Росатом, 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Выразите время через длины и скорости обоих участков пути.

\(v_{\text{ср}} = 54{,}5\text{ км/ч}\).

По определению средней скорости \(v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t}\), где \(S\) — расстояние между городами, \(t\) — время на весь путь. Первая часть пути равна \(\dfrac{S}{5}\), вторая — \(\dfrac{4S}{5}\), поэтому \[t = \frac{S}{5v_1} + \frac{4S}{5v_2} = \frac{S\,(v_2 + 4v_1)}{5v_1v_2}.\] Отсюда \[v_{\text{ср}} = \frac{5v_1v_2}{v_2 + 4v_1} = 54{,}5\text{ км/ч}.\]

Амперметры можно заменить проводниками. Тогда цепь сводится к смешанному соединению: найдите сопротивление нижнего участка, а затем распределите токи по ветвям.

\(I_2 = 0{,}2\text{ А}\).

Данная в условии цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке.

Сопротивление нижнего участка цепи находим по правилам последовательного и параллельного соединения резисторов: \[\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + R_4 = 10\text{ Ом}.\] Поэтому ток через резистор 4 равен \(I_4 = \dfrac{U}{10}\), где \(U\) — напряжение, приложенное к цепи (в вольтах). На участке параллельного соединения резисторов 1 и 2 ток \(I_4\) делится в отношении \(R_1/R_2\). Отсюда находим ток через амперметр \(A_1\): \[I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,I_4 = \frac{U}{30}.\] Ток через верхний участок цепи (резистор 3 и амперметр \(A_2\)): \[I_2 = \frac{U}{R_3} = \frac{U}{15}.\] Сравнивая две последние формулы, заключаем, что ток через амперметр \(A_2\) вдвое больше тока через амперметр \(A_1\): \[I_2 = 2I_1 = 0{,}2\text{ А}.\]

Тела не утонут, если их общая средняя плотность не больше плотности воды. Найдите среднюю плотность системы, учитывая, что сумму \(1+2+\dots+100\) можно сгруппировать в пары.

\(\rho \le 19{,}8\text{ кг/м}^3\).

Тела не утонут в воде, если средняя плотность ста шаров меньше плотности воды. По определению \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m_1 + m_2 + \dots + m_{100}}{100V} = \frac{\rho\,(1 + 2 + \dots + 100)}{100}.\] Сумму в скобках можно вычислить, складывая первое число с последним (\(1 + 100 = 101\)), второе с предпоследним (\(2 + 99 = 101\)) и т. д. Пар получается 50, поэтому \(1 + 2 + \dots + 100 = 50\cdot 101\). Тогда \[\rho_{\text{ср}} = \frac{101\,\rho}{2}.\] Тела не утонут, если \[\frac{101\,\rho}{2} \le \rho_0 \quad\Rightarrow\quad \rho \le \frac{2\rho_0}{101} = 19{,}8\text{ кг/м}^3.\]

Запишите уравнение теплового баланса для первого опыта и условие полного замерзания воды во втором; из них найдите отношение масс льда и воды.

\(t_2 = 70\,^\circ\text{C}\).

Пусть масса одного куска льда равна \(m\), масса воды в калориметре — \(M\), искомая температура воды — \(t_2\). Уравнение теплового баланса для опускания в калориметр одного куска льда: \[c_{\text{л}}\,m\,(t_0 - t_1) + \lambda m = c_{\text{в}}\,M\,(t_2 - t_0) \quad\Rightarrow\quad t_2 = t_0 + \frac{m}{M}\cdot\frac{c_{\text{л}}(t_0 - t_1) + \lambda}{c_{\text{в}}}.\] Отношение масс найдём из второго условия (восемь кусков льда полностью замерзают вместе с водой): \[c_{\text{л}}\cdot 8m\,(t_0 - t_1) = \lambda\,(M + m) \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{M} = \frac{\lambda}{8c_{\text{л}}(t_0 - t_1) - \lambda}.\] Отсюда \[t_2 = t_0 + \frac{\lambda\,\bigl(c_{\text{л}}(t_0 - t_1) + \lambda\bigr)} {c_{\text{в}}\bigl(8c_{\text{л}}(t_0 - t_1) - \lambda\bigr)} = 70\,^\circ\text{C}.\]

Число ступенек равно перемещению человека относительно эскалатора, делённому на длину одной ступеньки. Запишите оба перемещения через скорость человека \(v\) и скорость эскалатора \(u\).

\(n = 104\).

Пусть скорость человека в первом случае \(v\), во втором — \(2v\), скорость эскалатора — \(u\), длина эскалатора — \(l\), длина одной ступеньки — \(\Delta l\). Число ступенек равно перемещению человека относительно эскалатора, делённому на \(\Delta l\).

В первом случае скорость человека относительно эскалатора равна \(v\), поэтому он затрачивает время \(l/(v+u)\), за которое эскалатор проходит расстояние \(lu/(v+u)\). Относительно эскалатора человек перемещается на \(l\bigl(1 - u/(v+u)\bigr)\), и насчитывает \[n_1 = \frac{lv}{\Delta l\,(v + u)}.\] Во втором случае аналогично \[n_2 = \frac{2lv}{\Delta l\,(2v + u)}.\] Деля эти равенства друг на друга и вводя \(x = u/v\), получаем \[\frac{n_1}{n_2} = \frac{2 + x}{2(1 + x)}, \qquad x = \frac{2(n_2 - n_1)}{2n_1 - n_2}.\] Когда человек идёт по неподвижному эскалатору, он насчитает \(l/\Delta l\) ступенек. Из формулы для \(n_1\): \[n = \frac{l}{\Delta l} = n_1(1 + x) = \frac{n_1 n_2}{2n_1 - n_2} = 104.\]