Росатом, 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Перелёт длился \(5\) часов; время в городе В на \(3\) часа меньше, чем в городе А.

Пусть время полёта из А в В и из В в А равно \(x\), а время в городе В отстаёт от времени в городе А на \(\tau\). Тогда полёт туда и полёт обратно дают уравнения \[x - \tau = t_2 - t_1 = 2, \qquad x + \tau = (t_4 + 24) - t_3 = 8,\] где при записи второго уравнения учтено, что \(6\) часов утра следующего дня соответствуют \(30\) часам по шкале, в которой отсчитывается \(t_3\). Складывая уравнения, находим \(x = 5\) часов, а вычитая — \(\tau = 3\) часа.

\(\rho = \dfrac{2}{3}\,\rho_0\).

Пусть масса и объём одного бруска равны \(m\) и \(V\), а объём его погружённой части равен \(V_1\). Условие плавания одного бруска по закону Архимеда: \[mg = \rho_0 g V_1.\] Два бруска имеют массу \(2m\). Над водой оказывается объём \(V_1\), поэтому погружённый объём двух брусков равен \(2V - V_1\), и условие плавания: \[2mg = \rho_0 g\,(2V - V_1).\] Деля второе уравнение на первое, получаем \(2 = \dfrac{2V - V_1}{V_1}\), откуда \(V_1 = \dfrac{2}{3}V\). Тогда плотность материала \[\rho = \frac{m}{V} = \rho_0\,\frac{V_1}{V} = \frac{2}{3}\,\rho_0.\]

\(T_2 \approx 29{,}8^\circ\)C.

Пусть теплоёмкость одной бутылочки равна \(C_1\), а теплоёмкость калориметра с водой равна \(C\). Уравнение теплового баланса для первой бутылочки: \[C_1\,(T_1 - t) = C\,(T - T_1),\] откуда \(\dfrac{C}{C_1} = \dfrac{T_1-t}{T-T_1} = \dfrac{28}{4} = 7\). (Вычисления можно вести в градусах Цельсия, так как в уравнение входят разности температур.)

Во втором случае калориметр с водой находится при температуре \(T_1\) и принимает две бутылочки, нагреваясь при этом до температуры \(T_2\): \[2C_1\,(T_2 - t) = C\,(T_1 - T_2).\] Подставляя \(C = 7C_1\), находим \[T_2 = \frac{2t + 7T_1}{9} = \frac{268}{9}^\circ\text{C} \approx 29{,}8^\circ\text{C}.\]

\(L = \dfrac{S\,(w^2+uv)}{2vw}\).

Перейдём в систему отсчёта, связанную с водой. В ней корабли плывут навстречу друг другу с одинаковыми скоростями \(v\), а катер в обоих направлениях движется с одинаковой скоростью \(w\). Поэтому время курсирования катера равно времени \(t\) встречи кораблей: \[t = \frac{S}{2v}.\] Пусть \(t_1\) — полное время движения катера «по течению» (к второму кораблю), а \(t_2\) — полное время движения «против течения». Тогда \[t_1 + t_2 = t.\] В системе воды корабли встречаются посередине между начальными положениями, поэтому катер в одном направлении проходит на \(S/2\) больше, чем в другом: \[w t_1 - w t_2 = \frac{S}{2}.\] Отсюда \[t_1 = \frac{t}{2} + \frac{S}{4w} = \frac{S}{4v} + \frac{S}{4w}, \qquad t_2 = \frac{S}{4v} - \frac{S}{4w}.\] В системе берега катер движется по течению со скоростью \(w+u\), против течения — со скоростью \(w-u\), поэтому пройденный им путь \[L = (w+u)\,t_1 + (w-u)\,t_2 = \frac{wS}{2v} + \frac{uS}{2w} = \frac{S\,(w^2+uv)}{2vw}.\]

\(R_{\text{об}} = \dfrac{5}{48}\,R\).

Каждая окружность точками пересечения делится на четыре дуги, каждая из которых имеет сопротивление \(R/4\). Точки пересечения (шесть точек, по две на каждом диаметре) вместе с дугами образуют сеть, в которой каждая точка соединена дугами с четырьмя соседними. Такая сеть — это рёбра октаэдра, каждое ребро которого является дугой с сопротивлением \(R/4\).

Цепь симметрична относительно плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и ось симметрии рисунка. Токи в «входящих» и «выходящих» проводах, симметричных относительно этой плоскости, одинаковы, поэтому перетекания зарядов в точках пересечения проводов между симметричными участками нет, и разрывы цепи в точках пересечения, лежащих на плоскости симметрии, не меняют распределения токов. После разрывов цепь становится неразветвлённой и сводится к последовательно-параллельному соединению резисторов \(R/4\).

Сопротивление сети между соседними вершинами октаэдра, составленной из одинаковых рёбер сопротивления \(r\), равно \(\dfrac{5}{12}\,r\). При \(r = R/4\) получаем \[R_{\text{об}} = \frac{5}{12}\cdot\frac{R}{4} = \frac{5}{48}\,R.\]