Росатом, 2022/23, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

Выразите массы вырезанных кубиков через массу большого куба. Какое отношение рёбер у вырезанного и исходного кубов?

Ответ

\(M = \dfrac{3}{4}\,m\).

Решение

Пусть ребро куба равно \(a\), а плотность \(\rho\). Тогда его масса определяется через связь массы, плотности и объёма \[m = a^3\rho,\] где \(a^3\) — объём куба. Поскольку вырезанные кубики касаются вершинами в центре, их рёбра равны \(a/2\). Поэтому массы \(m_1\) вырезанных кубиков равны \[m_1 = \frac{a^3}{8}\,\rho = \frac{m}{8},\] а масса \(M\) оставшейся части тела — \[M = m - 2m_1 = \frac{3}{4}\,m.\]

Подсказка

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Время на каждом участке равно участку пути, делённому на скорость на нём.

Ответ

\(v_{ср} = \dfrac{5v_1v_2}{v_2 + 4v_1} = 54{,}5\) км/ч.

Решение

По определению средней скорости \[v_{ср} = \frac{S}{t},\] где \(S\) — весь путь, \(t\) — затраченное на весь путь время. Это время найдём через известные скорости автомобиля на первой и второй частях пути: \[t = \frac{S}{5v_1} + \frac{4S}{5v_2} = \frac{S\,(v_2 + 4v_1)}{5v_1v_2}.\] Отсюда \[v_{ср} = \frac{5v_1v_2}{v_2 + 4v_1} = 54{,}5~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Плотность снега — отношение массы снега к занимаемому им объёму. Масса снега равна массе полученной воды.

Ответ

\(\rho = 150\) кг/м\(^3\).

Решение

Плотность выпавшего снега равна отношению его массы к объёму, который он занимает. Объём \(V_c\) этого снега — половина бака: \[V_c = \frac{1}{2}\,a^3,\] а масса \(m\) равна массе воды, которая получается из этого снега: \[m = V\rho_0.\] Отсюда находим плотность свежевыпавшего снега: \[\rho = \frac{2V\rho_0}{a^3} = 150~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Найдите перемещения автомобилей за малый промежуток времени \(\Delta t\) и выразите через них перемещение тележки, учитывая, что длина троса между блоками и тележкой меняется.

Ответ

\(v_т = 4v\) (тележка движется налево).

Решение

Пусть в некоторый момент времени машины и тележка занимают некоторые положения, и пусть после этого момента проходит некоторый интервал времени \(\Delta t\). Найдём, насколько переместится за это время тележка. Поскольку правая машина переместится направо на расстояние \(2v\Delta t\), а левая машина переместится налево на расстояние \(v\Delta t\), то длина верёвки между блоками стала больше на величину \(3v\Delta t\). Значит, длина куска верёвки от левого блока до тележки стала короче на эту величину. И, кроме того, та точка, откуда начинается этот кусок, передвинулась влево на \(v\Delta t\). Поэтому тележка переместится налево на \(4v\Delta t\). Следовательно, скорость тележки направлена налево и равна \[v_т = 4v.\]

Подсказка

Сумма путей, пройденных машинами между двумя соседними встречами, равна удвоенному расстоянию между городами. Что можно сказать о пути, который проходит каждая машина между встречами?

Ответ

2023 встреча произойдёт на расстоянии \(4S/5\) от города А; машина, разворачивающаяся в городе А, пройдёт до 2023 встречи расстояние \(\dfrac{12138}{5}S = 2427{,}6\,S\).

Решение

Очевидно, сумма расстояний, пройденных машинами от одной встречи до другой, равна удвоенному расстоянию между городами. Поэтому от одной встречи до следующей каждая машина проходит одинаковое расстояние. А поскольку машины начали движение из точки, лежащей на расстоянии \(2S/5\) от города А, а встретились на расстоянии \(S/5\) от В, то та машина, которая разворачивается в городе А, прошла от старта до первой встречи со второй машиной расстояние \(6S/5\). Между первой и второй встречей эта машина пройдёт такое же расстояние, поэтому вторая встреча машин произойдёт в точке старта. Третья встреча — в той же точке, что и первая. Таким образом, все нечётные встречи машин будут происходить в точке, лежащей на расстоянии \(S/5\) от города В (или \(4S/5\) от города А), а все чётные — в точке старта.

Поэтому 2022 встреча машин состоится в точке старта, 2023 — в той же точке, что и первая встреча, т.е. на расстоянии \(S/5\) от города В и на расстоянии \(4S/5\) от города А.

Поскольку от старта до первой встречи та машина, которая разворачивается в городе А, прошла расстояние \(2S/5 + 4S/5 = 6S/5\), то такое же расстояние она пройдёт от каждой встречи до следующей. Поэтому от старта до 2023 встречи эта машина пройдёт расстояние \[L = 2023\cdot\frac{6S}{5} = \frac{12138}{5}\,S = 2427{,}6\,S.\]