Росатом, 2019/20, заключительный этап, 8 класс

Средняя плотность равна полной массе, делённой на полный объём. Соотношение объёмов теста и фарша найдите из соотношения толщин слоёв.

\(\rho_{\text{ср}} \approx 1{,}068\,\rho\).

Пусть плотность фарша с соусом равна \(\rho\). Тогда плотность теста \(\rho_т = 1{,}15\,\rho\).

Среднюю плотность лазаньи можно найти через её массу \(m\) и объём \(V\): \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{V} = \frac{\rho_т V_т + \rho V_ф}{V_т + V_ф},\] где \(V_т\) — объём теста, \(V_ф\) — объём фарша. Количество слоёв фарша и теста одинаково, а объём фарша на \(20\%\) больше объёма теста: \(V_ф = 1{,}2\,V_т\). Поэтому \[\rho_{\text{ср}} = \frac{1{,}15 + 1{,}2}{1 + 1{,}2}\,\rho = \frac{2{,}35}{2{,}2}\,\rho \approx 1{,}068\,\rho.\]

Запишите расстояние \(AB\) через скорость и время в пути первых двух машин, чтобы найти время выезда из города А.

\(v_3 = \dfrac{v}{2}\).

Пусть \(t_0\) — время выхода машин из города А, \(L\) — расстояние между городами. Для первой и второй машин \(L = v(t - t_0) = \dfrac{2v}{3}(t + 1 - t_0)\), откуда \(t_0 = t - 2\).

Применяя ту же формулу к первой и третьей машинам, получим \(L = v\cdot 2 = v_3\cdot 4\), откуда \(v_3 = \dfrac{v}{2}\).

За малое время найдите смещение каждого автомобиля, затем на сколько изменится длина каждого участка троса и как это связано со смещением тележки.

\(v_т = 4v\), тележка движется налево.

Пусть за некоторый малый интервал времени \(\Delta t\) правый автомобиль переместится направо на \(2v\,\Delta t\), а левый — налево на \(v\,\Delta t\). Тогда длина троса между блоками увеличивается на \(3v\,\Delta t\), значит, длина куска троса от левого блока до тележки уменьшается на эту величину. Кроме того, точка, откуда начинается этот кусок, сдвигается влево на \(v\,\Delta t\). Поэтому тележка переместится налево на \(4v\,\Delta t\). Следовательно, скорость тележки направлена налево и равна \(v_т = 4v\).

Тело находится в равновесии, поэтому натяжение нити, на которой оно висит, равно \(mg\). Найдите натяжения всех нитей через \(mg\), затем удлинения пружин по закону Гука и связь опускания груза с удлинением нитей.

\(\Delta x = \dfrac{13\,mg}{12\,k}\).

Поскольку тело находится в равновесии, сила натяжения веревки, привязанной к телу, равна \(mg\). Следовательно, сила натяжения веревки, которая охватывает все три блока, равна \(mg/2\), а сила натяжения веревки, привязывающей к полу левый блок и удерживающей центральный, равна \(mg\).

По закону Гука веревка, привязывающая к полу левый блок, растянется на \(\Delta x_1 = \dfrac{mg}{2k}\); веревка, удерживающая центральный блок, — на \(\Delta x_2 = \dfrac{mg}{3k}\); веревка, охватывающая правый блок, — на \(\Delta x_3 = \dfrac{mg}{2k}\).

Поэтому часть веревки, охватывающей правый блок, станет длиннее на \[\Delta l = 2\Delta x_1 + 2\Delta x_2 + \Delta x_3 = \frac{13\,mg}{6k},\] что приведёт к опусканию тела на \[\Delta x = \frac{\Delta l}{2} = \frac{13\,mg}{12\,k}.\]

В обоих случаях моменты силы тяжести и силы Архимеда относительно точки крепления верёвки равны. Сила Архимеда приложена к центру погружённой части палочки.