Росатом, 2025/26, отборочный этап, 8 класс

Найдите плотность каждого тела и сравните её с плотностью жидкости.

\(V_2 = 60\) см\(^3\); первое тело (плотность \(10\) г/см\(^3\)) утонет, второе (плотность \(5\) г/см\(^3\)) будет плавать.

Плотность первого тела \[\rho_1 = \frac{m}{V} = 10~\text{г/см}^3 .\] Плотность второго тела вдвое меньше: \[\rho_2 = \frac{\rho_1}{2} = 5~\text{г/см}^3 .\] Объём второго тела \[V_2 = \frac{3m}{\rho_2} = 6V = 60~\text{см}^3 .\] Плотность первого тела больше плотности \(\rho_0 = 8\) г/см\(^3\) жидкости, а второго меньше. Поэтому первое тело утонет, второе будет плавать.

Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, а заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда.

\(t = \dfrac{5l}{6v}\).

Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, а заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда. Поэтому разность расстояний, пройденных электричкой и товарным поездом, равна сумме длин электрички и товарного поезда: \[\frac{5}{2}\,vt - vt = l + \frac{l}{4} ,\] где \(t\) — время обгона. Отсюда \[t = \frac{5l}{6v} .\]

Световой год — расстояние, а световой километр по аналогии должен быть связан с расстоянием \(1\) км. Какую величину выражает путь в \(1\) км, пройденный светом?

Световой километр — время, за которое свет проходит расстояние 1 км; \(1\) св.км \(= \dfrac{1\text{ км}}{3\cdot10^5\text{ км/с}} \approx 0{,}33\cdot10^{-5}\) с.

Поскольку световой год — это расстояние, проходимое лучом света за год, то световой километр — это время, которое нужно лучу света для прохождения одного километра. Поэтому \[1~\text{св.км} = \frac{1~\text{км}}{3\cdot10^{5}~\text{км/с}} = 0{,}33\cdot10^{-5}~\text{с} .\]

Когда сосуды соединены, газ распределяется между ними так, что его плотность одинакова, а значит масса пропорциональна объёму. Найдите отношения объёмов сосудов.

\(M_A = m\),  \(M_B = \dfrac{7}{2}\,m\),  \(M_C = \dfrac{3}{2}\,m\).

После того как закрыли первый и открыли второй кран, масса воздуха \(m\) равномерно распределилась между сосудами \(A\) и \(B\). Значит, в сосуде \(B\) окажется масса воздуха, пропорциональная его объёму: \[m_B = \frac{V_B}{V_A + V_B}\,m = \frac{7}{9}\,m ,\] откуда \(V_B = \dfrac{7}{2}\,V_A\).

После открывания крана 3 воздух между сосудами \(A\), \(B\) и \(C\) распределился равномерно. Поэтому в сосуде \(C\) окажется масса воздуха \[m_C = \frac{V_C}{V_A + V_B + V_C}\,m = \frac{1}{4}\,m ,\] откуда \(V_C = \dfrac{3}{2}\,V_A\).

При открывании всех кранов воздух во всех сосудах будет иметь такую же концентрацию, что и атмосферный воздух. Поэтому в сосуде \(A\) масса воздуха останется такой же, как и вначале, а в сосудах \(B\) и \(C\) масса во столько же раз больше, во сколько их объёмы больше объёма сосуда \(A\): \[M_A = m, \qquad M_B = \frac{7}{2}\,m, \qquad M_C = \frac{3}{2}\,m .\]

Смещение груза равно сумме удлинений всех пружин над ним. Удлинение пружины пропорционально весу, который она держит, а нижние пружины держат меньше всего грузов.

\(\Delta l_{50} = \dfrac{151}{202}\,\Delta l\).

В положении равновесия все пружины растянуты, и смещение 100-го груза равно сумме удлинений всех пружин. Самая нижняя (сотая сверху) пружина растягивается весом \(mg\), 99-я — весом \(2mg\), 98-я — весом \(3mg\) и т.д. Поэтому по закону Гука \[\Delta l = \frac{mg}{k} + \frac{2mg}{k} + \dots + \frac{100\,mg}{k} = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 100) .\] Используя формулу суммы натуральных чисел от 1 до \(N\), \[1 + 2 + \dots + N = \frac{N(N+1)}{2} ,\] получим \[\Delta l = \frac{mg}{k}\cdot\frac{100\cdot101}{2} .\]

Найдём теперь смещение 50-го груза. Проще всего найти удлинение пружин от 51-й до 100-й и вычесть его из \(\Delta l\). Суммарное удлинение пружин с 51-й по 100-ю равно \[\Delta x = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 50) = \frac{mg}{k}\cdot\frac{50\cdot51}{2} .\] Отсюда смещение 50-го груза \[\Delta l_1 = \Delta l - \Delta x = \frac{mg}{k}\left(\frac{100\cdot101}{2} - \frac{50\cdot51}{2}\right) = \frac{50\,mg}{2k}\,(202 - 51) = \frac{50\cdot151\,mg}{2k} .\] Сравнивая с \(\Delta l\), находим \[\Delta l_1 = \frac{151}{202}\,\Delta l .\]