Курчатов, 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Запишите массовую долю через массы воды и этанола, а сжатие — как связь суммы объемов с объемом раствора. Объем каждой жидкости выражается через массу и плотность.

Ответ

\(V_1 = 532\text{ см}^3\);  \(V_2 = 532\text{ см}^3\).

Решение

Выразим массовую долю этанола через массу воды \(m_1\) и массу этанола \(m_2\): \[\frac{m_2}{m_1 + m_2} = 0{,}441 \quad\Rightarrow\quad m_2 = 0{,}789\,m_1.\] Запишем условие сжатия: \[(V_1 + V_2)\cdot\frac{100 - \gamma}{100} = V \quad\Rightarrow\quad \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = 1{,}064\,V.\] Подставляя отношение масс жидкостей из первого уравнения во второе, выразим массу и объем воды: \[m_1 = \frac{1{,}064\,V\rho_1\rho_2}{0{,}789\,\rho_1 + \rho_2} \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{1{,}064\,V\rho_2}{0{,}789\,\rho_1 + \rho_2} = 532\text{ см}^3.\] Аналогично находим результат для объема этанола: \(V_2 = 532\text{ см}^3\).

Подсказка

Вспомните, какими двумя способами можно соединить три резистора между тремя выводами. Подумайте, где амперметр не закоротит и не отключит резистор, и сравните токи в разных парах выводов.

Ответ

Соединение резисторов треугольником, амперметр в стороне \(BC\);  \(R_{AB} = 1\text{ Ом}\), \(R_{AC} = 4\text{ Ом}\), \(R_{BC} = 2\text{ Ом}\).

Решение

Резисторы могут быть соединены либо в форме звезды, либо в форме треугольника. Амперметр нельзя подключать непосредственно между выходными клеммами, потому что тогда он перегорит после подачи напряжения на соответствующую пару проводов. Он также не может быть подключен параллельно ни с одним из резисторов, потому что тогда ток никогда не будет проходить через соответствующий резистор. Поэтому амперметр и резистор должны быть подключены последовательно.

В случае соединения в форме звезды амперметр, находящийся на одном луче, не будет показывать ток, если напряжение приложено к двум другим лучам звезды. Таким образом, в черном ящике может быть соединение только в форме треугольника.

Амперметр может находиться только на стороне \(BC\) треугольника. Так как в таком случае, если напряжение приложено к выводам \(A\) и \(C\) или \(A\) и \(B\), то к амперметру последовательно присоединяются два резистора, то есть суммарное сопротивление на этом участке больше, а тогда ток по нему течет меньше, тогда как по условию \(I_{BC}\) имеет наибольшее значение.

Верная схема изображена на рисунке.

Найдём значение сопротивления на стороне \(BC\) треугольного соединения: \(R_{BC} = U/I_{BC} = 2\text{ Ом}\).

Когда к выводам \(A\) и \(B\) приложено напряжение, стороны \(AC\) и \(CB\) треугольника образуют последовательное соединение с амперметром. Тогда \[R_{AC} + R_{BC} = U/I_{AB} = 6\text{ Ом}, \qquad R_{AC} = 6\text{ Ом} - 2\text{ Ом} = 4\text{ Ом}.\] Аналогично \[R_{AB} + R_{BC} = U/I_{AC} = 3\text{ Ом}, \qquad R_{AB} = 3\text{ Ом} - 2\text{ Ом} = 1\text{ Ом}.\]

Подсказка

Когда вода перестала поступать, давление воздуха в башне уравновешивает гидростатическое давление на уровне воды. Сила на люк равна разности давлений, умноженной на площадь.

Ответ

а) \(d \approx 57\text{ см}\);  б) \(F \approx 2800\text{ Н}\).

Решение

Когда вода перестала поступать в башню, давление воздуха внутри башни стало равно гидростатическому давлению в башне на уровне воды. Из равновесия давлений можно выразить ширину воздушного слоя: \[\rho g(h + d) + p_0 = p_0\,\frac{l}{d},\] \[d^2\rho g + d(p_0 + h\rho g) - l p_0 = 0,\] \[d = \frac{\pm\sqrt{(p_0 + h\rho g)^2 + 4l\rho g p_0} - p_0 - h\rho g}{2\rho g}.\] Положительный корень уравнения равен \(d \approx 57\) см. Так как снизу на люк действует давление воздуха внутри башни, соответствующее гидростатическому давлению на глубине \(d + h\), получаем, что на люк действует сила, равная \[F = S\bigl(\rho g(d + h) + p_0 - \rho g h - p_0\bigr) = S\rho g d \approx 2800\text{ Н}.\]

Подсказка

Сначала вода не вытекает, и вся мощность идет на нагрев всей массы: начальный наклон графика дает \(m_0\). Когда температура выходит на постоянный уровень, мощность нагревателя уравнивает нагрев поступающей воды.

Ответ

\(m_0 \approx 1{,}1\text{ кг}\);  \(\mu \approx 30\text{ г/с}\).

Решение

Изначально температура поступившей извне воды равна температуре воды внутри водонагревателя и вода не вытекает. Поэтому температура воды изменяется только за счет тепла, полученного от нагревателя: \(\Delta Q = c m_0 \Delta T = P\Delta t\). Если момент времени \(\Delta t\) достаточно мал, то получим наклон \(\Delta T/\Delta t \approx 0{,}45\,^\circ\text{C/с}\), который необходимо измерить на графике в момент времени \(t = 0\). Наклон можно найти, проведя касательную на графике в начальный момент времени \(t = 0\), которая примерно проходит через точку \(T = 24{,}5\,^\circ\text{C}\) и \(t = 10\) с. Откуда получаем \[m_0 = \frac{P}{c\,\dfrac{\Delta T}{\Delta t}} \approx 1{,}1\text{ кг}.\] Стабильная температура достигается, когда энергия, необходимая для нагрева вытекающей в единицу времени воды, равна мощности нагревателя. Тогда мы получаем соотношение \(P = \mu c (T - T_0)\). Подставляя температуру \(T = 36\,^\circ\text{C}\), получим искомое значение \(\mu\): \[\mu = \frac{P}{c\,(T - T_0)} \approx 30\text{ г/с}.\]

Подсказка

Жесткости параллельно соединенных пружин складываются, а для последовательно соединенных складываются обратные величины. Полезна сумма геометрической прогрессии.

Ответ

\(\Delta x = 5\text{ см}\).

Решение

Заметим, что система пружин состоит из семи уровней параллельно соединенных пружин. Пронумеруем уровни от 0 до 6, где меньший номер имеет уровень с одной пружиной. Тогда количество пружин на каждом из уровней равно \(2^n\), где \(n\) принимает значения от 0 до 6 в соответствии с номером уровня. Так как пружины одинаковые, пусть жесткость каждой из них равна \(k\). Тогда выразим жесткость \(k_n\) уровня с номером \(n\): \[k_n = 2^n k.\] Уровни между собой соединены последовательно, тогда жесткость \(K\) всей системы равна: \[\frac{1}{K} = \frac{1}{k_6} + \frac{1}{k_5} + \ldots + \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_0} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^5} + \ldots + \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{k}\cdot\frac{127}{64} \quad\Rightarrow\quad K = \frac{64}{127}\,k.\] Запишем условие равновесия, заменив общую систему пружин одной пружиной с жесткостью \(K\): \[K\,\Delta x = mg \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{mg}{K}.\] Откуда \[\Delta x = \frac{127}{64}\cdot\frac{m}{k}\cdot g = \frac{127}{64}\cdot\frac{32}{127}\cdot 10 = 5\text{ см}.\]