Росатом, 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Вертикальная составляющая скорости в верхней точке равна нулю: по ней найдите начальную вертикальную скорость. Затем запишите координату тела по вертикали для момента падения.

\(h \approx 18{,}8\text{ м}\).

Пусть начальная скорость камня \(v_0\), угол бросания \(\alpha\). Время подъёма на максимальную высоту определяется условием равенства нулю вертикальной составляющей скорости: \[0 = v_0\sin\alpha - gt \quad\Rightarrow\quad v_0\sin\alpha = gt.\] Полное время движения \(t_1 = 5t\) определяется из уравнения для вертикальной координаты тела (падение на землю): \[0 = h + v_0\sin\alpha\, t_1 - \frac{gt_1^2}{2}.\] Подставляя \(v_0\sin\alpha = gt\), получим \[h = \frac{1}{2}gt_1\left(t_1 - 2t\right) = \frac{15}{2}gt^2 = 18{,}8\text{ м}.\]

Рассмотрите два возможных случая: в горизонтальном положении обе пружины растянуты или обе сжаты. При переворачивании рамки удлинение одной пружины переходит в укорочение другой на ту же величину.

\(m_1 = \dfrac{3F}{g}\) или \(m_2 = \dfrac{3F}{2g}\).

Условию задачи не противоречат два положения: когда в горизонтальном положении пружины растянуты и когда они сжаты.

Первый случай: в горизонтальном положении пружины растянуты. При перевороте рамки растяжение нижней пружины уменьшается, а верхней увеличивается, поэтому нижняя пружина становится недеформированной, а груз удерживает верхняя пружина. Укорочение нижней пружины равно удлинению верхней, поэтому сила со стороны нижней пружины пропадает (было \(F\)), а со стороны верхней добавляется сила \(2F\). Отсюда \[m_1 g = 3F \quad\Rightarrow\quad m_1 = \frac{3F}{g}.\]

Второй случай: в горизонтальном положении обе пружины сжаты. Тогда в вертикальном положении недеформированной будет верхняя пружина, а силу тяжести компенсирует нижняя. Дополнительное удлинение верхней пружины равно дополнительному укорочению нижней, поэтому к силе упругости нижней пружины \(F\) добавится сила \(F/2\) (жёсткость нижней пружины вдвое меньше). Поэтому \[m_2 g = \frac{3F}{2} \quad\Rightarrow\quad m_2 = \frac{3F}{2g}.\]

Условие равновесия стакана: сила тяжести равна силе Архимеда. Покажите, что при доливании воды погружённая часть пустого объёма стакана не меняется, и используйте это при максимальном заполнении.

\(V_1 = \dfrac{2}{5}V\).

Стакан в показанном положении находится в равновесии, значит сила тяжести стакана равна силе Архимеда: \[mg = \rho g V_{\text{п.ч.}},\] где \(m\) — масса стакана, \(\rho\) — плотность воды, \(V_{\text{п.ч.}}\) — объём погружённой части стакана. Обозначим радиус узкой части через \(r\), высоту каждой части через \(h\). Тогда \[V_{\text{п.ч.}} = \pi r^2h + \pi(2r)^2\frac{h}{2} = 3\pi r^2h, \quad\text{откуда}\quad m = 3\pi\rho r^2h.\] Когда в стакан наливают воду, условие равновесия стакана с водой даёт \[(m + M)g = \rho g V_{\text{п.ч.}} \quad\Rightarrow\quad mg = g\left(\rho V_{\text{п.ч.}} - M\right) = g\rho\left(V_{\text{п.ч.}} - V\right),\] где \(M\) — масса налитой воды, \(V\) — её объём. Разность \(V_{\text{п.ч.}}-V\) — объём погружённой части стакана, в которой нет воды. Из этой формулы следует, что объём незаполненной водой подводной части стакана определяется только массой самого стакана и не меняется при доливании.

При наливании максимального объёма стакан погружается по самые края. Тогда объём незаполненной части такой же, как объём погружённой части пустого стакана, т.е. \(3\pi r^2h\). Поэтому узкую часть можно заполнить полностью, а широкую — до высоты \(x\), при которой \[\pi(2r)^2(h - x) = 3\pi r^2h \quad\Rightarrow\quad x = \frac{h}{4}.\] Максимальный объём воды \[V_1 = \pi r^2h + \pi(2r)^2x = \pi r^2h + 4\pi r^2\frac{h}{4} = 2\pi r^2h.\] Поскольку объём стакана \(V = 5\pi r^2h\), то в стакан можно налить максимальный объём воды \[V_1 = \frac{2}{5}V.\]

Составьте уравнения «расстояние = скорость \(\times\) время» для каждого участка пути. Учтите, что условие о двойном расстоянии может выполняться в двух случаях: Незнайка уже проехал Простоквашино или ещё нет.

\(v_1 = \dfrac{2x}{4t_1 + t_2}\) или \(v_2 = \dfrac{2x}{4t_1 - t_2}\) (второй случай при \(t_1 > t_2/4\)).

Пусть скорость автомобиля \(v\), расстояние между Цветочным и Солнечным городами \(L\), между Цветочным городом и Простоквашино \(l\). Для времени \(t_1\) имеем \[vt_1 = \frac{l - vt_1}{2}.\] Условию задачи могут удовлетворять две ситуации. Первая: Незнайка уже проехал Простоквашино. Тогда \[L - (vt_1 + x) = 2(vt_1 + x - l).\] Вторая: Незнайка ещё не проехал Простоквашино. Тогда \[L - (vt_1 + x) = 2\left(l - (vt_1 + x)\right).\] Для прибытия в Солнечный город \[vt_1 + x + vt_2 = L.\] Решение системы (*), (**), (4*) или (*), (***), (4*) даёт \[v_1 = \frac{2x}{4t_1 + t_2}, \qquad v_2 = \frac{2x}{4t_1 - t_2}, \quad \left(t_1 > \frac{t_2}{4}\right).\]

Найдите, как суммарное показание вольтметров связано с током через них, и запишите закон Ома для цепей с одним и двумя вольтметрами. Затем рассмотрите предел большого числа вольтметров.

\(U_{\Sigma} = 6U\).

Если в проводник с током \(I\) включены последовательно \(n\) одинаковых вольтметров, то сумма их показаний равна произведению тока на сопротивление одного вольтметра. Действительно, через каждый вольтметр течёт ток \(I/n\), показание каждого равно \(U_1 = IR/n\) (\(R\) — сопротивление вольтметра), а сумма показаний \(nU_1 = IR\).

Для одного вольтметра (левый рисунок условия) по закону Ома для всей цепи \[I = \frac{U_0}{R + r} \quad\Rightarrow\quad U = IR = \frac{U_0R}{R + r} \qquad (*)\] (\(U_0\) — напряжение источника, \(r\) — сопротивление амперметра). Для двух вольтметров (правый рисунок условия) \[I = \frac{U_0}{(R/2) + r} = \frac{2U_0}{R + 2r} \quad\Rightarrow\quad \frac{12}{7}U = IR = \frac{2U_0R}{R + 2r} \qquad (**)\] Если включено очень много вольтметров \(n\), то сумма их показаний \[I = \frac{U_0}{(R/n) + r} = \frac{nU_0}{R + nr} \approx \frac{U_0}{r} \quad\Rightarrow\quad U_\Sigma = IR = \frac{U_0R}{r} \qquad (***)\] Чтобы найти величину \(U_0R/r\), «переворачиваем» формулы (*) и (**): \[\frac{1}{U} = \frac{1}{U_0} + \frac{r}{U_0R}, \qquad \frac{7}{12U} = \frac{1}{2U_0} + \frac{r}{U_0R}.\] Умножая первое уравнение на \(\tfrac{1}{2}\) и вычитая его из второго, получим \[\frac{r}{U_0R} = \frac{1}{6U}.\] Тогда из формулы (***) сумма показаний большого количества вольтметров равна \[U_\Sigma = 6U.\]