Росатом, 2024/25, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Какой объём воды вытесняет камень и что произойдёт с этой водой? Сравните изменение показаний динамометра с весом воды в объёме камня.

Ответ

\(F = 18\) Н.

Решение

Пусть объём камня \(V\). Когда камень опускают в ведёрко, из него выливается объём воды \(V\), который занимал камень. Масса ведёрка с содержимым увеличивается на \(\Delta m = \rho_1 V - \rho_0 V\), где \(\rho_1\) — плотность камня, \(\rho_0\) — плотность воды. Отсюда \[F_2 - F_1 = (\rho_1 - \rho_0)Vg = 2\rho_0 Vg = 4~\text{Н}, \qquad \rho_0 V g = 2~\text{Н}.\] При вытаскивании камня в ведёрке остаётся масса воды, меньшая первоначальной на вес воды в объёме камня, поэтому показание динамометра \[F = F_1 - \rho_0 V g = 20~\text{Н} - 2~\text{Н} = 18~\text{Н}.\]

Подсказка

Выразите время на каждом участке через длину участка и скорость, а полное время — как сумму времён на трёх участках.

Ответ

\(v_3 = \dfrac{v_1 v_2}{2v_1 - v_2}\) (этот ответ имеет смысл при \(v_2 < 2v_1\)).

Решение

Пусть треть расстояния от А до В равна \(a\). Времена движения по первой, второй и третьей третям пути равны \[t_1 = \frac{a}{v_1}, \qquad t_2 = \frac{a}{v_2}, \qquad t_3 = \frac{a}{v_3}.\] Полное время \[t = t_1 + t_2 + t_3 = a\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}\right).\] По условию \(t_2 = t/3\), то есть \[\frac{3}{v_2} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{v_3} = \frac{2}{v_2} - \frac{1}{v_1}.\] Отсюда \[v_3 = \frac{v_1 v_2}{2v_1 - v_2}.\] Эта скорость имеет физический смысл, если \(2v_1 > v_2\): иначе автомобиль не смог бы затратить на вторую треть пути треть полного времени движения.

Подсказка

Вольтметр показывает напряжение на самом себе. Через какой вольтметр течёт больший ток? Запишите закон Ома для резистора \(R_1\) и для участка с \(R_2\) и вторым вольтметром.

Ответ

\(U = \dfrac{89}{8}\) В \(\approx 11{,}1\) В; сопротивление вольтметров \(r_V = 16\) кОм.

Решение

Так как каждый вольтметр показывает напряжение на самом себе, а ток через вольтметр \(V_2\) меньше тока через вольтметр \(V_1\) (вольтметры одинаковые), то показание \(U_1 = 10\) В относится к вольтметру \(V_1\), а показание \(U_2 = U_1/10\) — к вольтметру \(V_2\).

Пусть через вольтметр \(V_1\) течёт ток \(I\). Тогда через \(V_2\) течёт ток \(I/10\), а через резистор \(R_1\) — ток \(\dfrac{9I}{10}\). Так как на резисторе \(R_1\) и на участке из \(R_2\) и \(V_2\) напряжение одинаковое, из закона Ома \[\frac{9I}{10}R = \frac{I}{10}\left(R + r_V\right),\] где \(R\) и \(r_V\) — сопротивления резистора и вольтметра. Отсюда \(r_V = 8R = 16\) кОм.

Сопротивление резистора в 8 раз меньше сопротивления вольтметра, а вольтметр \(V_2\) показывает \(U_1/10\), поэтому на резисторе \(R_2\) напряжение равно \(U_1/80\). Напряжение, приложенное к цепи: \[U = U_1 + \frac{U_1}{10} + \frac{U_1}{80} = \frac{89}{80}U_1 = \frac{89}{8}~\text{В} \approx 11{,}1~\text{В}.\]

Подсказка

Если бы грелась только вода, второй чайник закипал бы в полтора раза дольше первого. Значит, часть тепла уходит на что-то ещё. Что именно?

Ответ

\(t_3 = 13\) мин.

Решение

Если бы грелась только вода, во втором случае потребовалось бы в полтора раза больше времени, чем в первом, то есть \(7{,}5\) мин. Так как потребовалось 7 мин, часть тепла тратится на нагрев самого чайника. Учтём его теплоёмкость.

Пусть мощность нагревателя \(P\), для нагрева объёма \(V\) воды до кипения нужно количество теплоты \(Q\), а для нагрева чайника — количество теплоты \(q\). Тогда \[P t_1 = Q + q, \qquad P t_2 = \tfrac{3}{2}Q + q .\] Решая эту систему: \[Q = 2P(t_2 - t_1) = 4P~\text{мин}, \qquad q = P(3t_1 - 2t_2) = P~\text{мин}.\] Для третьего чайника с объёмом воды \(3V\): \[P t_3 = 3Q + q = 12P + P = 13P ,\] откуда \(t_3 = 4t_2 - 3t_1 = 13\) мин.

Подсказка

Растворение меняет плотность воды. Найдите плотность раствора после растворения двух третей кристалла и сравните вес остатка с \(P/3\).

Ответ

Вес оставшегося кристалла меньше \(P/3\) на \(\dfrac{P}{21} \approx 0{,}013\) Н (то есть равен \(\dfrac{2}{7}P \approx 0{,}077\) Н).

Решение

Если бы плотность воды не менялась, то вес остатка кристалла был бы ровно одной третью начального веса в воде. Но при растворении меняется плотность воды, и это нужно учесть.

Вес кристалла в воде до растворения: \(P = (\rho - \rho_0)gV\), где \(\rho\) и \(V\) — плотность и объём кристалла, \(\rho_0\) — плотность воды до растворения. Масса растворённых двух третей кристалла \(\tfrac{2}{3}\rho V\), объём воды \(4V\). Масса воды после растворения \(4\rho_0 V + \tfrac{2}{3}\rho V\), объём раствора \(4V + \tfrac{2}{3}V = \tfrac{14}{3}V\). Плотность раствора: \[\rho_1 = \frac{4\rho_0 V + \tfrac{2}{3}\rho V}{\tfrac{14}{3}V} = \frac{12\rho_0 + 2\rho}{14} = \rho_0 + \frac{1}{7}(\rho - \rho_0).\] Вес остатка кристалла (объём \(V/3\)) в растворе плотности \(\rho_1\): \[P_1 = \frac{1}{3}mg - \rho_1 g\frac{V}{3} = \frac{1}{3}(\rho - \rho_0)gV - \frac{1}{21}(\rho - \rho_0)gV = \frac{P}{3} - \frac{P}{21}.\] Таким образом, вес остатка меньше одной трети первоначального веса в воде на \(\dfrac{P}{21} = \dfrac{0{,}27}{21}~\text{Н} \approx 0{,}013\) Н.