет.

Рассмотрим кратковременные изменения сигналов. 1 случай: сигналы \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\), светодиод горит. При кратковременной подаче \(Z1 = 0\) (при неизменном \(Z2 = 1\)) по таблице включений светодиод потухнет и при возвращении сигналов к значениям \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\) останется выключенным.

2 случай: сигналы \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\), светодиод горит. При кратковременной подаче \(Z2 = 0\) (при неизменном \(Z1 = 1\)) светодиод останется гореть. Поэтому он останется гореть и при возвращении сигналов к значениям \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\).

3 случай: сигналы \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\), светодиод не горит. При кратковременной подаче \(Z1 = 1\) (при неизменном \(Z2 = 0\)) светодиод включится и при возвращении сигналов к значениям \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\) останется включённым.

4 случай: сигналы \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\), светодиод не горит. При кратковременной подаче \(Z2 = 1\) (при неизменном \(Z1 = 0\)) светодиод останется выключенным. Поэтому он останется выключенным и при возвращении сигналов к значениям \(Z1 = 1\), \(Z2 = 1\).

Подсказка

Оба шарика одинаково ускоряются и приходят к земле с одинаковой скоростью. Что происходит, когда нижний шарик отскакивает от земли и сталкивается с верхним? Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с нижним шариком.

Ответ

Легкий шарик от пинг-понга подпрыгнет на высоту \(9h\) (тяжелый каучуковый — практически на высоту \(h\)).

Решение

Шарики падают с одинаковым ускорением \(g\) и, следовательно, вместе достигают поверхности земли, имея одинаковые скорости. Так как между шариками есть небольшой зазор, произойдут два столкновения: сначала каучуковый шарик столкнётся с землёй, а потом каучуковый шарик и шарик от пинг-понга столкнутся между собой.

Скорости шариков до столкновения с землёй одинаковы и находятся из закона сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mgh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh} .\] После упругого столкновения с землёй каучуковый шарик меняет скорость на противоположную. Столкновение шариков происходит так: шарики с одинаковыми скоростями \(v\) движутся навстречу друг другу (рисунок а). Скорость лёгкого шарика после столкновения удобно найти в системе отсчёта, связанной с нижним шариком. В ней нижний шарик покоится, а верхний движется навстречу со скоростью \(2v\) (рисунок б). Так как масса нижнего шарика много больше массы верхнего, после столкновения нижний остаётся на месте, верхний меняет скорость на противоположную. В системе отсчёта, движущейся относительно земли вверх со скоростью \(v\), верхний шарик имеет скорость \(2v\), а нижний покоится (рисунок в). Поэтому в системе земли нижний шарик имеет скорость \(v\), направленную вверх, а верхний — скорость \(3v\), направленную вверх.

Применяя закон сохранения энергии к подъёму шариков с начальной скоростью \(V\), получаем высоту \(H = \dfrac{V^2}{2g}\). Значит, нижний (тяжелый) шарик подпрыгнет практически на ту же высоту \(h\), с которой шарики падали, а верхний (легкий) — на высоту \(H = \dfrac{(3v)^2}{2g} = 9h\).

Подсказка

Скорость центра каждого колеса равна скорости рычага в той точке, где находится его центр. Скорость точки обода колеса, касающейся соседнего, складывается из скорости центра и скорости вращения колеса относительно рычага.

Ответ

\(\omega_6 = 2\omega\) (колесо вращается в ту же сторону, что и рычаг, с угловой скоростью \(2\omega\) относительно земли).

Решение

Пусть рычаг с радиусами колёс \(r\) вращается с угловой скоростью \(\omega\). Линейная скорость центра колеса 2 равна скорости рычага в его точке \(v_2 = 2r\omega\); колесо 1 неподвижно. Точка обода колеса 2, касающаяся колеса 1, имеет скорость, равную нулю. Отсюда угловая скорость второго колеса \(\omega_2 = 2\omega\).

Линейная скорость точки второго колеса, контактирующей с третьим колесом, \[v_{23} = v_2 + \omega_2 r = 2r\omega + 2\omega r = 4r\omega .\] Скорость центра третьего колеса \(v_3 = 4r\omega\) равна скорости рычага в этой точке. Центр третьего колеса и его точка, касающаяся второго, имеют одинаковые скорости, поэтому третье колесо не вращается относительно своего центра: \(\omega_3 = 0\). Тогда точка четвёртого колеса, касающаяся третьего, имеет скорость \(4r\omega\). Скорость центра четвёртого колеса \(v_4 = 6r\omega\) (скорость рычага в этой точке), и \(6r\omega - \omega_4 r = 4r\omega\), откуда \(\omega_4 = 2\omega\).

Далее цепочка повторяется: нечётные колёса не вращаются вокруг своих осей, чётные вращаются с угловой скоростью \(2\omega\). Для шестого колеса \(\omega_6 = 2\omega\).

Подсказка

Каждая лампочка должна быть подключена к сети без последовательно включённых элементов, а лампы, работающие от одного выключателя, соединяются параллельно друг другу.

Решение

Схема включения люстры приведена на рисунке.

Подсказка

Выпишите силы, действующие на один из нижних шаров, и рассмотрите условие равновесия моментов относительно точки касания шара с поверхностью.

Ответ

Минимального коэффициента трения нет: шары раскатываются при любом сколь угодно малом трении.

Решение

Рассмотрим один из нижних шаров. На него действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила со стороны верхнего шара \(\vec N\), сила реакции пола \(\vec N_1\) и сила трения со стороны пола \(\vec F_{тр}\), мешающая шарам разъезжаться (см. рисунок).

Рассмотрим условие моментов относительно точки касания шара и пола. Сила тяжести, сила реакции и сила трения имеют нулевые плечи относительно этой точки, а сила \(\vec N\) — ненулевое. Поэтому условие моментов относительно этой точки не может быть выполнено, и шары не могут быть в равновесии. Это значит, что при любом сколь угодно малом трении шары будут раскатываться.

Подсказка

Осколки, застрявшие в колоколе, передают ему импульс, а суммарный импульс всех осколков равен нулю. Значит, колокол получает импульс от тех осколков, которые улетают в землю.

Ответ

\(H = \dfrac{mER^4}{16\,g\,M^2\left(R^2+h^2\right)^2}\).

Решение

Осколки, застревающие в колоколе, передают ему свой импульс. Если бы колокол окружал заряд со всех сторон, то суммарный импульс осколков был бы равен нулю и колокол не двигался бы. Движение колокола связано с тем, что часть осколков попадает в землю и не передаёт колоколу свой импульс. По закону сохранения импульса импульс осколков, попадающих в колокол, равен импульсу осколков, попадающих в землю. Найдём последний.

В землю попадут все осколки, движущиеся после взрыва в конусе, опирающемся на основание колокола, с вершиной в точке взрыва.

Пусть при взрыве образовалось \(N \gg 1\) осколков. Суммарная энергия осколков \(E\), поэтому скорость каждого осколка (масса осколка \(m_1 = m/N\)) \[v = \sqrt{\frac{2E}{m}} .\] Осколки, движущиеся внутри бесконечно узкого конуса с углом раствора \(\Delta\alpha\), расположенного под углом \(\alpha\) к вертикали, составляют долю \(\Delta S/(4\pi r^2)\) от полного числа осколков, где \(\Delta S\) — площадь основания конуса, \(r\) — его высота. Импульс этих осколков \[\Delta p = \frac{\Delta S}{4\pi r^2}\, N m_1 v = \frac{\Delta S}{4\pi r^2}\sqrt{2mE} .\] Суммарный импульс этих осколков направлен вертикально вниз. Импульс осколков, попавших в землю, равен \[P = \sum \Delta p \cos\alpha = \sum \frac{\Delta S\cos\alpha}{4\pi r^2}\sqrt{2mE} .\] Величина \(\Delta S\cos\alpha\) равна проекции площади основания конуса на поверхность земли, поэтому сумма \(\sum \dfrac{\Delta S\cos\alpha}{4\pi r^2} = \dfrac{R^2}{4\left(R^2+h^2\right)}\). Отсюда суммарный импульс осколков, ушедших в землю, \[P = \frac{R^2\sqrt{2mE}}{4\left(R^2+h^2\right)} .\] Такой же импульс, направленный вверх, получит колокол, и его скорость сразу после взрыва \[V = \frac{P}{M} = \frac{R^2\sqrt{2mE}}{4M\left(R^2+h^2\right)} .\] (Массой осколков, застрявших в колоколе, пренебрегаем.) Высоту подъёма колокола найдём по закону сохранения энергии \(H = \dfrac{V^2}{2g}\): \[H = \frac{mER^4}{16\,g\,M^2\left(R^2+h^2\right)^2} .\]