Курчатов, 2015/16, заключительный этап, 8 класс

Сравните, на сколько изменилось показание весов: вес ведра вырос на силу Архимеда и уменьшился на вес вылившейся воды. Сила Архимеда равна весу вытесненной воды.

\(0{,}5~\text{кг}\).

Масса воды, вытесненной кирпичом, равна \(5~\text{см}\cdot10~\text{см}\cdot20~\text{см}\cdot1000~\text{кг/м}^3 = 1~\text{кг}\). При опускании кирпича в воду вес ведра увеличится на величину силы Архимеда, действующей на кирпич, и уменьшится на величину веса вылившейся воды. Значит, масса вылившейся воды равна \(9{,}5~\text{кг} + 1~\text{кг} - 10~\text{кг} = 0{,}5~\text{кг}\).

Запишите условие равновесия груза и стержня и правило моментов. Помните, что подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза.

\(T_{AB} = 37{,}5~\text{Н}\).

Пусть искомая сила натяжения равна \(T_1\), а сила натяжения нити, прикреплённой к стержню в точке \(D\), равна \(T_2\). Поскольку подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, сила натяжения нити, прикреплённой к стержню в точке \(E\), будет равна \(2T_2\). Из условия равновесия груза следует, что сила натяжения нити, которой груз прикреплён к стержню, равна \(mg\). Запишем условие равновесия стержня: \[T_1 + 3T_2 = mg.\] Запишем правило моментов для стержня относительно точки \(C\): \[T_1\frac{l}{3} = T_2\frac{l}{3} + 2T_2\frac{2l}{3} \implies T_2 = \frac{T_1}{5},\] где \(l\) — длина стержня. Подставив полученное выражение для \(T_2\) в условие равновесия стержня, получим \[T_1 = \frac{5}{8}\,mg = 37{,}5~\text{Н}.\]

Сначала найдите расстояние между станциями по их названиям. Затем рассмотрите крайние случаи: каждые часы могут спешить или отставать не более чем на одну минуту.

От \(70~\text{км/ч}\) до \(90~\text{км/ч}\).

Расстояние между станциями, как следует из их названий, равно \(s = 603~\text{км} - 582~\text{км} = 21~\text{км}\). Наименьшее значение скорости поезда получится, если часы первого наблюдателя спешат, а часы второго опаздывают на 1 минуту. Тогда время движения поезда от первой станции до второй равно \(t_1 = 15~\text{ч}\,49~\text{мин} - 15~\text{ч}\,31~\text{мин} = 18~\text{мин}\). Минимальное возможное значение скорости \[v_1 = \frac{s}{t_1} = 70~\text{км/ч}.\] Наибольшее значение скорости поезда получится, если часы первого наблюдателя опаздывают, а часы второго спешат на 1 минуту. Тогда время движения поезда от первой станции до второй равно \(t_2 = 15~\text{ч}\,47~\text{мин} - 15~\text{ч}\,33~\text{мин} = 14~\text{мин}\). Максимальное возможное значение скорости \[v_2 = \frac{s}{t_2} = 90~\text{км/ч}.\]

Обозначьте сопротивление одного куска через \(R\), а отношение сопротивлений второго к первому через \(x\). Сопоставьте последовательное и параллельное соединения.

Отношение длин равно \(4\) или \(\dfrac{1}{4}\) (в зависимости от того, какой кусок длиннее).

Пусть сопротивление первого куска равно \(R\), а второго — \(xR\). Сопротивление последовательно соединённых кусков равно \[R + xR = (1 + x)R,\] а сопротивление при параллельном соединении равно \[\frac{R\cdot xR}{R + xR} = \frac{x}{1 + x}\,R.\] По условию \[(1 + x)R = 6{,}25\cdot\frac{x}{1 + x}\,R \implies x^2 - 4{,}25x + 1 = 0.\] Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{1}{4}\). То есть сопротивление одного куска в 4 раза больше сопротивления второго. У кусков проволоки одинакового сечения из одного и того же материала отношение сопротивлений равно отношению длин, поэтому длина одного куска в 4 раза больше длины другого.

Какая часть тепловой мощности реактора уходит в охлаждающую воду, если двигатель отдаёт в работу долю, равную КПД? Запишите уравнение теплового баланса за одну секунду.

\(1{,}6\cdot10^3~\text{кг/с}\).

Система охлаждения за 1 с должна отводить количество теплоты, равное \[(1 - 0{,}4)\cdot0{,}4~\text{ГВт}\cdot1~\text{с} = 240~\text{МДж},\] для этого потребуется вода массой \[\frac{240~\text{МДж}}{4{,}2~\dfrac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot(40~{}^\circ\text{C} - 4~{}^\circ\text{C})} = 1{,}6\cdot10^3~\text{кг}.\] Значит, минимальный расход воды равен \(1{,}6\cdot10^3~\text{кг/с}\).