Росатом, 2017/18, заключительный этап, 7 класс

Какой объём воды выливается из ведра, когда в него опускают камень? Сравните объём второго камня с пустым местом, которое останется в ведре.

\(P_3 = 21\) Н.

Камень вытеснит такое количество воды, объём которого равен его объёму. Эта вода выльется из ведра. Поэтому увеличение веса ведерка равно \[P_2 = P_1 + \left(\rho_{к} - \rho_{в}\right) gV = P_1 + \left(3\rho_{в} - \rho_{в}\right) gV = P_1 + 2\rho_{в} gV,\] где \(\rho_{к}\) и \(\rho_{в}\) — плотности камня и воды соответственно, \(V\) — объём камня. Отсюда \[\rho_{в} gV = \frac{P_2 - P_1}{2}. \qquad (*)\] Когда мы вытащим из ведерка первый камень и положим другой камень меньшего объёма, часть ведерка объёмом \(V/2\) окажется ничем не заполненной. Поэтому вес ведерка будет равен \[P_3 = P_1 + \left(\rho_{к} - \rho_{в}\right) g\frac{V}{2} - \rho_{в} g\frac{V}{2} = P_1 + \rho_{в} g\frac{V}{2}.\] Поэтому из \((*)\) получим \[P_3 = P_1 + \frac{P_2 - P_1}{4} = \frac{3P_1 + P_2}{4} = 21~\text{Н}.\]

Сколько времени по часам Винни заняла дорога в каждый конец, если известно, что обе дороги занимают одинаковое время? Что показывают его часы в конце пути по сравнению с точным временем?

Выразите массу первой части через \(\rho_1\) и её объём, а массу всего кубика — через массу первой части по условию.

\(\rho_2 = \dfrac{3}{2}\rho_1\).

Пусть объем всего кубика \(V\), а плотность его второй части — \(\rho_2\). Тогда из условия имеем \[\rho_1\frac{V}{3} + \rho_2\frac{2V}{3} = 4\rho_1\frac{V}{3}.\] Решая это уравнение относительно \(\rho_2\), получаем \[\rho_2 = \frac{3}{2}\rho_1.\]

Сколько метров спортсмен пробежит за первые 10 секунд, если каждую следующую секунду его скорость возрастает на одну и ту же величину?

Спортсмен отстанет на \(0{,}05\) с.

Конкуренты нечестного спортсмена пробегут стометровку за время \[t = \frac{l}{v} = 10~\text{с}.\] Найдём, за какое время пробежит стометровку нечестный спортсмен. Поскольку в течение первой секунды он бежит со скоростью \(\Delta v\), в течение второй секунды — со скоростью \(2\Delta v\), третьей — \(3\Delta v\) и т.д., за 10 секунд он пробежит расстояние \[S = \Delta v\,\Delta t + 2\Delta v\,\Delta t + \dots + 10\Delta v\,\Delta t = 55\,\Delta v\,\Delta t = 99~\text{м},\] где \(\Delta t = 1\) с. Таким образом, нечестный спортсмен за 10 секунд пробежит 99 м, а последний метр дистанции он пробежит со скоростью \(11\Delta v\) и, следовательно, затратит на его прохождение время \[t_1 = \frac{1~\text{м}}{11\Delta v} = 0{,}05~\text{с}.\] Значит, нечестный спортсмен отстанет от своих конкурентов на время \(t_1 = 0{,}05\) с.

Сравните давления у дна обоих сосудов в начальный момент: в каком направлении начнёт перетекать каждая жидкость? Что означает равенство давлений у дна в конце процесса?

\(x = \dfrac{h}{5}\).

Давление около дна сосуда с тяжелой жидкостью (\(p = 6\rho g\dfrac{h}{2} = 3\rho g h\)) больше давления около дна в сосуде с легкой жидкостью (\(p_1 = \rho g h\)). Поэтому при открывании крана тяжелая жидкость по нижней трубке будет перетекать в сосуд, в котором первоначально была легкая жидкость, которая в свою очередь по верхней трубке будет перетекать в сосуд с тяжелой жидкостью. Процесс перетекания будет происходить до тех пор, пока не выровняются давления около дна в левом и правом сосуде. Пусть к этому моменту в сосуд с легкой жидкостью перетечет столб тяжелой жидкости высотой \(x\). Тогда точно такой же слой легкой жидкости перетечет по верхней трубке в сосуд с тяжелой жидкостью, и условие равновесия жидкости в сосуде дает \[6\rho g\left(\frac{h}{2} - x\right) + \rho g x = 6\rho g x + \rho g (h - x).\] Отсюда \[x = \frac{h}{5}.\]