Росатом, 2016/17, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните, каким было бы напряжение на идеальных вольтметрах, и выясните, течёт ли ток через среднее сопротивление. Затем найдите сопротивление вольтметра через сопротивление резисторов.

Ответ

\(V_2 = \dfrac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4\) В.

Решение

Очевидно, вольтметры неидеальные, поскольку в случае идеальности они должны были бы показывать \(2/3\) от напряжения источника, а они показывают половину. Кроме того, из данных условия очевидно, что ток через центральное сопротивление не течёт. Действительно, поскольку вольтметры \(V_1\) и \(V_2\) показывают половину напряжения источника, то потенциалы точек 1 и 2 одинаковы. Поэтому ток через центральное сопротивление не течёт, его можно выбросить, а падения напряжения на резисторах и вольтметрах одинаковы. Поэтому сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов.

При выбрасывании одного вольтметра цепь принимает следующий вид (см. рисунок), причём сопротивление участка 1–2 равно \(\dfrac{2R}{3}\), поскольку сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов. Поэтому напряжение на участке 1–2 составляет \(2/5\) от напряжения источника и, следовательно, \[V_2 = \frac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4~\text{В}.\]

Подсказка

Давление под поршнем равно атмосферному. Сравните массу одной молекулы воды и средней молекулы воздуха и выразите плотность через концентрации молекул обоих газов и давление насыщенного пара.

Ответ

Плотность уменьшится: \(\rho_1 = \rho_0\left[1 - \dfrac{p_{\text{н}}}{p_0}\left(1 - \dfrac{\mu_1}{\mu_0}\right)\right] = \dfrac{\rho_0}{7}\left(6 + \dfrac{\mu_1}{\mu_0}\right) \approx 0{,}95\) кг/м\(^3\), т.е. на \(\approx 0{,}05\) кг/м\(^3\).

Решение

Поскольку поршень лёгкий и не закреплён, давление воздуха в сосуде равно атмосферному в течение всего процесса. А поскольку по условию воздух можно считать идеальным газом, то концентрация молекул воздуха не меняется. Это значит, что при испарении воды будет увеличиваться объём воздуха (поршень будет подниматься), и в единице объёма воздуха останется то же самое число молекул. А поскольку каждая молекула воды (\(18\) а.е.м.) легче усреднённой молекулы воздуха (\(29\) а.е.м.), то масса единицы объёма влажного воздуха (т.е. плотность) будет меньше, чем масса единицы объёма сухого. указано 16 а.е.м.; по условию молярная масса воды 18 г/моль, в решении использовано 18.

Найдём теперь плотность влажного воздуха. Пусть концентрация молекул воздуха равна \(n\). Пока он был сухим, это были молекулы собственно воздуха (усреднённые), и потому его плотность равна \[\rho_0 = n m_0 = \frac{n\mu_0}{N_A},\] где \(m_0\) — масса средней молекулы воздуха, \(\mu_0\) — его молярная масса, \(N_A\) — число Авогадро.

Из условия следует, что нужно найти плотность насыщенного пара (поскольку вода перестала испаряться). Это значит, что парциальное давление водяного пара равно давлению насыщенного пара при данной температуре \(p_{\text{н}}\), а парциальное давление собственно воздуха равно \(p_0 - p_{\text{н}}\). Поэтому в единице объёма воздуха под поршнем находится \[n_0 = \frac{p_0 - p_{\text{н}}}{p_0}\,n\] молекул собственно воздуха (усреднённых) и \[n_1 = \frac{p_{\text{н}}}{p_0}\,n\] молекул воды. Отсюда по формулам, аналогичным формуле для \(\rho_0\), находим плотность влажного воздуха: \[\rho_1 = n_0 m_0 + n_1 m_1 = \frac{p_0 - p_{\text{н}}}{p_0}\frac{n\mu_0}{N_A} + \frac{p_{\text{н}}}{p_0}\frac{n\mu_1}{N_A} = \rho_0\left[1 - \frac{p_{\text{н}}}{p_0}\left(1 - \frac{\mu_1}{\mu_0}\right)\right].\] Учитывая, что давление насыщенного пара составляет одну седьмую часть от атмосферного давления, получим \[\rho_1 = \rho_0\left[1 - \frac{1}{7}\left(1 - \frac{\mu_1}{\mu_0}\right)\right] = \frac{\rho_0}{7}\left(6 + \frac{\mu_1}{\mu_0}\right) \approx 0{,}95~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза, затем свяжите их ускорения с ускорениями блоков: при опускании нижнего блока на \(\Delta l\) верхний поднимается на \(2\Delta l\).

Ответ

\(F_1 = 24ma + 4mg\) (для верхнего блока, с ускорением \(2a\)), \(F_2 = 28ma + 2mg\) (для нижнего блока, с ускорением \(a\)).

Решение

Пусть сила натяжения верхней нити (охватывающей блок, движущийся с ускорением \(2a\)) равна \(T_1\), второй нити — \(T_2\). Тогда второй закон Ньютона для грузов даёт \[\begin{aligned} 2m a_1 &= T_1 - 2mg,\\ m a_2 &= T_1 - T_2 - mg. \end{aligned}\] Найдём связь ускорений грузов с ускорением блоков. Пусть нижний блок опустился на \(\Delta l\). Тогда верхний блок поднимется на \(2\Delta l\) (его ускорение в два раза больше). Очевидно, что тело массой \(m\) переместится на \(2\Delta l\), тело массой \(2m\) поднимется на \(6\Delta l\). Поэтому ускорение тела \(m\) равно \(2a\) и направлено вниз, тела \(2m\) — \(6a\) и направлено вверх. Поэтому система уравнений принимает вид \[\begin{aligned} 12ma &= T_1 - 2mg,\\ 2ma &= T_2 + mg - T_1. \end{aligned}\] Отсюда \[T_1 = 12ma + 2mg, \qquad T_2 = 14ma + mg.\] Ну а поскольку блоки невесомы, то силы, которыми нужно действовать на блоки, равны удвоенным силам натяжения нитей: \[F_1 = 2T_1 = 24ma + 4mg, \qquad F_2 = 2T_2 = 28ma + 2mg.\]

Подсказка

С точки зрения давления у дна слой масла толщиной \(h\) эквивалентен слою воды толщиной \(\rho_0 h/\rho_1\). Сравнивайте давления у дна сосудов с давлением, которое дала бы та же вода, распределённая по всем сосудам.

Ответ

\(\Delta h_1 = h\left(1 + \dfrac{\rho_0}{2\rho_1}\right)\); \(\Delta h_2 = 2h\left(1 - \dfrac{\rho_0}{4\rho_1}\right)\); \(\Delta h_3 = 3h\left(1 - \dfrac{\rho_0}{2\rho_1}\right)\); \(\Delta h_4 = \dfrac{3\rho_0 h}{2\rho_1}\) (вверх).

Решение

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной \(h\) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(\dfrac{\rho_0 h}{\rho_1}\). Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной \(6h\) (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальём слой воды толщиной \[h_1 = \frac{6\rho_0 h}{\rho_1}.\] Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырём сосудам. Учитывая, что в четвёртом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвёртый сосуд), уровень воды в нём поднимется на величину \[\Delta h_4 = \frac{6\rho_0 h}{4\rho_1} = \frac{3\rho_0 h}{2\rho_1}.\] При этом давление у дна сосуда возрастёт на величину \[\Delta p = \rho_1 g \Delta h_4 = \frac{3}{2}\rho_0 g h. \qquad (*)\] Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдём из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.

В первом сосуде находится слой масла толщиной \(h\), который обеспечивает дополнительное давление \(\rho_0 g h\). Поэтому для увеличения давления на \(\frac{3}{2}\rho_0 g h\) в этот сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление у дна \(\frac{1}{2}\rho_0 g h\), т.е. слой воды толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Это значит, что уровень жидкости в первом сосуде увеличится на величину \[\Delta h_1 = h + \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = h\left(1 + \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Во втором сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(2h\), который обеспечивает дополнительное давление \(2\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна второго сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из второго сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды во втором сосуде изменится на величину \[\Delta h_2 = 2h - \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = 2h\left(1 - \frac{\rho_0}{4\rho_1}\right).\] В третьем сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(3h\), который обеспечивает дополнительное давление \(3\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна третьего сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из третьего сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{3}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды в третьем сосуде изменится на величину \[\Delta h_3 = 3h - \frac{3\rho_0}{2\rho_1}h = 3h\left(1 - \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Проверка: сумма изменений уровней должна равняться объёму налитого масла, \(6h\).

\[\Delta h_1 + \Delta h_2 + \Delta h_3 + \Delta h_4 = 6h.\]

Подсказка

Изображение будет квадратом, если изображения противоположных сторон параллельны, а изображения диагоналей взаимно перпендикулярны. Начните с построения изображений отрезков с помощью лучей, идущих вдоль самих отрезков.

Ответ

Линза располагается так, что её фокальная плоскость проходит через точки \(A\) и \(B\) пересечения продолжений противоположных сторон, а центр линзы лежит на полуокружности, проходящей через точки \(C\) и \(D\) (см. решение); фокусное расстояние \(F \approx 3\) см.

Решение

Очевидно, изображение четырёхугольника будет квадратом, если: (1) изображения противоположных сторон будут параллельны, (2) угол между изображениями пар противоположных сторон будет равен \(90^\circ\), (3) угол между изображениями диагоналей четырёхугольника также будет равен \(90^\circ\). Установим, в каких случаях условия (1), (2) и (3) выполняются.

(1) Пусть есть тонкая собирающая линза и два непараллельных отрезка. Построим их изображения и поймём, когда они будут параллельными. Для построения изображений отрезков возьмём лучи, идущие вдоль самих отрезков. Тогда каждый из таких лучей проходит и через один конец отрезка, и через другой, и, следовательно, изображение отрезков будет лежать на этих лучах после их прохождения линзы (такие лучи показаны на рисунке пунктиром). Но чтобы два луча после прохождения собирающей линзы были параллельны, до линзы они должны пересекаться в её фокальной плоскости. Это значит, что точки пересечения (\(A\) и \(B\) на рисунке) принадлежат фокальной плоскости линзы (показана штрихпунктирной линией), а сама линза лежит справа от прямой \(AB\) (в качестве примера показано одно из возможных расположений линзы, причём её фокусное расстояние должно равняться расстоянию от линзы до прямой \(AB\)).

Итак, после прохождения линзы изображение четырёхугольника будет параллелограммом. Установим, когда это изображение будет прямоугольником. Оно будет прямоугольником тогда, когда лучи, вышедшие из точек \(A\) и \(B\) и проходящие через центр линзы, будут перпендикулярны друг другу. Действительно, эти лучи не преломляются, а все остальные лучи, проходящие через точки \(A\) и \(B\), после прохождения линзы будут им параллельны. Поэтому центр линзы может лежать в любой точке, принадлежащей полуокружности, проходящей через точки \(A\) и \(B\).

Итак, изображение четырёхугольника в линзе, приведённой на последнем рисунке, будет прямоугольником, причём таких положений линзы будет ещё много (её центр может располагаться в любой точке этой окружности). Можно ли подобрать её такое расположение, чтобы изображение четырёхугольника было квадратом? Для этого надо, чтобы изображения диагоналей четырёхугольника были перпендикулярны друг другу, а для этого угол между лучами, вышедшими из точек \(C\) и \(D\) и проходящими через центр линзы, должен быть прямым. Значит, центр линзы должен лежать на полуокружности, проходящей через точки \(C\) и \(D\).

Поскольку все построения проводились в правильном масштабе, рисунок можно использовать для оценки фокусного расстояния линзы. Из рисунка находим, что расстояние от линзы до её фокальной плоскости составляет около двух диагоналей одной клетки, т.е. \(F \approx 3\) см.