зад 1 Велосипедная трансмиссия
На рисунке представлено устройство велосипедной трансмиссии. Шатун, к которому присоединяются педали, зафиксирован на пакете передних звёздочек и вращается вместе с ними относительно неподвижной оси. Одна звёздочка из пакета передних с помощью цепи соединена с одной из пакета задних. В свою очередь, пакет задних звёздочек вращается вместе с задним колесом как единое целое. Диаметр колеса \(D = 29\) дюймов. Известно, что 1 дюйм \(= 2{,}54\) см.
Чтобы цепь не провисала, в трансмиссии имеется ролик натяжителя. Велосипедная цепь не проскальзывает относительно звёздочек и роликов натяжителя.
Известно, что для некоторой выбранной передачи диаметр используемой передней звёздочки в \(x = 1{,}5\) раза больше диаметра задней, а диаметр используемой задней звёздочки в \(y = 4\) раза больше диаметра ролика натяжителя.
Заполните пропуски. Чтобы двигаться на велосипеде с максимальной скоростью, в передней кассете нужно выбрать … звёздочку, а в задней кассете — … звёздочку. (Варианты: самую большую, среднюю, самую маленькую, любую.)
Во сколько раз скорость \(v_\text{Б}\) точки Б больше скорости \(v_\text{А}\) точки А (на поверхности задней звёздочки)? Скорости измеряются относительно велосипеда. Ответ округлите до десятых.
С какой частотой \(n_2\) вращается ролик натяжителя, если передняя звёздочка вращается с частотой \(n_1 = 60\) оборотов в минуту? Ответ выразите в об/мин, округлите до целых.
Человек крутит педали с частотой \(n_3 = 40\) оборотов в минуту. С какой скоростью относительно земли движется при этом велосипед? Считайте, что велосипед движется без проскальзывания относительно земли. Примите \(\pi = 3{,}14\). Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Цепь нерастяжима, поэтому скорости всех её точек одинаковы. Частота вращения звёздочки обратно пропорциональна её диаметру. Скорость велосипеда равна скорости точки обода колеса.
▶ОтветСкрыть
1) самую большую (спереди) и самую маленькую (сзади); 2) \(1{,}0\); 3) \(360\) об/мин; 4) \(2{,}3\) м/с.
▶РешениеСкрыть
1) Чтобы велосипед двигался с максимальной скоростью, на один оборот педалей колесо должно делать как можно больше оборотов. Поэтому спереди выбирают самую большую звёздочку, а сзади — самую маленькую.
2) Цепь нерастяжима, и цепь не проскальзывает относительно звёздочек и роликов, поэтому скорости точек \(А\) и \(Б\), соприкасающихся с цепью, равны скорости цепи: \[\frac{v_\text{Б}}{v_\text{А}} = 1{,}0.\]
3) Диаметр передней звёздочки в \(xy\) раз больше диаметра ролика натяжителя: \(D_1 = xy\,D_2\). Скорости поверхностей звёздочки и ролика одинаковы: \(\pi D_1 n_1 = \pi D_2 n_2\), откуда \[n_2 = xy\, n_1 = 1{,}5 \cdot 4 \cdot 60 = 360 \text{ об/мин}.\]
4) Частота вращения педалей в об/с равна \(n_1 = n_3/60\). Диаметр передней звёздочки в \(x\) раз больше диаметра задней, поэтому частота вращения задней звёздочки и колеса \(n_K = x\,n_1\). Скорость велосипеда: \[v = n_K \pi D_K = x\,\frac{n_3}{60}\,\pi D\cdot 0{,}0254 = 1{,}5 \cdot \frac{40}{60} \cdot 3{,}14 \cdot 29 \cdot 0{,}0254 \approx 2{,}3 \text{ м/с}.\]
зад 2 Печатающая головка 3D-принтера
Печатающая головка 3D-принтера устроена следующим образом: специальный полимерный (пластиковый) шнур при помощи двух вращающихся валиков подаётся в нагреватель. В нём шнур разогревается до температуры, при которой из твёрдого он становится вязким и пластичным. После чего полимер выдавливается через металлическое сопло на рабочий стол принтера, где, застывая, опять отвердевает.
Определите массу единицы длины шнура (погонную плотность), если известно, что кусок шнура длиной \(L = 210\) м имеет массу \(m = 1000\) г. Ответ выразите в г/м, округлите до сотых.
На нагревательный элемент подаётся напряжение \(U = 24\) В. Какая сила тока протекает через нагреватель, если его мощность \(P = 40\) Вт? Ответ выразите в амперах, округлите до сотых.
С какой скоростью выдавливается полимерный шнур из сопла, если в нагреватель он подаётся со скоростью \(v = 10\) мм/с? Диаметр шнура \(D = 1{,}75\) мм, а диаметр сопла \(d\), из которого выдавливается нагретый полимер, равен \(0{,}4\) мм. Можно считать, что плотность материала при нагреве не изменяется. Ответ выразите в мм/с, округлите до целых.
Чему равен КПД нагревательного элемента, если он нагревает полимерную нить от начальной температуры \(20\,^\circ\)C до температуры \(380\,^\circ\)C за то время, пока нить доходит до сопла через нагреватель? Внутри нагревателя пластик только разогревается и становится пластичным, процесс плавления не происходит. Удельная теплоёмкость полимерной нити \(1{,}4\) Дж/(г\(\cdot{}^\circ\)C). Остальные данные можно взять из предыдущих вопросов. Ответ выразите в процентах, округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса шнура, проходящего через нагреватель, одинакова до и после него, а объём пластика сохраняется: сравните объёмы, проходящие за одно и то же время через валики и через сопло. Для КПД сравните полезную теплоту нагрева с работой тока.
▶ОтветСкрыть
5) \(\mu = 4{,}76\) г/м (засчитывается в диапазоне \(4{,}75\)–\(4{,}77\)); 6) \(I = 1{,}67\) А (засчитывается в диапазоне \(1{,}66\)–\(1{,}68\)); 7) \(u = 191\) мм/с (засчитывается в диапазоне \(190\)–\(192\)); 8) \(\eta = 60\,\%\) (засчитывается в диапазоне \(58\)–\(62\)).
▶РешениеСкрыть
5) \(\mu = \dfrac{m}{L} = \dfrac{1000 \text{ г}}{210 \text{ м}} \approx 4{,}76 \text{ г/м}\).
6) Из \(P = UI\) находим \(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{40}{24} \approx 1{,}67\) А.
7) Масса и плотность пластика при нагреве не меняются, поэтому за время \(t\) объём пластика, поступающего в нагреватель, равен объёму пластика, выходящего из сопла: \(\dfrac{\pi D^2}{4}\,v\,t = \dfrac{\pi d^2}{4}\,u\,t\). Отсюда \[u = v\,\frac{D^2}{d^2} = 10 \cdot \frac{1{,}75^2}{0{,}4^2} \approx 191 \text{ мм/с}.\]
8) КПД: \(\eta = \dfrac{A_\text{пол}}{A_\text{зат}}\), где полезная работа \(A_\text{пол} = c\,m\,(t_\text{пл} - t) = c\,\mu\,v\,\tau\,(t_\text{пл} - t)\), а затраченная работа \(A_\text{зат} = P\tau\). Здесь \(t_\text{пл} = 380\,^\circ\)C — конечная температура нагрева нити. Тогда \[\eta = \frac{c\,\mu\,v\,(t_\text{пл} - t)}{P} = \frac{1{,}4 \cdot 4{,}76 \cdot 0{,}01 \cdot (380 - 20)}{40} \cdot 100\,\% \approx 60\,\%.\]
зад 3 Дракончики на ватрушках
Неугомонные дракончики Вжих и Пых решили покататься на ватрушках по снежным горкам. И всё бы было огонь, если бы их другу Вико не задали в этот день лабораторную работу по изучению силы трения. Первым делом Вико взвесил всех участников «покатушек». Выяснилось, что масса Вжиха равна \(M_1 = 30\) кг, а вот Пых поднабрал и весы показали, что его масса \(M_2 = 45\) кг. Также выяснилось, что их ватрушки одинаковые и имеют массу \(m = 2\) кг каждая. Во втором эксперименте было установлено, что для перемещения пустой ватрушки по горизонтальной части горки к ней необходимо прикладывать горизонтальную силу \(F\) не менее \(4{,}1\) Н. Считайте, что коэффициент трения ватрушки о всю поверхность горки является постоянным, ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Помогите Вико правильно ответить на вопросы и получить пятёрку.
Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить, чтобы сдвинуть ватрушку с сидящим на ней Пыхом, если всё происходит на горизонтальном участке горки? Ответ выразите в ньютонах, округлите до десятых.
Чему равен коэффициент трения ватрушки о снег? Ответ округлите до сотых.
Вжих и Пых решили провести парочку мини-соревнований, договорившись, что помогать крыльями, лапами, дышать огнём и т. д. категорически запрещено. По условиям первого соревнования, названного «Кто дальше?», они разгоняются до одинаковой скорости \(v = 5\) м/с, запрыгивают на ватрушки и скользят на них, пока не остановятся. Соревнование проводится на горизонтальном участке. Во сколько раз путь, пройденный до остановки Пыхом, будет больше пути, пройденного Вжихом? Ответ округлите до сотых.
Во втором соревновании «Кто быстрее?» оба участника стартуют на ватрушках с вершины крутой горки. Начальная скорость должна быть равна нулю. Во сколько раз быстрее Пых спустится с горки по сравнению с Вжихом? Упрощённо считайте горку прямой. Длина горки \(L = 180\) м, горка наклонена под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту. Ответ округлите до сотых.
Когда участникам весёлых «покатушек» пришлось затаскивать ватрушки на горку, возник спор: зависит ли сила, которую необходимо прикладывать к ватрушке для её перемещения, от угла \(\alpha\), под которым натянут трос? Проведя серию экспериментов, удалось выяснить, что сила зависит от угла. Был определён угол наклона троса к горизонту, оптимальный для того, чтобы тянуть пустую ватрушку по горизонтальному участку горки, прикладывая наименьшую силу. Чему оказался равен этот угол? Ответ выразите в градусах, округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Силу трения скольжения выразите через нормальную реакцию. Для вопросов 11 и 12 проверьте, входит ли масса в итоговое ускорение.
▶ОтветСкрыть
9) \(F \approx 96{,}4\) Н (засчитывается в диапазоне \(96{,}3\)–\(96{,}5\)); 10) \(\mu = 0{,}21\) (засчитывается в диапазоне \(0{,}20\)–\(0{,}22\)); 11) \(1{,}00\); 12) \(1{,}00\); 13) \(\alpha \approx 12^\circ\) (засчитывается в диапазоне \(11\)–\(13\)).
▶РешениеСкрыть
9) Для пустой ватрушки в предельном случае ускорение равно нулю, а сила трения равна силе трения скольжения: \(F_0 = \mu m g\). Для ватрушки с Пыхом \(F = \mu (M_2 + m) g\). Отсюда \[F = F_0\,\frac{M_2 + m}{m} = 4{,}1 \cdot \frac{45 + 2}{2} \approx 96{,}4 \text{ Н}.\]
10) Из \(F_0 = \mu m g\) находим \(\mu = \dfrac{F_0}{m g} = \dfrac{4{,}1}{2 \cdot 10} = 0{,}21\).
11) На горизонтальном участке ускорение при торможении \(a = -\mu g\) не зависит от массы, поэтому путь до остановки \(S = \dfrac{v^2}{2\mu g}\) одинаков для Вжиха и Пыха. Ответ: \(1{,}00\).
12) На горке \(a = g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha\) не зависит от массы, поэтому время спуска \(t = \sqrt{2L/a}\) одинаково для Вжиха и Пыха. Ответ: \(1{,}00\).
13) Для силы под углом \(\alpha\) второй закон Ньютона даёт \(F\cos\alpha - \mu(mg - F\sin\alpha) = ma \ge 0\), откуда \(F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) \ge \mu m g\). Минимальная сила достигается, когда \(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\) максимально. Введём \(\beta\) с \(\tan\beta = \mu\), тогда \(\cos\alpha + \mu\sin\alpha = \dfrac{\cos(\beta - \alpha)}{\cos\beta}\), максимум при \(\alpha = \beta = \arctan\mu = \arctan 0{,}21 \approx 12^\circ\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, prigl этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.