Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.1

Задача 10.1.1радиус протона в B

Условие

Протон, ускоренный напряжением 20 кВ, влетает в однородное магнитное поле индукции 0,1 Тл перпендикулярно полю. Найдите радиус окружности, по которой движется протон в магнитном поле.

К задаче 10.1.1. Протон после ускорения 20 кВ влетает в поле \(B\perp\mathbf{v}\) и идёт по окружности.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Сила Лоренца перпендикулярна скорости и только искривляет траекторию. В однородном \(B\) протон ходит по окружности, радиус которой находится из равенства \(evB=mv^2/R\). Скорость берём из работы ускоряющего поля \(eV=\frac12 mv^2\).

Протон (заряд \(e\), масса \(m_p\)) прошёл разность потенциалов \(V=20\) кВ \(=2{,}0\cdot10^4\) В. Работа поля ушла в кинетическую энергию:

\[ eV=\frac12 m_pv^2\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2eV}{m_p}}. \]

В поле \(B=0{,}1\) Тл скорость перпендикулярна индукции, поэтому сила Лоренца \(evB\) даёт центростремительное ускорение:

\[ evB=\frac{m_pv^2}{R}\qquad\Longrightarrow\qquad R=\frac{m_pv}{eB}=\frac{\sqrt{2m_peV}}{eB}=\frac1B\sqrt{\frac{2m_pV}{e}}. \]

Подставляем \(m_p=1{,}67\cdot10^{-27}\) кг, \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл:

\[ \sqrt{\frac{2\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2{,}0\cdot10^{4}}{1{,}6\cdot10^{-19}}} =\sqrt{\frac{6{,}68\cdot10^{-23}}{1{,}6\cdot10^{-19}}} =\sqrt{4{,}175\cdot10^{-4}}=2{,}04\cdot10^{-2}\ \text{м}, \] \[ R=\frac{2{,}04\cdot10^{-2}}{0{,}1}=0{,}204\ \text{м}\approx0{,}20\ \text{м}. \]

Проверка. Размерность: \(\sqrt{mV/e}\) имеет размерность скорости, деление на \(B\) даёт метры. Порядок: протон на 20 кэВ летит со скоростью \(\sim2\cdot10^6\) м/с (нерелятивистски: \(v/c\sim0{,}007\)), и в поле 0,1 Тл радиус действительно десятки сантиметров — лабораторный масштаб. Если увеличить \(V\) вчетверо, \(R\) только удвоится.

Ответ\(R=0{,}2\) м.

Следующая задача 10.1.2 →