Савченко · Глава 10. Движение заряженных частиц в сложных полях · § 10.1. Движение в однородном магнитном поле

Савченко, задача 10.1.2

Задача 10.1.2электрон в поле Земли

Условие

Электрон, ускоренный напряжением 200 В, движется в магнитном поле Земли, индукция которого 70 мкТл. Найдите радиус окружности, по которой движется электрон, если скорость его перпендикулярна магнитному полю Земли.

К задаче 10.1.2. Электрон 200 эВ в слабом поле Земли ходит по окружности метрового масштаба.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Та же формула \(R=\frac1B\sqrt{2m_eV/e}\), только теперь лёгкий электрон и крошечное земное поле — радиус выходит уже не сантиметры, а метры.

Электрон ускорен напряжением \(V=200\) В, \(B=70\) мкТл \(=7{,}0\cdot10^{-5}\) Тл, \(v\perp B\). Радиус орбиты

\[ R=\frac1B\sqrt{\frac{2m_eV}{e}}. \]

Удобнее сначала найти импульс. Кинетическая энергия \(K=eV=200\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=3{,}2\cdot10^{-17}\) Дж,

\[ p=\sqrt{2m_eK}=\sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot3{,}2\cdot10^{-17}}=\sqrt{5{,}82\cdot10^{-47}}=7{,}63\cdot10^{-24}\ \frac{\text{кг·м}}{\text{с}}. \]

Сила Лоренца \(epB/m\) нас не спрашивают — сразу \(R=p/(eB)\):

\[ eB=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot7{,}0\cdot10^{-5}=1{,}12\cdot10^{-23}\ \text{Кл·Тл}, \] \[ R=\frac{7{,}63\cdot10^{-24}}{1{,}12\cdot10^{-23}}=0{,}68\ \text{м}. \]

Проверка. Электрон в 200 эВ имеет \(v=\sqrt{2eV/m_e}\approx8{,}4\cdot10^6\) м/с — ещё далеко до света (\(v/c\approx0{,}03\)). Циклотронный радиус в поле Земли и правда порядка метра: северное сияние «рисуется» на гораздо больших радиусах, потому что там энергии килоэлектронвольты и поле ещё слабее. Размерность та же, что в 10.1.1.

Ответ\(R=0{,}68\) м.

Следующая задача 10.1.3 →