Росатом, 2021/22, отборочный этап, 9 класс

Сравните пути, которые машины проехали до первой и до второй встречи. Что можно сказать об отношении времён?

\(AB = \dfrac{18\,l}{7}\).

Пусть расстояние \(AB\) равно \(x\). Сумма расстояний, пройденных машинами до первой встречи, равна \(x\), а до второй встречи (после разворотов) — \(3x\). Действительно, до второй встречи каждая машина доедет до второго города (в сумме \(2x\)) и проедет расстояние от него до места встречи другой машиной (в сумме \(x\)). Поэтому, если время до первой встречи машин — \(t\), до второй встречи — \(3t\), и, следовательно, каждая из машин прошла до второй встречи втрое большее расстояние, чем до первой.

Значит, машина, выехавшая из города А, пройдёт до второй встречи расстояние \(3l\). С другой стороны, это расстояние равно расстоянию между городами плюс расстоянию от города В до точки второй встречи: \[3l = x + \frac{3l}{7}.\] Отсюда \(x = \dfrac{18\,l}{7}\).

Подумайте, какой шар погружён целиком, а какой только частично. Сравните вес системы шаров с суммой архимедовых сил.

\(\rho_2 = \dfrac{2}{3}\,\dfrac{\rho_0\rho_1}{2\rho_1-\rho_0}\).

Поскольку один из шаров погружён в жидкость целиком, а второй нет, то первый шар тонет в жидкости, второй плавает. Следовательно, шар большей плотности (меньшего объёма) находится внизу, шар меньшей плотности (большего объёма) — вверху; именно он погружён в жидкость не полностью (см. рисунок). Используем далее условие плавания системы шаров.

Пусть масса каждого шара равна \(m\). Тогда объёмы шаров \(V_1\) и \(V_2\) можно найти как \[V_1 = \frac{m}{\rho_1}; \qquad V_2 = \frac{m}{\rho_2},\] где \(\rho_2\) — плотность шара большего объёма. Поскольку в жидкость погружён целиком первый шар (объём \(V_1\)) и две трети объёма \(V_2\), условие плавания системы шаров даёт \[2mg = \rho_0 g\,\frac{m}{\rho_1} + \rho_0 g\,\frac{2}{3}\,\frac{m}{\rho_2}.\] Отсюда находим \[\rho_2 = \frac{2}{3}\,\frac{\rho_0\rho_1}{2\rho_1 - \rho_0}.\]

Одинаковые пружины, соединённые параллельно, делят силу поровну. Найдите удлинение каждой группы пружин и сложите их.

\(F = \dfrac{9}{11}\,kl\).

Пусть к концу последней пружины приложена сила \(F\). Тогда, чтобы система пружин была в равновесии, сила упругости одиночной пружины будет равна \(F\), каждой из двух параллельных пружин — \(F/2\), каждой из трёх параллельных пружин — \(F/3\). Поэтому одиночная пружина растянута на \[\Delta l_1 = \frac{F}{k},\] две параллельные пружины — на \[\Delta l_2 = \frac{\Delta l_1}{2} = \frac{F}{2k},\] три параллельные пружины — на \[\Delta l_3 = \frac{\Delta l_1}{3} = \frac{F}{3k}.\] Поэтому удлинение системы пружин равно \[\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 = \frac{F}{k} + \frac{F}{2k} + \frac{F}{3k} = \frac{11F}{6k}.\] Система растянется в \(3/2\) раза, если удлинение составит половину длины нерастянутой системы, т.е. \(0{,}5\cdot 3l = \dfrac{3}{2}\,l\). Отсюда \[\frac{11F}{6k} = \frac{3}{2}l \quad\Rightarrow\quad F = \frac{9}{11}\,kl.\]

Выразите мощность каждого нагревателя через количество теплоты и время, а затем запишите уравнение теплового баланса для суммарной мощности.

\(t = \dfrac{3\,t_1 t_2}{t_2 + 2t_1} \approx 5{,}6\) мин.

Пусть мощность первого нагревателя равна \(w_1\), второго — \(w_2\). Тогда из условий нагревания объёма воды на \(\Delta T\) и \(2\Delta T\) имеем \[w_1 t_1 = cm\,\Delta T, \qquad w_2 t_2 = cm\cdot 2\Delta T.\] Отсюда находим мощности нагревателей \[w_1 = \frac{cm\,\Delta T}{t_1}, \qquad w_2 = \frac{cm\cdot 2\Delta T}{t_2}.\] Поэтому из условия теплового баланса для нагревания объёма воды на \(3\Delta T\) \[(w_1 + w_2)\,t = cm\cdot 3\Delta T,\] где \(t\) — искомое время, получим \[t = \frac{3t_1 t_2}{t_2 + 2t_1} = 5{,}6~\text{мин}.\]

Найдите скорость тела у дощечки по закону сохранения энергии. Как после удара направлена скорость и от чего зависит горизонтальная дальность полёта?

\(h = \dfrac{H}{2}\);  \(S_{\max} = H\).

Когда тело долетит до дощечки, оно приобретёт скорость \(v\), которую можно найти по закону сохранения энергии: \[mg(H - h) = \frac{mv^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2g(H - h)}.\] После отражения от дощечки вертикальная составляющая скорости тела будет равна нулю, а горизонтальная равна скорости \(v\) (так как дощечка наклонена под углом \(45^\circ\) к горизонту). Поэтому время падения тела на землю (после удара) \(t\) равно времени свободного падения без начальной скорости с высоты \(h\): \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] А поскольку по горизонтали тело движется равномерно, то расстояние ВС определяется соотношением \[S_{BC} = vt = \sqrt{2g(H - h)}\,\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)}.\] Подкоренное выражение \(h(H - h)\) как функция переменной \(h\) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, которая при \(h = 0\) или при \(h = H\) принимает одинаковое значение \(h(H - h) = 0\). Поэтому максимального значения она достигает при \(h = H/2\). Максимальное значение расстояния \(S_{BC}\) можно найти, подставив значение \(h = H/2\) в формулу для \(S_{BC}\): \[S_{BC}^{\max} = H.\]