Росатом, 2018/19, заключительный этап, 9 класс

Сопротивление вольтметра сравните с сопротивлением резистора через распределение токов в узлах: какая часть тока идет через каждую ветвь?

\(U = \dfrac{7}{3}U_1 = 28\) В.

Пусть сопротивление резистора \(r\). Ток, текущий через вольтметр \(V_1\), делится на две части: ток через вольтметр \(V_2\) и ток через центральный резистор. Так как вольтметры имеют одинаковое сопротивление, из закона Ома напряжение на \(V_2\) меньше напряжения на \(V_1\). По условию \(V_1 = 3V_2\), поэтому через \(V_2\) течет треть тока, текущего через \(V_1\), а оставшиеся две трети текут через центральный резистор. Токи через \(V_2\) и центральный резистор отличаются вдвое, значит, сопротивление вольтметра \(R\) вдвое больше сопротивления резистора: \[R = 2r.\] Через правый и левый резисторы течет тот же ток, что и через \(V_1\), поэтому напряжение на них вдвое меньше, чем на \(V_1\). Напряжение на всей цепи равно \[U = \frac12 U_1 + U_1 + \frac13 U_1 + \frac12 U_1 = \frac73 U_1 = 28~\text{В}.\]

Ищите самые неприятные точки: те, что лежат около участка сети, который движется перпендикулярно самому себе.

\(v_{\min} = v = 2\) м/с.

Поскольку рыба должна уплыть из любой точки внутри сети, рассмотрим самые неприятные с точки зрения выплывания точки; из других точек рыба тогда уплывет. Это точки, лежащие около участка сети, движущегося перпендикулярно самому себе. Чтобы рыба могла уплыть из любой точки перед этим участком, ее скорость должна быть на «микроскопическую» величину больше скорости сети, т.е. \(v\). Имея такую скорость, рыба сможет бесконечно долго плыть перед сетью. Поэтому, чтобы уплыть из сети, рыба должна иметь хотя бы бесконечно малую составляющую скорости вдоль направления, перпендикулярного направлению перемещения сети. Минимальная скорость, которую должна иметь рыба, чтобы выплыть из любой точки внутри сети, равна \[v_{\min} = v.\]

Запишите условие плавания целого бруска и одной половинки, затем найдите среднюю плотность второй половинки.

Будет плавать; минимальная сила \(F = mg/8\), направленная вертикально вниз.

Пусть средняя плотность бруска \(\rho\), плотность воды — \(\rho_0\). Условие плавания целого бруска: \[\rho gV = \frac23 \rho_0 gV \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac23 \rho_0.\] Условие плавания одной половинки бруска со средней плотностью \(\rho_1\): \[\rho_1 g\frac V2 = \frac12 \rho_0 g\frac V2 \quad\Rightarrow\quad \rho_1 = \frac12 \rho_0.\] С другой стороны, средняя плотность бруска связана со средними плотностями его половинок \(\rho_1\) и \(\rho_2\): \[\rho = \frac{\rho_1\frac V2 + \rho_2\frac V2}{V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}.\] Отсюда средняя плотность второй половинки \[\rho_2 = 2\rho - \rho_1 = \frac43 \rho_0 - \frac12 \rho_0 = \frac56 \rho_0 < \rho_0,\] и, следовательно, вторая половинка бруска тоже будет плавать.

Чтобы полностью утопить ее в воде, к ней нужно приложить силу, равную разности силы Архимеда и силы тяжести: \[F = \rho_0 g\frac V2 - \rho_2 g\frac V2 = \frac1{12}\rho_0 gV = \frac1{12}\cdot\frac32 \rho gV = \frac18 mg.\] Таким образом, чтобы утопить брусок в жидкости, к нему нужно приложить минимальную силу \(F = mg/8\), направленную вертикально вниз.

Из опыта со вторым калориметром найдите теплоемкость термометра, затем запишите тепловой баланс для первого калориметра.

\(t_x \approx 21{,}0\,^\circ\)C.

Так как атмосферное давление нормальное, температура кипения воды \(t_{\text{кип}} = 100\,^\circ\)C. Так как термометр показывает меньшую температуру, нужно учитывать его собственную теплоемкость. Поэтому уравнение теплового баланса для опускания термометра в кипящую воду: \[C_0(t_2 - t_0) = c\,2m\,(t_{\text{кип}} - t_2),\] где \(C_0\) — теплоемкость термометра, \(c\) — удельная теплоемкость воды. Отсюда \[C_0 = \frac{2mc\,(t_{\text{кип}} - t_2)}{t_2 - t_0}. \qquad (*)\] После этого термометр с температурой \(t_2\) опускают в стакан воды массой \(m\) с температурой \(t_0\). Уравнение теплового баланса: \[C_0(t_2 - t_x) = cm\,(t_x - t_0),\] где \(t_x\) — температура воды в первом калориметре после установления равновесия (которую и покажет термометр). Отсюда \[t_x = \frac{C_0 t_2 + cm\,t_0}{cm + C_0}.\] Подставляя \(C_0\) из формулы \((*)\), получим \[t_x = \frac{t_0(t_2 - t_0) + 2t_2(t_{\text{кип}} - t_2)}{t_2 - t_0 + 2(t_{\text{кип}} - t_2)} \approx 21{,}0\,^\circ\text{C}.\]

Жесткость жгута обратно пропорциональна его длине. Запишите равенство силы упругости весу груза отдельно для участка над водой и для участка под водой.

\(h = 60\) см.

Пусть налит слой воды высотой \(h\); длина участка жгута над поверхностью равна \(l - h\). Недеформированная длина всего жгута \(l_0 = l - \Delta l = 80\) см. Жесткость участка жгута обратно пропорциональна его длине, поэтому жесткость участка над водой \(k_1 = kl_0/l_1\), где \(l_1\) — недеформированная длина этого участка. Поскольку сила упругости равна силе тяжести груза \(mg\): \[l - h = l_1 + \frac{mg}{k_1} = l_1\left(1 + \frac{mg}{kl_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{l - h}{1 + \dfrac{mg}{kl_0}}.\] Аналогично для участка под водой, жесткость которого при полном охлаждении равна \(4k\) (и \(k_2 = 4kl_0/l_2\)): \[h = l_2 + \frac{mg}{k_2} = l_2\left(1 + \frac{mg}{4kl_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_2 = \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4kl_0}}.\] Так как \(l_1 + l_2 = l_0\), получаем уравнение \[\frac{l - h}{1 + \dfrac{mg}{kl_0}} + \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4kl_0}} = l_0,\] откуда высота уровня воды, при которой груз оторвется от дна, \[h = \frac{4kl_0}{3mg}\left(1 + \frac{mg}{4kl_0}\right)\left(\frac{mg}{k} - \Delta l\right) = 60~\text{см}.\]