зад 1 Выстрел из пушки и отскок от плоскости
Из игрушечной пушки выстрелили маленьким тяжёлым шариком так, что он вылетел из ствола со скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Пролетев некоторое расстояние \(S\), шарик абсолютно упруго ударился о плоскость, наклонённую к горизонту под углом \(\beta\). Отскочив от плоскости и пролетев по траектории, не совпадающей с траекторией полёта из пушки до удара о плоскость, шарик упал рядом с местом выстрела. Точки выстрела и соударения с плоскостью находятся на одной высоте. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Угол выстрела \(\alpha\) монотонно увеличивается от \(15^\circ\) до \(75^\circ\). Установите соответствие между параметрами и характером их изменения.
Соотнесите параметры и характер их изменения: время полёта шарика до удара о плоскость; максимальная высота траектории при полёте от места выстрела до удара о плоскость; расстояние от точки выстрела до места удара о плоскость. Варианты характера изменения: монотонно увеличивается; монотонно уменьшается; сначала уменьшается, затем увеличивается; сначала увеличивается, затем уменьшается. В задании используются не все варианты ответа.
Угол выстрела \(\alpha = 40^\circ\). Под каким углом к горизонту подлетит шарик к месту выстрела после отскока от плоскости? Ответ выразите в градусах, округлите до целых.
Угол выстрела \(\alpha = 40^\circ\). Под каким углом \(\beta\) к горизонту должна быть расположена наклонная плоскость, чтобы после отскока шарик прилетел к месту выстрела? Запишите значение острого угла. Ответ выразите в градусах, округлите до целых.
Скорость \(v_0\), с которой вылетает шарик из пушки, составляет 10 м/с. Определите максимальное расстояние по горизонтали, которое может пролететь при такой скорости шарик. Ответ выразите в метрах, округлите до целых.
Скорость, с которой вылетает шарик из пушки, \(v_0 = 10\) м/с, угол выстрела \(\alpha = 30^\circ\). Определите расстояние между вершинами парабол, являющихся траекториями шарика при движении от пушки к плоскости и обратно. Ответ выразите в метрах, округлите до десятых.
▶ОтветСкрыть
1) время полёта — монотонно увеличивается; высота — монотонно увеличивается; расстояние — сначала увеличивается, затем уменьшается; 2) \(50^\circ\); 3) \(45^\circ\); 4) \(10\) м; 5) засчитывается в диапазоне \([2{,}4;\ 2{,}6]\) м.
▶РешениеСкрыть
1) При увеличении угла вертикальная проекция скорости \(v_y = v_0\sin\alpha\) монотонно увеличивается. Время полёта \(t = \dfrac{2v_y}{g}\) тоже монотонно возрастает. Дальность полёта \(l = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\) сначала увеличивается, достигая максимума при \(\alpha = 45^\circ\), затем уменьшается. Максимальная высота \(h = \dfrac{v_y^2}{2g}\) монотонно возрастает вместе с \(v_y\).
2) Дальность полёта одинакова при углах \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\), так как \(\sin 2\alpha\) принимает одинаковые значения при углах, сумма которых равна \(90^\circ\). При \(\alpha = 40^\circ\) обратная траектория имеет угол \(90^\circ - \alpha = 50^\circ\).
3) Чтобы после удара о наклонную плоскость шарик отскочил от неё под углом \(90^\circ - \alpha\), перпендикуляр к плоскости (и сама плоскость) должны быть наклонены к горизонту под углом \(\beta = 45^\circ\).
4) Максимальная дальность \(l_{max} = \dfrac{v_0^2}{g} = 10\) м достигается при \(\alpha = 45^\circ\).
5) Высоты парабол: \(h_1 = \dfrac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}\) и \(h_2 = \dfrac{(v_0\cos\alpha)^2}{2g}\). Расстояние между вершинами \[\Delta h = \frac{v_0^2\,|\cos 2\alpha|}{2g} = 2{,}5~\text{м}.\]
зад 2 Цикл с участками $P \sim V$
Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1 (см. рис.). Точки 1, 2, 3 и 4 не указаны на диаграммах намеренно.
Охарактеризуйте процессы для отдельных участков этого цикла: участок 1–2; участок 2–3; участок 3–4; участок 4–1. Варианты: изобарный; изохорный; изотермический; адиабатический; не относится к изопроцессам. В задании используются не все варианты.
Выберите диаграммы в координатах \(P(T)\) и \(V(T)\), соответствующие процессу 1–2–3–4–1 в координатах \(P(V)\).
Диаграммы обозначены буквами А, Б, В, Г, Д, Е.
Пусть максимальный объём в процессе в 2 раза больше минимального, а отношение давлений в точках 1 и 4 равно 3. Определите отношение максимальной температуры, выраженной в градусах Кельвина, в данном процессе к минимальной. Ответ округлите до десятых.
Пусть давление в точке 3 в 2 раза больше давления в точке 4, а температуры в точках 1 и 3 равны. Во сколько раз давление в точке 2 больше давления в точке 3? Ответ округлите до десятых.
Давления в точках 2 и 1 относятся как 2 : 1. Известно, что на участке 4–1 к газу было подведено 25 Дж теплоты. Какое количество теплоты отвели от газа на участке 2–3? Ответ выразите в джоулях, округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Участки 1–2 и 3–4 на диаграмме \(P(V)\) проходят через начало координат, то есть \(P \propto V\). Для остальных вопросов используйте уравнение состояния \(PV = RT\).
▶ОтветСкрыть
1) 1–2: не относится к изопроцессам; 2–3: изохорный; 3–4: не относится к изопроцессам; 4–1: изохорный; 2) В, Д; 3) \(12{,}0\); 4) \(4{,}0\); 5) засчитывается в диапазоне \([99;\ 101]\) Дж.
▶РешениеСкрыть
6) На участках 2–3 и 4–1 объём газа постоянен, процесс изохорный. На участках 1–2 и 3–4 имеет место прямо пропорциональная зависимость \(P(V)\), которая не соответствует ни одному из изопроцессов.
7) На участках 1–2 и 3–4 давление и объём связаны соотношением \(P = kV\), где \(k\) различен для этих участков. Из уравнения состояния \(PV = RT\) получаем \(kV^2 = RT\), откуда \(V = \sqrt{RT/k}\); аналогично \(P = \sqrt{kRT}\). С учётом этого выбираем правильные рисунки В и Д.
8) Температура газа пропорциональна произведению \(PV\), поэтому \[\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{P_2V_2}{P_4V_4} = n^2 k = 12,\] где \(n = 2\), \(k = 3\).
9) По условию \(P_3 = qP_4\) и \(V_3 = qV_4 = qV_1\) при \(q = 2\). Из равенства температур в точках 1 и 3 следует \(P_1V_1 = P_3V_3\), откуда \(\dfrac{P_1}{P_4} = q^2 = 4\). Поскольку \(\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{P_3}{P_4}\), получаем \(\dfrac{P_2}{P_3} = \dfrac{P_1}{P_4} = 4\).
10) Из пропорциональности давления и объёма на участках 1–2 и 3–4 следует \(s = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{V_3}{V_4} = \dfrac{P_2}{P_1} = 2\). Тогда \(\dfrac{T_2}{T_1} = s^2\) и \(\dfrac{T_3}{T_4} = s^2\). Количество теплоты на изохоре 4–1: \(Q = \dfrac{3}{2}R(T_1 - T_4) = 25\) Дж. Для участка 2–3 получаем \(Q_{23} = \dfrac{3}{2}R(T_2 - T_3) = s^2 Q = 100\) Дж.
зад 3 Бусинка между двумя зарядами
На непроводящей спице на расстоянии \(l\) друг от друга закреплены два положительных точечных заряда величиной \(q_1 = 4q\) и \(q_2 = q\). Между ними на спице располагается маленькая бусинка, также заряженная положительным зарядом \(q\). Бусинка может перемещаться вдоль спицы без трения.
Пусть \(l = 30\) см. Определите расстояние от бусинки до заряда \(q_2\), на котором она будет находиться в положении устойчивого равновесия. Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.
В начальный момент времени бусинку удерживают посередине между зарядами. Затем бусинку освобождают. Как меняется модуль ускорения бусинки в процессе её последующего движения от начального положения до точки максимального сближения с зарядом \(q_2\)? Варианты: монотонно уменьшается; монотонно увеличивается; сначала увеличивается, затем уменьшается; сначала уменьшается, затем увеличивается.
Пусть \(l = 30\) см. В начальный момент времени бусинку удерживают посередине между зарядами. Бусинку освобождают. На какое минимальное расстояние бусинка приблизится к заряду \(q_2\) в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.
На какое максимальное расстояние от заряда \(q_2\) будет удаляться бусинка в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.
На каком расстоянии от заряда \(q_2\) бусинка будет иметь максимальную скорость в процессе последующих колебаний? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
В положении равновесия результирующая сила на бусинку равна нулю. Энергетически удобно приравнять потенциалы поля зарядов \(q_1\) и \(q_2\) в точке старта и в точке остановки.
▶ОтветСкрыть
1) \(10{,}0\) см; 2) сначала уменьшается, затем увеличивается; 3) \(6{,}0\) см; 4) \(15{,}0\) см; 5) \(10{,}0\) см (в точке равновесия).
▶РешениеСкрыть
11) Пусть \(x\) — расстояние от точки равновесия до заряда \(q_2\), \(l - x\) — до заряда \(q_1\). Условие равновесия заряда \(q\): \[\frac{kqq_2}{x^2} = \frac{kqq_1}{(l-x)^2}, \qquad \frac{l - x}{x} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} = 2, \qquad x = \frac{l}{\sqrt{N} + 1} = 10~\text{см},\] где \(N = 4\).
12) Чем дальше от точки равновесия, тем больше отличие сил со стороны зарядов \(q_1\) и \(q_2\). Результирующая сила и ускорение минимальны (равны нулю) в точке равновесия. Поэтому модуль ускорения сначала уменьшается до нуля, затем увеличивается.
13) Потенциальная энергия бусинки в начальной точке (середина отрезка) и в точке остановки на минимальном расстоянии \(y\) от \(q_2\) одинакова: \[\frac{kq_1}{l/2} + \frac{kq_2}{l/2} = \frac{kq_1}{l-y} + \frac{kq_2}{y}.\] Решая квадратное уравнение \(2(N+1)^2 - (N+3)\,l\,y + l^2 = 0\) относительно \(y\), получаем корень \(y = \dfrac{l}{N+1} = 6\) см (второй корень \(y = l/2\) соответствует начальному положению).
14) Максимальное удаление от \(q_2\) соответствует начальной точке, середине отрезка: \(\dfrac{l}{2} = 15\) см.
15) Максимальная скорость достигается в точке равновесия, поэтому ответ совпадает с ответом на вопрос о положении точки равновесия: \(\dfrac{l}{\sqrt{N}+1} = 10\) см от заряда \(q_2\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, prigl этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.