Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном и создаваемым им потоком через второй. Определите взаимную индуктивность:
а. двух круговых контуров радиусов \(r\) и \(R\) на одной оси на расстоянии \(l\gg r,R\);
б. длинного соленоида радиуса \(r\) с \(n\) витками на единицу длины и кругового контура, охватывающего этот соленоид.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Два круговых контура радиусов \(r\) и \(R\) на одной оси, расстояние \(l\gg r,R\). Поле первого в месте второго — поле диполя на оси (9.2.16):
\[ B_1=\frac{\mu_0 M_1}{2\pi l^3}=\frac{\mu_0 I_1\pi r^2}{2\pi l^3}=\frac{\mu_0 I_1 r^2}{2l^3}. \]Поток через второй (поле однородно на масштабе \(R\), потому что \(l\gg R\))
\[ \Phi_2=B_1\cdot\pi R^2=\frac{\mu_0 I_1\pi r^2 R^2}{2l^3}. \]Отсюда
\[ L_{12}=\frac{\Phi_2}{I_1}=\frac{\mu_0\pi r^2 R^2}{2l^3}. \]В «Ответах» книги напечатано \(L=\mu_0\pi(rR)^2/l^3\) — потеряна двойка в знаменателе: поле диполя на оси несёт \(2\pi l^3\) в знаменателе, и после сокращения с \(\pi r^2\) момента половина обязана остаться. Симметрия \(r\leftrightarrow R\) на месте: \(L_{12}=L_{21}\).
б. Длинный соленоид радиуса \(r\), \(n\) витков на единицу длины. Поле внутри \(\mu_0 n I\), снаружи нуль. Круговой контур охватывает соленоид: через него проходит весь внутренний поток
\[ \Phi=B\cdot\pi r^2=\mu_0 n I\cdot\pi r^2,\qquad L_{12}=\mu_0 n\pi r^2. \]От радиуса внешнего контура ответ не зависит — лишь бы он охватывал соленоид. Это поток «на один виток» внешнего контура.