Росатом, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Условие равновесия поршня в обоих состояниях: давления в левой и правой частях равны. Учтите, что количество вещества в каждой части не меняется.

\(T_1/T_2 = 9/4\).

Условие равновесия перегородки в начальном положении даёт \[\frac{\nu_1 R T_1}{V_1} = \frac{\nu_2 R T_2}{V_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{V_1 T_2}{V_2 T_1},\] где \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количество вещества газа в левой и правой частях сосуда. После выравнивания температур (неважно, с потерей энергии или нет) условие равновесия перегородки даёт \[\frac{\nu_1 R T}{V_1'} = \frac{\nu_2 R T}{V_2'} \quad\Rightarrow\quad \frac{V_1'}{V_2'} = \frac{\nu_1}{\nu_2}.\] Откуда, используя отношение количеств вещества газа в левой и правой частях сосуда, получим \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{V_1 V_2'}{V_2 V_1'} = \frac{9}{4}.\]

Передвиньте соединительные провода так, чтобы все резисторы оказались между двумя общими узлами.

\(R_{\text{об}} = R/2 = 5\) Ом.

С помощью деформации соединительных проводов (что не меняет сопротивления исходной цепи) данную в условии электрическую цепь можно привести к такому виду, из которого очевидно, что резисторы соединены параллельно (см. рисунок). Поэтому общее сопротивление \(R_{\text{об}}\) этой цепи можно найти как \[\frac{1}{R_{\text{об}}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} + \frac{1}{3R} \quad\Rightarrow\quad R_{\text{об}} = \frac{R}{2}.\]

Выберите ось вращения в шарнире и запишите уравнение моментов относительно неё. Минимальная сила имеет наибольшее плечо.

\(F = \dfrac{\sqrt{15}}{24}\,mg\).

Поскольку треугольник находится в равновесии, то сумма сил, действующих на треугольник, и сумма моментов этих сил относительно любой точки равны нулю. Воспользуемся уравнением моментов относительно шарнира. Ненулевые моменты имеют сила тяжести и внешняя сила \(\vec F\), удерживающая треугольник в рассматриваемом положении (эти силы показаны на рисунке). Чтобы сила \(F\) была минимальна, она должна иметь максимальное плечо относительно шарнира, т.е. точка её приложения должна быть максимально удалена от шарнира, а вектор \(\vec F\) должен быть перпендикулярен отрезку, связывающему эту точку и шарнир (см. рисунок). Эту силу можно было бы приложить и к другой вершине, перпендикулярно другой стороне; ответ для минимальной силы не изменился бы.

Сила тяжести приложена к центру тяжести тела, который делит медиану \(AC\) в отношении \(2{:}1\). Поэтому её плечо равно двум третьим отрезка \(CD\), который можно найти как \[CD = BC\sin(\angle ACB).\] А поскольку основание треугольника вдвое меньше его боковой стороны, то \[\cos(\angle ACB) = \frac{1}{4}.\] Находя далее \(\sin(\angle ACB)\) с помощью основного тригонометрического тождества, найдём момент силы тяжести относительно шарнира \[M_{mg} = mg\,\frac{2}{3}\,CD = \frac{\sqrt{15}}{12}\,mga,\] где \(a\) — длина основания треугольника из фанеры. Поэтому условие моментов относительно шарнира даёт \[\frac{\sqrt{15}}{12}\,mga = F\cdot 2a.\] Отсюда находим \[F = \frac{\sqrt{15}}{24}\,mg.\]

Сравните требуемую центростремительную силу при первой космической скорости с силой тяжести. Что должен компенсировать двигатель при меньшей скорости?

\(F = \dfrac{3}{4}\,mg\), сила направлена от центра планеты (вертикально вверх).

Если бы спутник имел первую космическую скорость для данной планеты, то функцию центростремительной силы выполняла бы сила тяжести, и второй закон Ньютона имел бы для спутника вид \[\frac{m v_1^2}{R} = mg,\] где \(m\) — масса спутника, \(v_1\) — первая космическая скорость для планеты, \(R\) — её радиус, \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности. Поэтому, если скорость спутника меньше первой космической, то необходимо уменьшить центростремительную силу. А это может сделать двигатель, который, следовательно, должен развивать силу, направленную от центра планеты. Найдём её величину. Пусть двигатель развивает силу \(F\), направленную от центра планеты. Тогда второй закон Ньютона для спутника в проекциях на ось, направленную к центру планеты, имеет вид \[\frac{m v^2}{R} = mg - F.\] А поскольку скорость спутника \(v\) равна половине первой космической скорости, то \[\frac{m v_1^2}{4R} = mg - F.\] Учитывая предыдущую формулу, найдём \[F = \frac{3}{4}\,mg.\]

Стержень невесом, значит, силы со стороны тел на него направлены вдоль стержня. Вспомните, что нерастяжимый стержень связывает проекции ускорений своих концов на его направление.

\(a_c = \dfrac{\sqrt{3}}{8}\,g\), направлено горизонтально в сторону лёгкого тела; \(T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg\), стержень сжат.

На тела действуют силы тяжести, силы реакции стенок лунки и силы натяжения стержня. А так как стержень не имеет массы, то сумма сил и моментов сил, действующих на стержень со стороны тел, должны равняться нулю. Поэтому эти силы могут быть направлены только вдоль стержня. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке, причём величины сил \(\vec T\) и \(\vec T'\) равны.

Так как в первый момент после отпускания скорости тел равны нулю, то ускорения тел сонаправлены скоростям. Поэтому ускорения тел направлены параллельно поверхности лунки — вверх для тела массой \(m\) и вниз для тела массой \(3m\). Далее. Поскольку длина стержня равна радиусу лунки, то углы, отмеченные дугами на рисунке, равны \(60^\circ\). Поэтому проекция второго закона Ньютона на оси, направленные вдоль поверхности лунки (вверх для первого тела, вниз для второго), даёт \[m a_1 = T\cos(30^\circ) - mg\cos(60^\circ), \qquad 3m a_2 = 3mg\cos(60^\circ) - T\cos(30^\circ),\] где \(a_1\) — ускорение тела массой \(m\), \(a_2\) — ускорение тела массой \(3m\). Поскольку стержень нерастяжим, то проекции скоростей (и ускорений) его концов на направление стержня одинаковы: \[a_1\cos(30^\circ) = a_2\cos(30^\circ) \quad\Rightarrow\quad a_1 = a_2.\] В результате из второго закона Ньютона получаем \[a_1 = a_2 = \frac{1}{4}\,g, \qquad T = \frac{\sqrt{3}}{2}\,mg.\] Очевидно, ускорение \(\vec a_c\) центра стержня следующим образом связано с ускорениями его концов: \[\vec a_c = \frac{\vec a_1 + \vec a_2}{2}.\] А так как перпендикулярные проекции векторов ускорений имеют разные знаки, то вектор ускорения центра стержня направлен вдоль стержня в сторону лёгкого тела и имеет величину \[a_c = a_1\cos(30^\circ) = a_2\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{8}\,g.\] В результате имеем окончательно: \(a_c = \dfrac{\sqrt{3}}{8}\,g\), направлено горизонтально в сторону лёгкого тела, \(T = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,mg\), стержень сжат.