Росатом, 2025/26, отборочный этап, 8 класс

Давление равно силе тяжести, делённой на площадь опорной грани. Какая грань самая большая и какая самая маленькая?

\(p_1:p_2:p_3 = 1:3:8\).

Пусть самое маленькое ребро бруска равно \(a\). Тогда среднее ребро \(3a\), самое большое ребро \(8a\). Наименьшее давление брусок будет оказывать, когда он лежит на опоре самой большой гранью, т.е. гранью с площадью \(24a^2\). Среднее давление будет при опоре на грань площадью \(8a^2\), а наибольшее — на грань площадью \(3a^2\). Поэтому \[p_{\text{мен}} = \frac{mg}{24a^2}, \qquad p_{\text{ср}} = \frac{mg}{8a^2}, \qquad p_{\text{бол}} = \frac{mg}{3a^2} ,\] где \(m\) — масса бруска. Отсюда \(p_{\text{мен}}:p_{\text{ср}}:p_{\text{бол}} = 1:3:8\).

Каждая пружина растягивается весом всех тел, подвешенных ниже неё. Смещение нижнего тела равно сумме удлинений всех пружин.

Нижнее тело поднялось на \(\dfrac{7}{30}\,\Delta l\).

Рассмотрим сначала первоначальное крепление тел. Верхняя пружина держит все тела (массу \(10m\)), вторая сверху — массу \(9m\), третья — массу \(7m\), четвёртая — массу \(4m\). Поэтому удлинения пружин (начиная с верхней) равны \[\Delta l_1 = \frac{10m g}{k}, \quad \Delta l_2 = \frac{9mg}{k}, \quad \Delta l_3 = \frac{7mg}{k}, \quad \Delta l_4 = \frac{4mg}{k} .\] Поскольку опускание нижнего груза равно сумме удлинений всех пружин, \[\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 + \Delta l_4 = \frac{30\,mg}{k} .\]

Во втором случае удлинения пружин (начиная с верхней) и опускание нижнего тела равны \[\Delta l_1 = \frac{10mg}{k}, \quad \Delta l_2 = \frac{8mg}{k}, \quad \Delta l_3 = \frac{4mg}{k}, \quad \Delta l_4 = \frac{mg}{k}, \quad \Delta l_{\text{II}} = \frac{23\,mg}{k} .\] Отсюда \[\Delta l_{\text{II}} = \frac{23}{30}\,\Delta l .\] Следовательно, нижнее тело поднялось на величину \[\Delta x = \Delta l - \Delta l_{\text{II}} = \frac{7}{30}\,\Delta l .\]

Найдите положение центра тяжести согнутого стержня относительно точки подвеса и запишите условие равновесия моментов сил относительно этой точки.

\(F = \dfrac{mg}{9}\), направлена вертикально вверх.

Координата \(x\) центра тяжести согнутого стержня в системе координат, показанной на рисунке (начало — в точке изгиба, ось \(x\) горизонтальна вдоль длинной части), равна \[x_{\text{цт}} = \frac{\dfrac{m}{3}\cdot 0 + \dfrac{2m}{3}\cdot\dfrac{l}{3}}{m} = \frac{2}{9}\,l .\] Расстояние от точки крепления нити до точки изгиба равно \(\dfrac{l}{2} - \dfrac{l}{3} = \dfrac{l}{6}\), поэтому плечо \(L\) силы тяжести стержня относительно точки крепления нити \[L = \frac{2l}{9} - \frac{l}{6} = \frac{l}{18} .\] Момент силы тяжести стержня относительно точки крепления нити \[M = \frac{1}{18}\,mgl .\] Он стремится закрутить стержень по часовой стрелке. Значит, на конец длинной части нужно подействовать силой \(F\), направленной вертикально вверх, создающей такой же момент относительно точки крепления нити: \[F\cdot\frac{l}{2} = \frac{1}{18}\,mgl \quad\Rightarrow\quad F = \frac{1}{9}\,mg .\]

Продолжительность гудка для наблюдателя равна времени между приходом звука его начала и конца. Запишите это время для движения поезда от станции и к станции, учитывая, что за время гудка \(T\) поезд проходит расстояние \(vT\).

\(T = \dfrac{1}{3}\,(2T_1 + T_2)\).

Продолжительность гудка при движении поезда от станции увеличивается, потому что начало гудка испускается поездом, находящимся ближе к станции, а конец — поездом, находящимся дальше.

Пусть поезд движется от станции, и гудок начинается, когда поезд находился на расстоянии \(l\) от станции. Звук начала гудка дойдёт до обходчика через время \(t = \dfrac{l}{c}\) (\(c\) — скорость звука в воздухе). Пусть \(T\) — продолжительность гудка. За это время поезд окажется на расстоянии \(l + vT\) от станции, поэтому звук окончания гудка придёт к обходчику через время \[t_1 = T + \frac{l + vT}{c} = T + t + \frac{v}{c}\,T\] после начала гудка. Продолжительность гудка для обходчика равна \[T_1 = t_1 - t = T + \frac{v}{c}\,T .\] Аналогично, при движении поезда к станции со скоростью \(2v\): \[T_2 = T - \frac{2v}{c}\,T .\] Умножая первое равенство на 2 и складывая со вторым, получим \[T = \frac{1}{3}\,(2T_1 + T_2) .\]

Запишите уравнение теплового баланса для каждой пары тел и выразите первоначальные температуры через \(T_{12}\), \(T_{13}\), \(T_{23}\). Затем запишите баланс для всех трёх тел.

\(T_x = \dfrac{1}{4}\,T_{12} + \dfrac{3}{8}\,(T_{13} + T_{23})\).

Пусть температуры тел равны \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\). Тогда для установившихся температур \[2T_{12} = t_1 + t_2, \qquad 3T_{13} = t_1 + 2t_3, \qquad 3T_{23} = t_2 + 2t_3 .\] Решая эту систему, получим \[t_1 = \frac{3}{2}\,(T_{13} - T_{23}) + T_{12}, \quad t_2 = \frac{3}{2}\,(T_{23} - T_{13}) + T_{12}, \quad t_3 = \frac{3}{4}\,(T_{13} + T_{23}) - \frac{1}{2}\,T_{12} .\] Поэтому установившаяся температура при контакте всех трёх тел \[T_x = \frac{1}{4}\,(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}\,t_3 ,\] что дает \[T_x = \frac{1}{4}\,T_{12} + \frac{3}{8}\,(T_{13} + T_{23}) .\]