Росатом, 2019/20, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Есть два возможных положения рамки в горизонтальном состоянии: пружины в нём растянуты или сжаты. Рассмотрите оба случая, сравнивая деформации пружин при повороте рамки.

Ответ

\(m = 3F/g\) или \(m = 3F/(2g)\).

Решение

Условию задачи не противоречат два положения — когда в горизонтальном положении пружины растянуты или сжаты.

Рассмотрим первый случай: в горизонтальном положении пружины растянуты. Тогда, поскольку при перевороте рамки в вертикальное положение растяжение нижней пружины должно уменьшиться, а верхней — увеличиться, то именно нижняя пружина будет недеформирована, а груз будет удерживать верхняя пружина. Поскольку величина укорочения нижней пружины равна величине удлинения верхней (при перевороте рамки), то со стороны нижней пружины пропадает сила \(F\) (эта пружина станет недеформированной), а со стороны верхней добавляется сила \(2F\). Отсюда заключаем, что \[mg = 3F.\]

Второй случай: в горизонтальном положении обе пружины сжаты. Тогда в вертикальном положении недеформированной будет верхняя пружина, а силу тяжести будет компенсировать нижняя. При этом, поскольку при перевороте рамки дополнительное удлинение верхней пружины равно дополнительному укорочению нижней, к силе упругости нижней пружины \(F\) за счёт её дополнительной деформации добавится сила \(F/2\) (поскольку коэффициент жёсткости нижней пружины вдвое меньше). Поэтому \[mg = \frac{3}{2}F.\]

Таким образом, масса тела может принимать два значения: \[m_1 = \frac{3F}{g}, \qquad m_2 = \frac{3F}{2g}.\]

Подсказка

Подумайте, до какого момента масло может перетекать в широкий сосуд, и какое давление на дно широкого сосуда создают масло и вода в этот момент.

Ответ

\(V_{\max} = \dfrac{85}{32}\,\pi R^2 h\).

Решение

Пока в сосуде есть только вода, её уровень в обоих коленах одинаковый. Когда мы наливаем масло в узкое колено, оно размещается выше воды (плотность масла меньше), давление в узком сосуде увеличивается, и масло выталкивает воду в широкое колено. Когда вся вода перейдёт в широкое колено (а оно ещё не будет заполнено доверху — его объём больше имеющейся у нас воды), туда из узкого колена начнёт перетекать и масло. В результате жидкость дойдёт до верхнего края широкого колена и далее будет выливаться из сосуда. Поэтому максимальный объём масла — это такой объём масла, который обеспечивает полное заполнение широкого колена и такое давление масла в узком колене, которое равно давлению жидкости в широком колене. Найдём этот объём.

Во-первых, объём воды в сосуде равен \[V_{\text{в}} = \pi R^2\,\frac{h}{2} + \pi (2R)^2\,\frac{h}{2} = \frac{5}{2}\pi R^2 h.\] Объём широкого колена равен \(4\pi R^2 h\), поэтому объём масла, необходимый для заполнения широкого колена, есть \[V_1 = 4\pi R^2 h - \frac{5}{2}\pi R^2 h = \frac{3}{2}\pi R^2 h.\] Эта жидкость обеспечивает следующее давление около дна широкого сосуда: \[p = \frac{\frac52\pi\rho g R^2 h}{4\pi R^2} + \frac{\frac32\pi\cdot\frac45\rho g R^2 h}{4\pi R^2} = \frac{5}{8}\rho g h + \frac{3}{10}\rho g h = \frac{37}{40}\rho g h.\] Масло в узком колене должно обеспечить это же давление, поэтому высота уровня масла в узком колене находится из равенства \[\frac{4}{5}\rho g h_1 = \frac{37}{40}\rho g h \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{37}{32}\,h.\] Объём этого масла равен \[V_2 = \frac{37}{32}\pi R^2 h.\] Отсюда находим полный объём масла, который можно налить в узкое колено сосуда: \[V = V_1 + V_2 = \frac{3}{2}\pi R^2 h + \frac{37}{32}\pi R^2 h = \frac{85}{32}\pi R^2 h.\]

Подсказка

Покажите, что при параллельном соединении одинаковых вольтметров сумма их показаний равна току в подводящей ветви, умноженному на сопротивление одного вольтметра. Затем запишите закон Ома для первой и второй схем.

Ответ

\(6U\).

Решение

Очевидно, что если в проводник, по которому течёт ток \(I\), включены параллельно какое-то количество одинаковых вольтметров, то сумма показаний всех вольтметров равна произведению тока \(I\) на сопротивление одного вольтметра. Действительно, пусть имеется цепь, содержащая \(n\) вольтметров, включённых параллельно. Тогда, поскольку вольтметры одинаковы, через каждый течёт ток \(I/n\), показания каждого (а вольтметр показывает напряжение на самом себе) равны \(U_1 = IR/n\) (\(R\) — сопротивление вольтметра), а сумма показаний вольтметров равна \(nU_1 = IR\).

Когда в цепь включён один вольтметр (левая схема в условии), его показание \(U\) найдём по закону Ома для участка цепи: \[U = \frac{U_0 R}{R + r}, \qquad (*)\] где \(U_0\) — напряжение источника, \(R\) — сопротивление одного вольтметра, \(r\) — сопротивление амперметра. Когда в цепь включены два вольтметра (правая схема), сумма их показаний равна \[\frac{12}{7}U = \frac{U_0 R}{R/2 + r}. \qquad (**)\] Если в цепь включены очень много вольтметров \(n\), то сумма их показаний равна \[\frac{U_0 R}{R/n + r}. \qquad (***)\] При \(n \to \infty\) эта сумма стремится к \(\dfrac{U_0 R}{r}\). Таким образом, для нахождения суммы показаний большого количества вольтметров нужно знать величину \(\dfrac{U_0 R}{r}\). Найдём её из формул \((*)\) и \((**)\), переписав их в виде \[\frac{1}{U} = \frac{1}{U_0} + \frac{r}{U_0 R}, \qquad \frac{7}{12U} = \frac{1}{2U_0} + \frac{r}{U_0 R}.\] Умножая второе уравнение на 2 и вычитая из него первое, получим \[\frac{r}{U_0 R} = \frac{1}{6U}.\] Тогда из формулы \((***)\) заключаем, что сумма показаний большого количества вольтметров, включённых в нашу цепь, будет равна \[\frac{U_0 R}{r} = 6U.\]

Подсказка

На каких участках цикла газ получает тепло, а на каких отдаёт? Как площади треугольников 1-2-3 и 1-4-3 связаны между собой?

Ответ

\(\eta_{1431} = \dfrac{4\eta}{5 - \eta}\).

Решение

Поскольку все участки процессов — возрастающие прямые, на каждом из них газ контактирует либо только с нагревателем (и получает положительное тепло), либо только с холодильником (отдаёт положительное тепло). Очевидно, что в процессе 1-2-3-1 контакт с нагревателем имеет место в процессах 1-2 и 2-3, контакт с холодильником — в процессе 3-1. Поэтому \[\eta = \eta_{1231} = \frac{A_{1-2-3-1}}{Q_{1-2-3}},\] где \(A_{1-2-3-1}\) — работа газа за цикл 1-2-3-1, \(Q_{1-2-3}\) — количество теплоты, полученное газом в процессе 1-2-3. Эту же формулу можно переписать через количество теплоты, отданное холодильнику. Поскольку тепло отдаётся холодильнику в процессе 3-1, а \(A_{1-2-3-1} = Q_{1-2-3} - Q_{3-1}\), где \(Q_{3-1}\) — количество теплоты, переданное холодильнику в процессе 3-1, то \[\eta = \frac{A_{1-2-3-1}}{A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{1}{1 + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}. \qquad (*)\] Так как треугольники 123 и 143 имеют одинаковую высоту, а основание треугольника 143 составляет \(4/5\) от основания треугольника 123, то площадь треугольника 143 составляет \(4/5\) от площади треугольника 123. Поэтому работа газа в цикле 1-4-3-1 составляет \(4/5\) от работы газа в цикле 1-2-3-1: \[A_{1-4-3-1} = \frac{4}{5}A_{1-2-3-1}.\] А поскольку в циклах 1-2-3-1 и 1-4-3-1 одинаковый участок, где происходит контакт с холодильником, то количество теплоты, переданное в них холодильнику, одинаковое. Поэтому для КПД цикла 1-4-3-1 имеем \[\eta_{1431} = \frac{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1}}{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{5} + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}. \qquad (**)\] Выражая отношение \(Q_{3-1}/A_{1-2-3-1} = \dfrac{1}{\eta} - 1\) из формулы \((*)\) и подставляя его в \((**)\), получим \[\eta_{1431} = \frac{\frac{4}{5}\eta}{\frac{4}{5}\eta + 1 - \eta} = \frac{4\eta}{5 - \eta}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для левого груза, для верхнего блока и для системы «нижний блок — груз». Затем установите связь между перемещениями этих тел через длину нити.

Ответ

\(a_1 = a_3 = \dfrac{4}{5}g\) (левый груз и система «нижний блок — груз», вниз); \(a_2 = \dfrac{6}{5}g\) (верхний блок, вниз).

Решение

Силы, действующие на тела и блоки, показаны на рисунке, причём модули сил \(T\) и \(T'\) равны друг другу (поскольку это силы натяжения одной и той же безмассовой нити). Второй закон Ньютона для левого тела, верхнего блока и системы «нижний блок — тело» в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[m a_1 = mg - T, \qquad 2m a_2 = 2mg + 2T, \qquad 2m a_3 = 2mg - 2T,\] где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) — ускорения левого груза, верхнего блока и системы «нижний блок — тело» соответственно. Поскольку первое и третье уравнения отличаются только множителем 2, то \(a_1 = a_3\). Поэтому только два уравнения системы независимы: \[m a_1 = mg - T, \qquad 2m a_2 = 2mg + 2T. \qquad (*)\] Установим теперь связь ускорений. Во-первых, очевидно, что и левое тело, и система «нижний блок — тело» движутся вниз (если бы их ускорения были разные, одно из них могло бы двигаться вверх; одновременно двигаться вверх они не могут). Далее, поскольку у левого тела и системы «нижний блок — тело» одинаковые ускорения, они движутся совершенно одинаково и совершают одинаковые перемещения за одинаковые интервалы времени. Поэтому, если за некоторый интервал времени левое тело переместилось вниз на величину \(\Delta x\), то система «нижний блок — тело» переместилась вниз на такую же величину. Для таких перемещений потребуется лишняя нить длиной \(3\Delta x\). Эта нить может освободиться только за счёт перемещения верхнего блока, который должен, таким образом, сместиться вниз на величину \(3\Delta x/2\). А следовательно, для ускорений имеет место связь \[a_2 = \frac{3}{2}a_1. \qquad (**)\]

Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), найдём \[a_1 = a_3 = \frac{4}{5}g, \qquad a_2 = \frac{6}{5}g.\]