зад 1 Робот в лабиринте и средняя скорость
Для соревнований в номинациях «лабиринт», «гонки преследования» и «следование по линии» семиклассник сконструировал квадратного робота со стороной \(10\) см, который может двигаться в трёх скоростных режимах: А — со скоростью \(3\) м/мин, Б — со скоростью \(4\) м/мин, В — со скоростью \(5\) м/мин.
Какое наилучшее время робот способен показать в «лабиринте» размерами \(130 \times 130\) см? Временем на повороты пренебречь. Робот не пересекает внешние и внутренние границы лабиринта. Две стороны робота при движении всегда остаются параллельны прилегающим к ним сторонам лабиринта, вектор скорости параллелен двум сторонам робота и перпендикулярен двум оставшимся сторонам. Временем прохождения лабиринта считается промежуток времени, прошедший от пересечения геометрическим центром робота линии входа до пересечения линии выхода лабиринта.
Ответ выразите в секундах, округлите до целых.
В «гонках преследования» робот использовал скоростной режим Б (4 м/мин). Если бы он проходил в минуту на \(0{,}5\) м больше, то на тот же путь ему бы потребовалось на 1 минуту меньше. Сколько времени ехал робот? Ответ выразите в минутах, округлите до целых.
Какой путь он прошёл? Ответ выразите в метрах, округлите до целых.
На соревнованиях «следование по линии» робот половину пути проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), а оставшуюся половину — в режиме Б (4 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.
На соревнованиях «следование по линии» робот половину времени проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), а оставшуюся половину — в режиме Б (4 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.
На соревнованиях «следование по линии» робот половину пути проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), половину оставшегося времени — в режиме Б (4 м/мин), а последний участок — в режиме В (5 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальная траектория центра робота проходит через лабиринт без разворотов на \(180^\circ\). Найдите её длину, затем время при максимальной скорости. Для средних скоростей используйте определение: весь путь делить на всё время.
▶ОтветСкрыть
1) засчитывается в диапазоне \([67;\,69]\) с; 2) \(9\) мин; 3) \(36\) м; 4) \(3{,}4\) м/мин; 5) \(3{,}5\) м/мин; 6) \(3{,}6\) м/мин.
▶РешениеСкрыть
1) По условию разворот робота на \(180^\circ\) невозможен, поэтому существует только один маршрут. Длина траектории центра робота составляет 57 клеток. Сторона клетки равна \(130\) см\(:13 = 10\) см, поэтому путь центра робота \(s = 57 \cdot 10\) см \(= 5{,}7\) м. Для наилучшего времени робот движется в режиме В (5 м/мин): \[t = \frac{s}{v} = \frac{5{,}7~\text{м}}{5~\text{м/мин}} = 1{,}14~\text{мин} = 68{,}4~\text{с} \approx 68~\text{с}.\]
2) Время и скорость обратно пропорциональны при одном и том же пути: \(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{t_1}{t_2}\). Пусть \(t_1\) — время при скорости \(4\) м/мин, тогда \(\dfrac{4}{4{,}5} = \dfrac{t_1 - 1}{t_1}\), откуда \(t_1 = 9\) мин.
3) \(s = v_1 t_1 = 4\) м/мин \(\cdot\, 9\) мин \(= 36\) м.
4) Средняя скорость при равных путях: \[v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\cdot 3\cdot 4}{3 + 4}~\text{м/мин} \approx 3{,}4~\text{м/мин}.\]
5) При равных временах средняя скорость равна среднему арифметическому: \[v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2} = 3{,}5~\text{м/мин}.\]
6) Пусть \(t_3 = t_2\), \(s_3 = v_3 t_3\), \(s_2 = v_2 t_3\), \(s_1 = s_2 + s_3 = (v_2 + v_3)t_3\), \(t_1 = \dfrac{s_1}{v_1} = \dfrac{(v_2 + v_3)t_3}{v_1}\). Тогда \[v_{ср} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{2v_1(v_2 + v_3)}{2v_1 + v_2 + v_3} = \frac{2\cdot 3\cdot (4 + 5)}{2\cdot 3 + 4 + 5}~\text{м/мин} = 3{,}6~\text{м/мин}.\]
зад 2 Статуэтка и её копия
Из пластмассы сделали уменьшенную в 3 раза по линейным размерам (длине, высоте, ширине) копию статуэтки (см. рис.). И оригинал, и копия не имеют полостей внутри.
Чему равна плотность пластмассы, если масса копии в 100 раз меньше массы оригинала? Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до целых. Плотность оригинальной статуэтки 7900 кг/м\(^3\).
Что оказывает на стол большее давление — оригинал статуэтки или копия? Варианты: оригинал; копия; одинаково.
Во сколько раз? Ответ округлите до десятых. Если в предыдущем вопросе вы ответили, что давление одинаково, в ответ запишите 1.
Что произойдёт со статуэтками, если их поместить в воду? Соотнесите статуэтки и результат: оригинал; копия. Варианты результата: всплывёт на поверхность; будет плавать в толще воды; утонет. В задании используются не все варианты.
▶ОтветСкрыть
1) \(2133\) кг/м\(^3\); 2) оригинал; 3) \(11{,}1\); 4) оригинал — утонет; копия — утонет.
▶РешениеСкрыть
7) При уменьшении всех линейных размеров в \(n\) раз объём уменьшается в \(n^3\) раз. При \(n = 3\) получаем \(n^3 = 27\). Из условия \(m_0/100 = m_k\): \[\frac{\rho_0 V_0}{100} = \frac{\rho_k V_0}{27}, \qquad \rho_k = 0{,}27\,\rho_0 = 0{,}27 \cdot 7900~\text{кг/м}^3 = 2133~\text{кг/м}^3.\]
8) При уменьшении линейных размеров в \(n\) раз площадь опоры уменьшается в \(n^2\) раз, \(n^2 = 9\). Давление \(p = \dfrac{mg}{S}\): \[p_k = \frac{m_k g}{S_k} = \frac{m_0 g}{100\, S_0 / 9} = 0{,}09\,p_0 < p_0.\] Значит, большее давление оказывает оригинал.
9) \[\frac{p_0}{p_k} = \frac{1}{0{,}09} = \frac{100}{9} \approx 11{,}1.\]
10) Сравним плотности статуэток с плотностью воды \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\). Если плотность тела больше плотности воды, тело тонет; если меньше — всплывает; если равна — плавает в толще воды. Оригинал имеет плотность \(7900\) кг/м\(^3\), копия — \(2133\) кг/м\(^3\). Обе плотности больше плотности воды, поэтому обе статуэтки утонут.
зад 3 Шар на пружине в воздухе и в воде
Шар массой \(m = 250\) г подвешен на пружине жёсткостью \(k = 100\) Н/м. Плотность вещества, из которого изготовлен шар, \(7{,}5\) г/см\(^3\), плотность воды \(1\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) Н/кг.
Чему равно удлинение этой пружины при подвешивании к ней шара в воздухе? Плотностью воздуха пренебречь. Ответ выразите в миллиметрах, округлите до целых.
При полном погружении в воду удлинение пружины уменьшилось на 8 мм. Имеется ли внутри шара полость? Варианты: да; нет; недостаточно данных.
Если в шаре есть полость, определите её объём. Ответ выразите в см\(^3\), округлите до целых. Если полости в шаре нет, в ответ запишите 0.
▶ОтветСкрыть
1) \(25\) мм; 2) да; 3) \(47\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
11) Сила упругости уравновешивает силу тяжести: \(mg = k\,\Delta l\), откуда \[\Delta l = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}25~\text{кг}\cdot 10~\text{Н/кг}}{100~\text{Н/м}} = 0{,}025~\text{м} = 25~\text{мм}.\]
12) При полном погружении тела в воду вес уменьшается на величину силы Архимеда: \(F_{арх} = k\,\Delta l' = 100~\text{Н/м}\cdot 0{,}008~\text{м} = 0{,}8\) Н. Объём вытесненной воды равен объёму шара: \[V_ш = \frac{F_{арх}}{\rho_в g} = \frac{0{,}8~\text{Н}}{1000~\text{кг/м}^3\cdot 10~\text{Н/кг}} = 80~\text{см}^3.\] Объём вещества шара: \(V_в = \dfrac{m}{\rho_ш} = \dfrac{250~\text{г}}{7{,}5~\text{г/см}^3} \approx 33~\text{см}^3\). Так как \(80~\text{см}^3 > 33~\text{см}^3\), в шаре есть полость.
13) Объём полости: \(V_п = V_ш - V_в = 80 - 33 = 47\) см\(^3\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, prigl этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.