зад 1 Мальчики на доске
На концах невесомой доски длиной \(l\) стоят мальчики, массы которых равны \(m\) и \(1{,}5m\). Посередине доски находится опора. Мальчики начинают аккуратно двигаться к середине доски со скоростями \(v\) и \(2v\) соответственно. Через какое время доска окажется в горизонтальном положении?
▶ПодсказкаСкрыть
Доска выровняется, когда моменты сил тяжести мальчиков относительно опоры станут одинаковыми. Выразите расстояния мальчиков до опоры через время \(t\).
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{l}{8v}\).
▶РешениеСкрыть
В начальный момент перевешивает более тяжёлый мальчик, поскольку плечи рычага от опоры до мальчиков одинаковы, а масса больше. Доска придёт в горизонтальное положение в тот момент, когда моменты сил тяжести мальчиков относительно опоры станут одинаковыми: \[m\left(\frac{l}{2} - vt\right) = \frac{3}{2}\,m\left(\frac{l}{2} - 2vt\right).\] Отсюда находим \(t = \dfrac{l}{8v}\).
зад 2 Испаряющиеся жидкости на весах
На двое весов поставили два одинаковых цилиндрических стакана и налили в них одинаковые объемы двух разных жидкостей. Разность показаний весов при этом составила \(\Delta m\). Стаканы оставили открытыми, и жидкости начали испаряться. Известно, что скорость испарения (по объему) более тяжелой жидкости вдвое больше скорости испарения более легкой. Оказалось, что максимальная величина разности показаний весов составила \(2\Delta m\). Найти отношение плотности более легкой жидкости к более тяжелой.
▶ПодсказкаСкрыть
Разность показаний будет максимальной, когда полностью испарится более тяжёлая жидкость. Что будет к этому моменту с объёмом легкой жидкости?
▶ОтветСкрыть
\(\rho_{\text{легк}}/\rho_{\text{тяж}} = \dfrac{4}{5}\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку объёмы жидкостей вначале одинаковы, масса тяжёлой жидкости больше. Для плотностей \(\rho_1\) и \(\rho_2\) и объёма стакана \(V\) выполнено условие \[(\rho_1 - \rho_2)\,V = \Delta m.\] Так как тяжёлая жидкость испаряется вдвое быстрее, разность показаний весов сначала уменьшается, затем становится равной нулю и потом растёт. Максимальная разность масс будет тогда, когда тяжёлая жидкость полностью испарится; в этот момент лёгкая жидкость занимает половину объёма стакана: \[\rho_2\,\frac{V}{2} = 2\,\Delta m.\] Деля первое равенство на второе, получаем \(\dfrac{2(\rho_1 - \rho_2)}{\rho_2} = \dfrac{1}{2}\), откуда \(\dfrac{\rho_1}{\rho_2} = \dfrac{5}{4}\), где \(\rho_1\) — плотность тяжёлой жидкости. Следовательно, \(\dfrac{\rho_{\text{легк}}}{\rho_{\text{тяж}}} = \dfrac{4}{5}\).
зад 3 Тело на двух пружинах в рамке
Тело прикрепляют с помощью двух пружин, коэффициенты жесткости которых отличаются вдвое, к прямоугольной рамке. При этом тело может двигаться только вдоль длинной стороны рамки. Когда рамку расположили горизонтально (см. рисунок), тело оказалось точно посередине рамки, при этом пружины действуют на тело с силами \(F\). Когда рамку расположили вертикально так, что более жесткая пружина находится вверху, одна из пружин оказалась недеформированной. Найти массу тела. Считать, что для любых деформаций пружин справедлив закон Гука.
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите два случая: в горизонтальном положении пружины растянуты или сжаты. Какая пружина при повороте рамки станет недеформированной и как изменится сила со стороны второй пружины?
▶ОтветСкрыть
\(m_1 = \dfrac{3F}{g}\) или \(m_2 = \dfrac{3F}{2g}\).
▶РешениеСкрыть
Условию задачи не противоречат два положения — когда в горизонтальном положении пружины растянуты или сжаты.
Пусть в горизонтальном положении пружины растянуты. При повороте рамки растяжение нижней пружины должно уменьшиться, а верхней — увеличиться, поэтому нижняя пружина станет недеформированной, а груз будет удерживать верхняя пружина. Укорочение нижней пружины равно удлинению верхней, поэтому сила со стороны нижней пружины пропадает, а со стороны верхней добавляется сила \(2F\). Отсюда \(m_1 = \dfrac{3F}{g}\).
Пусть в горизонтальном положении обе пружины сжаты. Тогда в вертикальном положении недеформированной будет верхняя пружина, а силу тяжести компенсирует нижняя. Дополнительное удлинение верхней пружины равно дополнительному укорочению нижней, и к силе упругости нижней пружины \(F\) добавляется сила \(F/2\) (коэффициент жёсткости нижней пружины вдвое меньше). Поэтому \(m_2 = \dfrac{3F}{2g}\).
зад 4 Равнодействующая ста и пятидесяти сил
На тело действуют силы: \(F_1 = 1\) Н, \(F_2 = 2\) Н, \(F_3 = 3\) Н, …, \(F_{100} = 100\) Н, направленные в одну сторону, и силы \(F'_1 = 3\) Н, \(F'_2 = 6\) Н, \(F'_3 = 9\) Н, … \(F'_{50} = 150\) Н, направленные противоположно. Найти равнодействующую этих сил.
▶ПодсказкаСкрыть
Силы образуют арифметические последовательности: \(F_n = n\cdot 1\) Н и \(F'_n = 3n\) Н. Сумма целых чисел от \(1\) до \(N\) равна \(\dfrac{N(N+1)}{2}\).
▶ОтветСкрыть
\(F = 1225\) Н, направлена так же, как силы \(F_1, \dots, F_{100}\).
▶РешениеСкрыть
Силы \(F_1, \dots, F_{100}\) можно записать как \(F_n = n f_0\), где \(n\) — целое число, \(f_0 = 1\) Н. Суммируя, получаем \[F_1 + F_2 + \dots + F_{100} = (1 + 2 + \dots + 100) f_0 = \frac{100\cdot 101}{2} f_0 = 5050\,f_0.\] Силы \(F'_1, \dots, F'_{50}\) можно записать как \(F'_n = 3n f_0\), поэтому \[F'_1 + F'_2 + \dots + F'_{50} = 3(1 + 2 + \dots + 50) f_0 = 3\cdot\frac{50\cdot 51}{2} f_0 = 3825\,f_0.\] Равнодействующая направлена так же, как силы \(F_1, \dots, F_{100}\), и равна \[F_р = 5050\,f_0 - 3825\,f_0 = 1225\,f_0 = 1225~\text{Н}.\]
зад 5 Незнайка едет в Солнечный город
Незнайка поехал на автомобиле из Цветочного города в Солнечный город. По дороге между ними находится деревня Простоквашино. Через время \(t_1\) после выезда расстояние от Незнайки до Простоквашино оказалось вдвое большим того расстояния, которое он проехал. Когда после этого Незнайка проехал еще расстояние \(x\), расстояние от Незнайки до Солнечного города оказалось вдвое большим расстояния от него до Простоквашино. Через время \(t_2\) после этого Незнайка приехал в Солнечный город. Найти скорость автомобиля, считая ее постоянной.
▶ПодсказкаСкрыть
Условие про «вдвое большим» допускает два случая: Незнайка уже проехал Простоквашино или ещё нет. Составьте уравнения для каждого случая вместе с условием прибытия.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = \dfrac{2x}{4t_1 + t_2}\) или \(v_2 = \dfrac{2x}{4t_1 - t_2}\) (второй случай возможен при \(t_1 > t_2/4\)).
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость автомобиля \(v\), расстояние от Цветочного города до Солнечного \(L\), до Простоквашино \(l\). За время \(t_1\) автомобиль проехал \(vt_1\), и по условию \(l - vt_1 = 2vt_1\), т.е. \(l = 3vt_1\).
Через дополнительный путь \(x\) положение Незнайки \(p = vt_1 + x\). Условие «до Солнечного города вдвое дальше, чем до Простоквашино» выполняется в двух случаях.
Первый случай — Незнайка уже проехал Простоквашино: \(L - p = 2(p - l)\). Второй случай — ещё не проехал: \(L - p = 2(l - p)\).
Для прибытия в Солнечный город \(p + vt_2 = L\). Решая систему, получаем \(v_1 = \dfrac{2x}{4t_1 + t_2}\) в первом случае и \(v_2 = \dfrac{2x}{4t_1 - t_2}\) во втором.