Росатом, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Сколько всего пути прошли машины от первой встречи до второй по сравнению с путём до первой встречи? Во сколько раз отличаются времена?

\(AB = \dfrac{9}{4}\,l\).

Сумма расстояний, пройденных машинами до первой встречи, равна расстоянию \(S\) между городами А и В. За время между первой и второй встречами машины доедут до своих пунктов, развернутся, поедут навстречу друг другу и вместе пройдут ещё расстояние \(2S\). Поэтому от первой встречи до второй суммарный путь вдвое больше \(S\) и, значит, время между встречами вдвое больше времени до первой встречи. Тогда каждая машина проходит от первой встречи до второй вдвое большее расстояние, чем до первой встречи, то есть \(2l\). За это время машина, вышедшая из А, успевает доехать до В (путь \(S - l\)) и ещё пройти \(3l/4\) до второй встречи: \[2l = (S - l) + \frac{3}{4}\,l .\] Отсюда \(S = \dfrac{9}{4}\,l\).

Масса воды в третьем стакане очевидна из закона сохранения массы. Что сохраняется при переливаниях, если теплопотерь нет?

\(t_1 = 8t/3\).

Вода не терялась и не добавлялась, поэтому в третьем стакане масса воды равна \(3m\). Сумма количеств теплоты, полученных всеми порциями воды, равна нулю, значит, сумма величин \(cmt\) по всем стаканам не меняется: \[c\,m\,2t + c\,3m\,3t + c\,4m\,t = c\,3m\,t + c\,2m\,2t + c\,3m\,t_1 ,\] где \(t_1\) — искомая температура воды в третьем стакане. Отсюда \(t_1 = \dfrac{8}{3}\,t\).

Амперметр показывает ток через себя, вольтметр — напряжение на себе. Как ток делится между ветвями с сопротивлениями?

\(r_V = 100\text{ Ом}\); \(U_2 = U_1/6 \approx 16{,}7\text{ В}\); \(r_A = 20\text{ Ом}\).

Через вольтметр \(V_1\) течёт такой же ток \(I_1\), как и через амперметр \(A_1\) (они соединены последовательно), напряжение на нём \(U_1\). По закону Ома для участка цепи сопротивление вольтметра \[r_V = \frac{U_1}{I_1} = 100\text{ Ом}.\] В узле, где цепь разветвляется, ток \(I_1\) делится на две части: \(I_1 = I_2 + I_{2V}\), где \(I_{2V}\) — ток через вольтметр \(V_2\). По закону Ома для вольтметра \(V_2\) его показание \[U_2 = I_{2V}\,r_V = (I_1 - I_2)\frac{U_1}{I_1} = \frac{U_1}{6} = 16{,}7\text{ В}.\] При разветвлении цепи ток делится в отношении, обратном отношению сопротивлений: \(\dfrac{I_2}{I_{2V}} = \dfrac{r_V}{r_A}\). Отсюда \[r_A = r_V\,\frac{I_{2V}}{I_2} = \frac{U_1\,(I_1 - I_2)}{I_1 I_2} = \frac{U_1}{5I_1} = 20\text{ Ом}.\]

Тело дважды проходит одну точку, значит, оно разворачивается. Как связаны моменты \(t_1\), \(t_2\) и момент остановки?

\(S = \dfrac{(x_1 - x_0)(t_1 + t_2)^2}{2\,t_1 t_2}\).

Тело дважды попадает в одну точку, значит, оно разворачивается, и векторы начальной скорости и ускорения направлены противоположно. Движение от начальной точки до остановки и обратно занимает одинаковое время, поэтому момент остановки находится посередине между \(t_1\) и \(t_2\): \[t_0 = \frac{t_1 + t_2}{2}.\] Скорость тела снова станет равна начальной, когда тело вернётся в начальную точку, то есть через время \(2t_0\). Так как скорость в момент \(t_0\) равна нулю, \[v_0 = a\,t_0 = a\,\frac{t_1 + t_2}{2}.\] Закон движения для момента \(t_1\): \[x_1 - x_0 = v_0 t_1 - \frac{a t_1^2}{2}.\] Подставляя \(v_0\), получаем \(x_1 - x_0 = \dfrac{a\,t_1 t_2}{2}\), откуда \[a = \frac{2(x_1 - x_0)}{t_1 t_2}.\] Путь \(S\) до момента, когда скорость равна начальной, равен удвоенному пути от начальной точки до точки остановки: \[S = 2\cdot\frac{a\,(t_1 + t_2)^2}{8} = \frac{(x_1 - x_0)(t_1 + t_2)^2}{2\,t_1 t_2}.\]

Успеет ли пружина за мгновение изменить свою деформацию? Что может измениться мгновенно, если нить нерастяжима?

\(a = \dfrac{F}{6m}\) (одинаковое для обоих тел).

В исходном положении пружина растянута, и силы упругости пружины и натяжения нити равны внешней силе: \(F_{упр} = F\), \(T = F\). Сразу после уменьшения внешней силы тела ещё не успевают переместиться, поэтому сила упругости не меняется. Сила натяжения нити может измениться, так как нить нерастяжима и возникает при бесконечно малых изменениях положений тел. Силы показаны на рисунке.

Второй закон Ньютона для тел (ускорения \(a\) и модули сил натяжения \(T_1\) и \(T_1'\) одинаковы, так как нить нерастяжима и невесома), в проекции на горизонтальную ось, направленную от тел к стенке: \[2ma = F_{упр} - T_1, \qquad ma = T_1 - \frac{F}{2}.\] Подставляя \(F_{упр} = F\) и решая систему, находим ускорения тел \[a = \frac{F}{6m}.\]