ИОШ, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Сколько верёвки размотается за 1 минуту при скорости 1 узел? Сравните с длиной верёвки, которая размоталась бы за час.

Ответ

1) \(l = \dfrac{1852}{60} \approx 30{,}87\) м;  2) \(12\) узлов \(= 22{,}2\) км/ч;  3) \(40\) км/ч \(= 21{,}6\) узла.

Решение

Пусть корабль движется со скоростью 1 узел — 1 морская миля в час. Тогда за час размоталась бы верёвка длиной 1852 м. А за 1 минуту — время измерения скорости корабля — в 60 раз меньше. Значит, за 1 минуту размотается верёвка длиной \[l = \dfrac{1852}{60} = 30{,}87~\text{м}.\] Найдём скорость 12 узлов в километрах в час. Имеем \[v = 12~\text{узлов} = 12 \cdot 1{,}852~\text{км/ч} = 22{,}2~\text{км/ч}.\] Обратный пересчёт: \[v = 40~\text{км/ч} = \dfrac{40}{1{,}852}~\text{узлов} = 21{,}6~\text{узла}.\]

Подсказка

Нагреватель тратит мощность на испарение воды и на нагрев возвращающейся воды. Сколько массы в единицу времени уходит из котла?

Ответ

\(t = \dfrac{M\left(L + c\eta(t_{\text{к}} - t_0)\right)}{2(1-\eta)P} \approx 26\,192\) с \(\approx 7\) ч \(16{,}5\) мин.

Решение

За время \(\Delta t\) нагреватель выделяет количество теплоты \(\Delta Q = P\Delta t\). Поскольку котёл работает в стационарном режиме, это тепло должно быть потрачено на испарение определённой массы воды и нагрев её \(\eta = 0{,}95\)-ой части от температуры \(t_0 = 20^\circ\)C до температуры кипения воды при атмосферном давлении, то есть до \(t_{\text{к}} = 100^\circ\)C. Отсюда находим \[P\Delta t = L\Delta m + c\eta\Delta m\,(t_{\text{к}} - t_0).\] Здесь \(L\) — удельная теплота парообразования воды, \(c\) — удельная теплоёмкость воды. Отсюда находим скорость испарения воды: \[\dfrac{\Delta m}{\Delta t} = \dfrac{P}{L + c\eta\,(t_{\text{к}} - t_0)}.\] А поскольку теряется \((1 - \eta)\)-ая часть воды, то скорость потери воды в котле есть \[V_{\text{пот}} = \dfrac{(1-\eta)\,\Delta m}{\Delta t} = \dfrac{(1-\eta)P}{L + c\eta\,(t_{\text{к}} - t_0)}.\] Поэтому в котле пропадёт половина первоначальной массы воды за время \[t = \dfrac{M}{2V_{\text{пот}}} = \dfrac{M\left(L + c\eta\,(t_{\text{к}} - t_0)\right)}{2(1-\eta)P} = 26192~\text{с} = 436{,}5~\text{мин} = 7~\text{ч}\ 16{,}5~\text{мин}.\]

Подсказка

Что происходит с объёмом ртути при нагревании и при охлаждении? Что мешает ртути вернуться назад через узкое место у колбы?

Ответ

(1) Ответственно узкое сужение трубки у резервуара с ртутью: при охлаждении давление не развивается, и ртуть не может пройти сужение обратно. (2) Чтобы сохранить максимальные результаты измерений после того, как термометр вынут. (3) Благодаря инерции ртуть при встряхивании проходит сужение обратно в колбу.

Решение

(1) Медицинский термометр должен измерять температуру человеческого тела с точностью до десятых долей градуса — иначе он не будет выполнять свою диагностическую функцию. С другой стороны, при вытаскивании термометра из подмышки он сразу начинает охлаждаться, и охлаждается на десятые доли градуса очень быстро. Поэтому если бы ртуть в термометре могла двигаться вниз по трубочке термометра при его охлаждении, мы получали бы очень неточные результаты измерений.

(2) Поэтому в медицинских термометрах разработана система сохранения максимальных результатов измерений. В трубочке термометра около её начала вблизи резервуара с ртутью сделано сужение. При нагревании ртути она под давлением, вызванным её расширением, легко проходит это сужение. А вот обратно пройти не может, поскольку при её охлаждении никакого давления не развивается. Поэтому столбик ртути в месте сужения разрывается, и ртуть в трубочке остаётся на том же месте, где она была при максимальном нагреве.

(3) Чтобы сделать термометр способным снова измерять температуру, нужно его «встряхнуть» — начать быстро двигать, а потом остановить. Благодаря инерции ртуть проходит в колбу, и термометр снова готов к работе.

Подсказка

Мальчик видит изображение точки, если луч от неё, отражённый от зеркала, попадает ему в глаза. Постройте изображения глаз и ног в плоском зеркале и найдите, при каком положении мальчика это возможно.

Ответ

(а) \(d = h\,\operatorname{tg}\alpha\);  (б) \(s = h\,\operatorname{ctg}(180^\circ - 2\alpha) = -h\,\operatorname{ctg}2\alpha\) при \(\alpha > 45^\circ\).

Решение

Чтобы мальчик увидел изображение своих глаз, он должен иметь возможность смотреть на зеркало перпендикулярно зеркалу. Поэтому при приближении к зеркалу он впервые увидит изображение своих глаз, когда окажется на таком расстоянии от зеркала, когда увидит самую нижнюю точку зеркала (точку \(A\)), глядя на неё под прямым углом к плоскости зеркала. Поэтому в прямоугольном треугольнике \(H\Gamma A\) угол \(\Gamma AH\) равен \(90^\circ - \alpha\). И, следовательно, мальчик будет находиться на расстоянии \[d = h\,\operatorname{tg}\alpha\] от нижнего края зеркала.

Чтобы увидеть своё изображение целиком, мальчик должен увидеть изображение и изображение глаз, и изображение ног. Изображение глаз он будет видеть, находясь на любом расстоянии, более близком, чем \(d\). А вот чтобы увидеть изображение ног, он должен располагаться так, чтобы луч, идущий от ног и отразившийся от края зеркала, попал к нему в глаза. Отсюда из закона отражения находим, что угол между падающим от ног на край зеркала лучом \(HA\) и отражённым \(A\Gamma\) равен \(180^\circ - 2\alpha\) (изображение мальчика \(H\Gamma'\), зеркало размещено более круто, чем на предыдущем рисунке, для которого мальчик никогда не увидит изображение своих ног). При этом угол \(HA\Gamma\) должен обязательно быть острым, иначе мальчик никогда не увидит изображение своих ног. Поэтому минимальное расстояние от мальчика до нижнего края зеркала, при котором он увидит целиком своё изображение, есть \[s = h\,\operatorname{ctg}\left(180^\circ - 2\alpha\right) = -h\,\operatorname{ctg}2\alpha, \qquad \alpha > 45^\circ.\]

Подсказка

Энергия разряда равна произведению напряжения, силы тока и времени разряда. Переведите её в киловатт-часы, чтобы сравнить с тарифом.

Ответ

1) \(T = \dfrac{UI\tau}{P} = 10^7\) с \(\approx 4\) мес;  2) \(n \approx 28\,000\) руб.

Решение

По закону Джоуля–Ленца находим мощность, а затем и полную энергию, выделившуюся при ударе молнии: \[W = UI\tau = 2 \cdot 10^8~\text{В} \cdot 5 \cdot 10^4~\text{А} \cdot 2 \cdot 10^{-3}~\text{с} = 2 \cdot 10^{10}~\text{Дж}.\] Этой энергии хватит для электроснабжения дома в течение времени \[T = \dfrac{W}{P} = \dfrac{2 \cdot 10^{10}~\text{Дж}}{2000~\text{Вт}} = 10^7~\text{с} = \dfrac{10^7}{3600 \cdot 24 \cdot 30}~\text{мес} \approx 4~\text{мес}.\] Таким образом, энергии, выделившейся при ударе рассматриваемой молнии, хватило бы на 4 месяца электроснабжения дома. «Цена» молнии составляет \[n = \dfrac{UI\tau}{1000~\text{Вт} \cdot 3600~\text{с}} \cdot 5~\dfrac{\text{руб}}{\text{кВт}\cdot\text{ч}} = \dfrac{2 \cdot 10^8 \cdot 5 \cdot 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{1000 \cdot 3600} \cdot 5~\text{руб} \approx 28\,000~\text{руб}.\]

Подсказка

Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с одним из тел, и подсчитать, какой длины кусок верёвки проходит через блоки за время \(\Delta t\).

Ответ

\(v\), направлена вверх.

Решение

Перейдём в систему отсчёта, связанную с телом 2, которое движется со скоростью \(v\) вверх относительно земли. В ней это тело покоится, тело 1 движется вниз со скоростью \(2v\), тело 3 движется вверх со скоростью \(v\). Поэтому за интервал времени \(\Delta t\) тело 1 вытянет кусок верёвки длиной \(2v\Delta t\), тело 3 освободит кусок верёвки длиной \(2v\Delta t\). Поэтому в рассматриваемой системе отсчёта скорость тела 4 равна нулю. А значит, в системе отсчёта, связанной с землёй, тело 4 будет двигаться вверх со скоростью \(v\).