Росатом, 2023/24, отборочный этап, 8 класс

Представьте шар как набор тонких слоёв, перпендикулярных току, и вспомните, как сопротивление проводника зависит от его площади поперечного сечения.

Наибольшая мощность выделяется в точках присоединения проводов, т.е. около полюсов шара, где сопротивление слоя максимально.

Если мысленно разбить шар на слои, перпендикулярные направлению тока, то шар можно рассматривать как последовательно соединённые резисторы с разным сопротивлением. При последовательном соединении ток через каждый резистор одинаков, поэтому выделяемая мощность максимальна там, где максимально сопротивление. А поскольку сопротивление обратно площади поперечного сечения проводника, то наибольшим сопротивлением обладают участки около полюсов шара (точек присоединения проводов). Поэтому в этих точках и выделяется наибольшая мощность.

Запишите условие равновесия рычага для каждого из двух случаев, с плечами \(l_1\) и \(l_2\).

\(\Delta m = \dfrac{2m_2^2 - m_1^2}{m_1}\).

Условия равновесия грузов в первом и втором случае дают \[m_1 l_1 = m_2 l_2, \qquad 2m_2 l_1 = (m_1 + \Delta m)\, l_2,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — плечи весов, \(\Delta m\) — масса дополнительного груза. Деля уравнения друг на друга, находим \[\Delta m = \frac{2m_2^2 - m_1^2}{m_1}.\]

Велосипед должен всё время ехать, а каждый спортсмен — проехать на нём одинаковую долю пути. Когда все трое приходят к финишу одновременно?

Стратегия: каждый спортсмен бежит \(2/3\) пути и едет на велосипеде \(1/3\) пути; все трое финишируют одновременно. Минимальное время \(t = \dfrac{7l}{9v} = 1\) ч.

Чтобы максимально использовать велосипед, спортсмены должны двигаться так: два бегут, третий едет на велосипеде. Проехав \(1/3\) пути, третий спортсмен оставляет велосипед и дальше бежит. Когда первый и второй спортсмены добегают до велосипеда, один начинает ехать на велосипеде, второй продолжает бежать. Проехав вторую треть пути, тот спортсмен, который едет на велосипеде, оставляет велосипед и дальше бежит. Третий, добежав до велосипеда, начинает ехать на нём. В результате все три спортсмена добегают до пункта назначения одновременно, пробежав \(2/3\) пути и проехав на велосипеде \(1/3\) пути. Время прохождения дистанции равно \[t = \frac{2l/3}{v} + \frac{l/3}{3v} = \frac{7l}{9v} = 1~\text{ч}.\]

Выразите скорость эскалатора через число ступенек, которое проходит каждый друг, и приравняйте полученные выражения.

\(N = 42\).

Пусть количество ступенек на эскалаторе сверху донизу равно \(N\), длина каждой ступеньки (вдоль эскалатора) равна \(\Delta l\), первый друг совершает шаг за время \(\Delta t\), второй — за время \(2\Delta t\).

Так как первый друг сделал во время подъёма 28 шагов, то он затратил на это время \(28\Delta t\), а \(N - 28\) ступенек ушли наверху под порожек эскалатора. Поэтому скорость эскалатора равна \[v_\text{Э} = \frac{(N - 28)\Delta l}{28\Delta t}.\] Второй сделал 21 шаг, значит за время \(42\Delta t\) под верхний порожек эскалатора ушли \(N - 21\) ступенек. Поэтому скорость эскалатора будет равна \[v_\text{Э} = \frac{(N - 21)\Delta l}{42\Delta t}.\] Приравнивая эти скорости и решая уравнение относительно \(N\), получим \(N = 42\).

Между двумя последовательными моментами, когда фигуристка повёрнута лицом к партнёру, проходит одинаковое время. Сравните, на какой угол за это время поворачивается фигуристка и на какой угол — фигурист относительно неё.

\(T_\text{ф} = \dfrac{t}{n+1} = 1\) с.

Пусть фигуристка делает полный оборот за время \(t_2\). Фигурист делает один оборот вокруг партнёрши за время \(t_1 = t/2 = 5\) с. По условию между двумя моментами, когда фигуристка повёрнута лицом к партнёру, проходит время \[t_0 = \frac{t}{n-1}.\] Пусть фигуристка успевает повернуться за это время на угол \(\alpha\). Тогда \[t_0 = \frac{\alpha}{360^\circ}\, t_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{t_2} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\frac{1}{t_0}.\] С другой стороны, фигурист за это время успевает повернуться на угол \(360^\circ + \alpha\), и \[t_0 = \frac{360^\circ + \alpha}{360^\circ}\, t_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_0} + \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\frac{1}{t_0}.\] Вычитая второе соотношение из первого, получим \[\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_0}.\] Отсюда находим \[t_2 = \frac{t_0 t_1}{t_1 + t_0} = \frac{t}{n+1} = 1~\text{с}.\]