Росатом, 2019/20, отборочный этап, 9 класс

Запишите пути, которые за время \(t\) проходят две соседние капли, и используйте, что их разность равна \(S\).

\(\Delta t = -t + \sqrt{t^2 + 2S/g} \approx 0{,}26\) с.

Законы равноускоренного движения для двух рассматриваемых капель в момент времени \(t\) дают \[x_1 = x_2 + S = \frac{g(t + \Delta t)^2}{2}, \qquad x_2 = \frac{gt^2}{2},\] где \(x_1\) и \(x_2\) — координаты первой (предыдущей) и второй (последующей) капель, \(\Delta t\) — временной интервал между каплями. Вычитая и решая квадратное уравнение \[\Delta t^2 + 2t\,\Delta t - \frac{2S}{g} = 0,\] найдём интервал \[\Delta t = -t + \sqrt{t^2 + \frac{2S}{g}} = 0{,}26~\text{с}.\]

Сравните энергию, которую лампа выделяет за время \(t\), с энергией, нужной для нагрева воды. Разность — то, что ушло наружу излучением.

\(\eta = 0{,}44\) (т.е. \(44\) %).

За время \(t\) лампа выделяет количество теплоты \(Q = Pt\). Для нагрева воды нужно количество теплоты \[q = cm\,\Delta T.\] Отсюда находим количество теплоты, которое сосуд пропускает через стенки, \[\Delta q = Q - q = Pt - cm\,\Delta T,\] и долю этой величины от излучённого лампой количества теплоты \[\eta = \frac{Q-q}{Q} = \frac{Pt - cm\,\Delta T}{Pt} = 0{,}44.\]

Запишите условие плавания кубика без внешней силы и при действии силы \(F\) и \(3F\). Отношение двух уравнений исключит \(\rho_0 g a^3\).

\(\rho = \rho_0/4 = 250\) \(\text{кг/м}^3\).

Пусть свободно плавающий кубик погружается в воду на глубину \(h\). Тогда условие равновесия кубика даёт \[\rho g a^3 = \rho_0 g a^2 h, \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность вещества кубика, \(a\) — длина его ребра. Отсюда находим отношение плотностей кубика и воды \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{h}{a}. \qquad (**)\] Когда на плавающий кубик действует «утапливающая» сила \(F\), условие равновесия даёт \[\rho g a^3 + F = \rho_0 g V_{\text{п.ч.}},\] где \(V_{\text{п.ч.}} = a^2(h + \Delta h)\) — объём погружённой части кубика, \(\Delta h\) — глубина «притопления» кубика силой \(F\) дополнительно к его погружению за счёт силы тяжести. Отсюда с учётом \((*)\) получаем \(F = \rho_0 g a^2 \Delta h\).

Поэтому для равновесных положений кубика, данных в задаче, имеем \[F = \rho_0 g a^2\Bigl(\frac{a}{2} - h\Bigr) = \rho_0 g a^3\Bigl(\frac{1}{2} - \frac{h}{a}\Bigr), \qquad 3F = \rho_0 g a^2 (a - h) = \rho_0 g a^3\Bigl(1 - \frac{h}{a}\Bigr). \qquad (***)\] Деля уравнения \((***)\) друг на друга, получаем \[\frac{2}{3} = \frac{1 - 2x}{1 - x}, \qquad x = \frac{h}{a}.\] Отсюда находим \(x = \dfrac{1}{4}\), а затем из формулы \((**)\) плотность кубика \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 250~\text{кг/м}^3.\]

Из симметрии схемы следует, что ток в каждом разветвлении делится поровну. Найдите напряжение между точками подключения источника через токи в рёбрах.

\(R_{\text{пир}} = 3R/4\).

Из симметрии цепи следует, что в каждом разветвлении ток делится пополам. Поэтому, если в точку \(A\) втекает ток \(I\), сопротивление одного ребра \(R\), то напряжения на всех проводниках, составляющих рёбра пирамиды, являются следующими: \[U_{AB} = U_{AC} = IR/4, \qquad U_{CD} = U_{CE} = U_{BE} = U_{BD} = IR/4, \qquad U_{DF} = U_{EF} = IR/4.\]

Поэтому напряжение между точками \(A\) и \(F\) равно \[U_{AF} = U_{AB} + U_{BD} + U_{DF} = \frac{3IR}{4}.\] Отсюда находим, что сопротивление пирамиды равно \(3R/4\).

Удлинение каждой резинки определяется силой, которая растягивает её: нижнюю растягивает груз, вторую снизу — два груза и т.д. Сложите все удлинения.

\(N = 40\).

Пусть для того, чтобы груз на нижней резинке коснулся земли, нужно \(N\) резинок и грузов. Для числа \(N\) выполнено условие \[Nl + (\Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \dots) \geq H, \qquad (*)\] где \(\Delta l_1\) — удлинение нижней резинки, \(\Delta l_2\) — удлинение второй снизу резинки, \(\Delta l_3\) — третьей и т.д.

Удлинения резинок найдём по закону Гука. Самую нижнюю резинку растягивает сила \(mg\), вторую — \(2mg\), третью — \(3mg\) и т.д. Поэтому суммарное удлинение всех резинок, равное величине опускания нижнего груза, можно найти как \[\Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \dots = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + 3 + \dots + N) = \frac{mg}{k}\,\frac{N(N+1)}{2}.\] В результате неравенство \((*)\) принимает вид \[\frac{mg}{k}\,\frac{N(N+1)}{2} + Nl - H \geq 0,\] или \[N \geq -\Bigl(\frac{1}{2} + \frac{kl}{mg}\Bigr) + \sqrt{\Bigl(\frac{1}{2} + \frac{kl}{mg}\Bigr)^2 + \frac{2kH}{mg}}.\] Подставляя данные условия задачи, получим \(N \geq 39{,}5\), откуда \(N = 40\).