Росатом, 2025/26, отборочный этап, 7 класс

Сравните массу опущенного тела с массой воды, которая вытекла из сосуда. Объём вытекшей воды равен объёму тела.

\(\Delta M = m\,\dfrac{\rho_1 - \rho_0}{\rho_1} \approx 87{,}2\) г (масса увеличилась).

К массе содержимого сосуда добавилась масса тела \(m\), а отнялась масса вытекшей воды \(m_1\). Так как их объёмы одинаковы (объём вытекшей воды равен объёму тела \(V\)), то изменение массы сосуда составило \[\Delta M = m - m_1 = \rho_1 V - \rho_0 V = V(\rho_1 - \rho_0) = \frac{m(\rho_1 - \rho_0)}{\rho_1} \approx 87{,}2~\text{г}.\]

Удлинение каждой пружины пропорционально силе, с которой она растянута, то есть весу всех тел, висящих ниже неё.

Нижнее тело поднялось на \(\dfrac{7}{30}\,\Delta l\).

Рассмотрим первоначальное крепление. Верхняя пружина держит все тела (массу \(10m\)), вторая сверху — массу \(9m\), третья — \(7m\), четвёртая — \(4m\). Поэтому пружины растянуты (сверху вниз) на \[\Delta l_1 = \frac{10mg}{k}, \quad \Delta l_2 = \frac{9mg}{k}, \quad \Delta l_3 = \frac{7mg}{k}, \quad \Delta l_4 = \frac{4mg}{k}.\] Величина опускания нижнего тела равна сумме удлинений всех пружин: \[\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \Delta l_4 = \frac{30mg}{k}.\] Во втором случае (сверху вниз: \(2m\), \(4m\), \(3m\), \(m\)) удлинения пружин и опускание нижнего тела составляют \[\Delta l_1' = \frac{10mg}{k}, \quad \Delta l_2' = \frac{8mg}{k}, \quad \Delta l_3' = \frac{4mg}{k}, \quad \Delta l_4' = \frac{mg}{k},\] \[\Delta l_{II} = \frac{23mg}{k} = \frac{23}{30}\,\Delta l.\] Следовательно, нижнее тело поднялось на величину \[\Delta x = \Delta l - \Delta l_{II} = \frac{7}{30}\,\Delta l.\]

Масса вытянутой проволоки равна плотности, умноженной на объём проволоки. Объём — это площадь сечения, умноженная на длину, а длина за сутки равна скорости, умноженной на время.

\(S = \dfrac{m}{\rho v t} \approx 4{,}68\) мм\(^2\), где \(t = 24\cdot60\cdot60\) с.

Объём вытянутой за сутки меди равен объёму цилиндра с основанием, равным площади сечения проволоки, и высотой, равной длине этой проволоки. Длина проволоки за время \(t\) равна \(vt\), поэтому её масса \[m = \rho S v t,\] где \(t\) — продолжительность суток. Отсюда \[S = \frac{m}{\rho v t} = 4{,}68~\text{мм}^2,\] где \(t = 24\cdot60\cdot60\) с — продолжительность суток в секундах.

За один и тот же малый интервал времени сравните перемещения балки и центрального блока. Какие блоки неподвижны, а какие поднимаются вместе с балкой?

\(v_{цб} = 3u = 3\) м/с.

Перенумеруем блоки цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 (см. рисунок). За интервал времени \(\Delta t\) балка поднимается на расстояние \(\Delta l = u\,\Delta t\). Оси блоков 2 и 4 связаны с балкой нерастяжимыми нитями, поэтому они поднимаются на такое же расстояние, а блоки 1 и 5 неподвижны. Участки нити между блоками 1 и 2, а также 4 и 5 становятся короче на \(\Delta l\). Так же становятся короче участки нити от блоков 1 и 5 до балки. Точки блоков 2 и 4, от которых начинается нить, охватывающая блок 3, поднимаются на \(\Delta l\). Значит, нить, охватывающая блок 3, удлиняется на \(6\Delta l\), и блок 3 за интервал \(\Delta t\) поднимается на расстояние \(3\Delta l\). Его скорость равна \[v_1 = 3u = 3~\text{м/с}.\]

Запишите продолжительность гудка, которую слышит обходчик, для движения к станции и от станции, учитывая скорость звука \(c\). Затем исключите \(c\).

\(T = \dfrac{2T_1 + T_2}{3}\).

Пусть поезд движется к станции и гудок начинается, когда поезд находился на расстоянии \(l\) от станции. Звук начала гудка дойдёт до обходчика через время \(t = \dfrac{l}{c}\), где \(c\) — скорость звука в воздухе. Пусть \(T\) — продолжительность гудка. За это время поезд, движущийся со скоростью \(v\), окажется на расстоянии \(l - vT\) от станции, поэтому звук окончания гудка придёт к обходчику через время \[t_1 = T + \frac{l - vT}{c} = T + t - \frac{v}{c}T\] после начала гудка. Значит, продолжительность гудка для обходчика равна \[T_1 = t_1 - t = T + \frac{v}{c}T. \tag{*}\]

Аналогично, продолжительность гудка при движении поезда от станции со скоростью \(2v\): \[T_2 = T + \frac{2v}{c}T. \tag{**}\] Умножая формулу (*) на 2 и складывая с формулой (**), получим для продолжительности гудка \[T = \frac{1}{3}\left(2T_1 + T_2\right).\] Именно такой будет продолжительность гудка, которую слышит машинист поезда, издающего эти гудки.