Росатом, 2016/17, заключительный этап, 7 класс

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Время на каждом участке найдите как путь, делённый на скорость.

\(v_{\text{ср}}=\dfrac{5v_1v_2}{v_2+4v_1}=54{,}5\) км/ч.

По определению средней скорости имеем \[v_{\text{ср}}=\frac{S}{t},\] где \(S\) — расстояние между городами, \(t\) — затраченное на весь путь время. Это время найдем через известные скорости автомобиля на первой и второй частях пути, получим \[t=\frac{S}{5v_1}+\frac{4S}{5v_2}=\frac{S\left(v_2+4v_1\right)}{5v_1v_2}.\] Отсюда \[v_{\text{ср}}=\frac{5v_1v_2}{v_2+4v_1}=54{,}5\ \text{км/ч}.\]

Давление равно весу, делённому на площадь опоры. Сравните массы кубов через их плотности и размеры.

\(p'\approx 2280\) Па.

Давление куба на стол в первом случае определяется соотношением \[p=\frac{m}{S},\] где \(m\) — масса куба, \(S\) — площадь его грани. Давление во втором случае находится аналогично \[p'=\frac{m+M}{2S}=\frac{m}{2S}\left(1+\frac{M}{m}\right)=\frac{p}{2}\left(1+\frac{M}{m}\right),\] где \(M\) — масса стального куба. Отношение масс куба из стали и куба из пластилина найдем через их плотности и размеры \[\frac{M}{m}=\frac{\rho_1\left(2a\right)^3}{\rho_0a^3}=\frac{8\rho_1}{\rho_0},\] где \(a\) — ребро пластилинового куба, \(2a\) — стального. В результате находим давление во втором случае \[p'=\frac{p}{2}\left(1+\frac{8\rho_1}{\rho_0}\right)=2280\ \text{Па}.\]

Запишите сохранение массы для впитавшейся воды и равенство объёмов вареного зерна, а потом выразите массу впитавшейся воды.

\(\Delta M=M-m_1=1{,}57\) кг (по официальному решению; см. комментарий ниже).

Масса и объем вареной крупы отличаются от массы и объемов сухой за счет добавления воды. Считая (как это сказано в условии), что объем вареной крупы равен сумме объемов сухой крупы и впитавшейся в него воды (для масс это очевидно), получим \[\rho_1=\frac{m+\rho_0V}{\frac{m}{\rho}+V},\] где \(V\) — объем воды, впитавшейся в перловку. Или \[\frac{m}{\rho}+V=\frac{m}{\rho_1}+\frac{\rho_0V}{\rho_1}.\] Отсюда находим объем, а затем и массу воды, впитавшейся в крупу \[V=\frac{m\left(\rho-\rho_1\right)}{\rho\left(\rho_1-\rho_0\right)},\qquad m_1=\frac{m\rho_0\left(\rho-\rho_1\right)}{\rho\left(\rho_1-\rho_0\right)}=1{,}43\ \text{кг}.\] Поэтому выкипело \[\Delta M=M-\frac{m\rho_0\left(\rho-\rho_1\right)}{\rho\left(\rho_1-\rho_0\right)}=3-1{,}43=1{,}57\ \text{кг}.\]

Тела не утонут, если средняя плотность системы не больше плотности воды. Сумма \(1+2+\dots+100\) удобно считается парами.

\(\rho\le\dfrac{2\rho_0}{101}\approx 19{,}8\) кг/м³.

Тела не утонут в воде, если средняя плотность ста шаров будет меньше плотности воды. Найдем среднюю плотность шаров. По определению имеем \[\rho_{\text{ср}}=\frac{m_1+m_2+\dots+m_{100}}{100V}=\frac{\rho\left(1+2+\dots+100\right)}{100}.\] Сумму всех чисел в скобках можно вычислить, если сложить первое с последним (\(1+100=101\)), второе с предпоследним (\(2+99=101\)), … пятидесятое с пятьдесят первым (\(50+51=101\)). Поскольку таких пар 50, а сумма чисел каждой пары — 101, то \[1+2+\dots+100=50\cdot101.\] Поэтому находим среднюю плотность тела, составленного из ста шаров, \[\rho_{\text{ср}}=\frac{101\rho}{2}.\] Тела не утонут в воде, если \[\frac{101\rho}{2}\le\rho_0\quad\Rightarrow\quad\rho\le\frac{2\rho_0}{101}=19{,}8\ \text{кг/м}^3.\]

Относительные скорости дают интервалы времени между встречами. Для машин, едущих навстречу, относительная скорость — сумма скоростей, для попутных — разность.

Скорость машин в медленной половине пробки \(u=\dfrac{5v}{13}\), в быстрой \(2u=\dfrac{10v}{13}\).

Пусть расстояние между машинами в пробках, движущихся и в одном, и в противоположном направлении, равно \(l\), скорость пробки в одном направлении — \(2u\), в другом — \(u\). Используя известные формулы встречи двух тел, движущихся навстречу друг другу и друг за другом, найдем интервалы времени между встречами автомобиля скорой помощи со встречными машинами и машинами, движущимися в том же направлении: \[\Delta t_1=\frac{l}{v-2u}\quad\text{(в том же направлении)},\qquad \Delta t_2=\frac{l}{v+u}\quad\text{(в противоположном направлении)}.\] Из условия находим \[\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}=\frac{v+u}{v-2u}=n.\] Отсюда находим скорость машин в пробке \[u=\frac{(n-1)v}{2n+1}=\frac{5v}{13}\qquad\text{и}\qquad 2u=\frac{10v}{13}.\]